因數(shù)(因數(shù)和倍數(shù)的概念)

一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：如果整數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么a叫作b的倍數(shù)，b叫作a的約數(shù)（也叫因數(shù)）；如果整數(shù)a不能被自然數(shù)b整除，就表示a不是b的倍數(shù)，或者b不是a的約數(shù)。

小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般是這樣闡述因數(shù)和倍數(shù)的概念的。2004年北京版教材第10冊(cè)的第46頁指出：如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫作b的倍數(shù)，b就叫作a的約數(shù)（也就是因數(shù)）。例如，15能被3整除，15是3的倍數(shù)，3是15的因數(shù)。2013年人教版教材五年級(jí)下冊(cè)第12頁指出：2x6=12，2和6是12因數(shù)，12是2和6的倍數(shù)。

二．概念解讀

(1)因數(shù)和倍數(shù)的表達(dá)

因數(shù)和倍數(shù)表示的是一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的關(guān)系，它們是兩個(gè)相互依存的概念，不能單獨(dú)存在。因此，在敘述時(shí)，一定要說明哪個(gè)數(shù)是哪個(gè)數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)，而不能說成某數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。例如對(duì)15÷3=5，應(yīng)說15是3的倍數(shù)，3是15的因數(shù)；而不能說15是倍數(shù)，3是因數(shù)。

(2)求一個(gè)數(shù)的因數(shù)的方法

例如，18的因數(shù)有哪些？用乘法想：哪兩個(gè)整數(shù)相乘的積是18？18=1×18，18=2×9......用除法想：18÷1=18，18÷2=9......

一個(gè)數(shù)的因數(shù)可以從1找起，也就是從最小的因數(shù)找起，一直找到它本身（如18的因數(shù)有1、2、3、6、9、18），也可以一對(duì)一對(duì)地找（如18的因數(shù)有1和18，2和9，3 和6）。

(3)求一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的方法

例如，你能找出多少個(gè)2的倍數(shù)？從2的1倍找起，接著2的2倍、3倍……也可以這樣想：2x1=2，2x2=4，2×3=6…...

學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，一直這樣找下去是找不完的，說明2的倍數(shù)有無數(shù)個(gè)。

(4) 一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的特點(diǎn)

一個(gè)數(shù)的最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，它的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。

一個(gè)數(shù)的最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)，它的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的。

(5)有趣的數(shù)

①完全數(shù)，又叫完美數(shù)。

—個(gè)自然數(shù)的所有真因數(shù)之和等于它本身，這樣的自然數(shù)叫完全數(shù)。

真因數(shù)即除了本身以外的所有正因數(shù)。例如，6的因數(shù)有：1、2、3、6。除去它本身6之外，剩下的1、2、3這三個(gè)因數(shù)都是6的真因數(shù)。把這三個(gè)真因數(shù)加起來---1+2+3=6，它們的和正好等于它本身，所以6就是一個(gè)完全數(shù)。

再如28，把它所有的真因數(shù)加起來---1+2+4+7+14= 28，它們的和也正好等于它本身，所以28也是一個(gè)完全數(shù)。

前十個(gè)完全數(shù)是：

6（1位）

28（2位）

496（3位）

8128 (4位)

33550336（8位）

8589869056 (10位)

137438691328（12位）

2305843008139952128(19位)

2658455991569831744654692615953842176( 37位)

191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (54位)

最早研究完全數(shù)的是古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯。完全數(shù)自從誕生后，就一直吸引著眾多數(shù)學(xué)家與業(yè)余愛好者像淘金一樣去尋找。目前已發(fā)現(xiàn)47個(gè)完全數(shù)，都是偶數(shù)，尾數(shù)是6或8，于是人們又在猜測(cè)會(huì)不會(huì)有奇完全數(shù)存在呢？

完全數(shù)還有許多有趣的性質(zhì)：

a.每個(gè)完全數(shù)都能寫成連續(xù)自然數(shù)之和(三角形數(shù))。

例如：6=1+2+3

28= 1+2+3+4+5+6+7

496= 1+2+3+...+30+31

b.每個(gè)完全數(shù)它們的全部因數(shù)的倒數(