斐波那契數(shù)列(斐波那契數(shù)列c語言)

是大自然的天作之合成全了數(shù)學(xué)之美?

還是數(shù)學(xué)揭示了自然規(guī)律而美不勝收?

今天的故事要從西元1202年說起

一位叫列昂納多·斐波那契的意大利數(shù)學(xué)家

他發(fā)現(xiàn)了一個(gè)無聊有趣問題：

假設(shè)一對初生兔子一個(gè)月到成熟期

一對成熟兔子每月生一對兔子

并且一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡

那么，由一對初生兔子開始

一年以后可以繁殖多少對兔子？

依照上述兔子的繁殖規(guī)則，答案是這樣的

第一個(gè)月：只有1對小兔子

第二個(gè)月：小兔子還沒成年，還是1對小兔子

第三個(gè)月：

兔子成年生1對小兔子，此時(shí)有2對兔子

第四個(gè)月：

成年兔子又生了1對兔子

加上自己及上月生的小兔子，共有3對兔子

第五個(gè)月：

成年兔子又生了1對兔子

第三月生的小兔子已經(jīng)長成年且生了1對小兔子

加上本身兩只兔子及上月生的兔子，共5對兔子

......

這么說估計(jì)大家都會(huì)很懵，看圖就比較方便了

規(guī)律是，每月的兔子對數(shù)

=上一月的兔子對數(shù)＋該月新生的兔子對數(shù)

=上一月的兔子對數(shù)＋上上月的兔子對數(shù)

即第n個(gè)月的兔子對數(shù)為Fn，F(xiàn)1＝F2＝1

則對n＞2，有Fn＝Fn-1＋Fn-2

根據(jù)上述規(guī)律

可預(yù)測到第十二個(gè)月兔子數(shù)量共為144對

至此，兔子問題得以解決

而以上每個(gè)月份兔子數(shù)量的數(shù)列

即為“斐波那契數(shù)列（Fibonacci quence）”

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

斐波那契數(shù)列中的任一個(gè)數(shù)，都叫斐波那契數(shù)

自然界中的斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)是大自然的一個(gè)基本模式

只要我們認(rèn)真觀察

斐波那契數(shù)存在于自然界的萬物中

向日葵的花盤中有兩組螺旋線

一組順時(shí)針方向盤繞，另一組逆時(shí)針方向盤繞

并且彼此相嵌

圖中向日葵的兩類曲線

綠色的逆時(shí)針螺線有13條

藍(lán)色的順時(shí)針螺線有21條

13和21正是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩項(xiàng)

雖然不同的向日葵品種中

這些順逆螺旋的數(shù)目不固定，但往往不會(huì)超出

13和21、34和55、55和89或89和144這幾組數(shù)字

每組數(shù)字都是斐波那契數(shù)列中相鄰的兩個(gè)數(shù)

順、逆螺旋這樣排列的目的

是為了讓植物最充分地利用陽光和空氣

繁育更多的后代

而這種排列則是在長期進(jìn)化中自然選擇的結(jié)果

類似的例子還有羅馬花椰菜

（13，21）

以及樹木的生長

新生的枝條往往需要一段“休息”時(shí)間

供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝

所以，一株樹苗在一段間隔后長出一條新枝

第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)

此后，老枝與“休息”過一年的枝同時(shí)萌發(fā)

當(dāng)年生的新枝則次年“休息”

這樣下去，一株樹木各個(gè)年份對應(yīng)的枝椏數(shù)

便構(gòu)成斐波那契數(shù)列

這個(gè)規(guī)律就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”

斐波那契螺旋線

當(dāng)我們按斐波那契數(shù)列，取邊長分別為

1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形

每一個(gè)新的正方形都有一個(gè)邊

其長度與最近兩個(gè)正方形的邊之和一樣長

這組矩形的邊長是兩個(gè)相鄰的斐波那契數(shù)

稱為斐波那契矩形，也叫黃金矩形

（記住這個(gè)黃金矩形，等下還會(huì)再次出現(xiàn)）

然后,以各正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心

畫出四分之一的曲線，再連接所有曲線

最后形成的螺旋線就是下圖所示的

“斐波那契螺旋線”

人類耳朵的形狀也符合這種螺旋形狀

這種形狀的構(gòu)造幫助人類可以更好的接收聲波

從而增強(qiáng)聽覺

此外，與斐波那契螺旋線非常相似的還有一種

對數(shù)螺線，也稱等角螺線

即穿過原點(diǎn)的任意直線與等角螺線相交的角永遠(yuǎn)相等

是不是看著有點(diǎn)眼熟？

點(diǎn)擊空白處查看答案

鸚鵡螺

斐波那契數(shù)列與黃金分割

現(xiàn)在讓我們再次回到斐波那契數(shù)列

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

如果我們?nèi)§巢瞧鯏?shù)列中兩個(gè)相鄰的數(shù)字

后面的數(shù)字除以前面的數(shù)字，會(huì)得到以下數(shù)列

1/1=1 34/55=0.61818

1/2=0.5 55/89=0.61798

2/3=0.66667 89/144=0.61806

3/5=0.6 144/233=0.61803

5/8=0.625 233/377=0.61804

8/13=0.61538 377/610=0.61803

13/21=0.61905 610/987=0.61803

21/34=0.61765 987/1597=0.61803

在圖表中繪制這些數(shù)值

發(fā)現(xiàn)當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值

越來越逼近黃金分割率 0.618

而我們其實(shí)也可以從剛剛的斐波那契矩形中

來理解黃金分割

黃金分割是指把一條線段分割為兩部分

使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比

即圖中的b/a=a/a+b=(√5-1)/2≈0.618

黃金分割也被廣泛應(yīng)用于建筑界

被認(rèn)為是建筑和藝術(shù)中最理想的比例

蘊(yùn)含著藝術(shù)性、比例性、和諧性

歷史上許多著名的建筑

實(shí)際上它們或多或少都應(yīng)用了黃金分割

古希臘巴特農(nóng)神廟是舉世聞名的完美建筑

建成于公元前477年至前432年

它坐落在希臘首都雅典衛(wèi)城的最高點(diǎn)上

是為了慶祝雅典戰(zhàn)勝波斯而建

神廟的地面和頂部、立面的高和寬

都十分接近黃金分割比

所以后人曾經(jīng)感嘆說：

帕特農(nóng)神廟不能多加一點(diǎn)，也不能減少分毫

埃及金字塔的建造也充分利用了黃金分割的原理

雖歷經(jīng)幾千年的自然侵蝕和人為破壞，已殘損不堪

但從遠(yuǎn)處觀望金字塔

雄偉龐大的建筑體在整體上還是呈現(xiàn)為一個(gè)角錐體

并且是一個(gè)最具有美感的四角錐體結(jié)構(gòu)

雖然這些金字塔大小各異

金字塔底面的邊長與高的比都接近于0.618

矗立在塞納河南岸法國巴黎的埃菲爾鐵塔

于1889年建成，是當(dāng)時(shí)世界上最高的建筑物

鐵塔設(shè)有三個(gè)平臺

其中第二個(gè)平臺的位置就十分接近于

全塔高度的黃金分割點(diǎn)

而且除了美，黃金分割還有另外一個(gè)作用

就是穩(wěn)，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)

如果兩根相鄰的弦線長短一致并且產(chǎn)生同樣的振動(dòng)

共振顯然是最大的

而當(dāng)弦長度是無理數(shù)的時(shí)候共振最小

符合黃金分割率的建筑

在地震中所導(dǎo)致的共振并不大

而黃金分割率就是無理數(shù)，符合共振最小的規(guī)律

存在于自然界的數(shù)學(xué)之美不勝枚舉

蝴蝶翅膀的對稱生長

理想情況下雪花的科克曲線

銀河系螺旋狀的旋臂......

數(shù)學(xué)與自然無處不在的結(jié)合

閃耀著無限的光芒

話題

你觀察過哪些自然界的數(shù)學(xué)之美？

留言區(qū)見

- END -

編輯 | 尹詩畫

圖源 | 視覺中國、網(wǎng)絡(luò)

6.6元限時(shí)特惠

特惠截止至今日24:00

暢讀《博物》

還原金字塔

東北話到底是什么味兒？

關(guān)隘，長城上散落的明珠

春天的正確打開方式就是吃春菜

地理君小課堂2020年4月|3月|2月|1月

買好物

看雜志

逛世界

心有多大，地理就有多廣博

如果你有任何想對地理君說的話

就在評論區(qū)留言吧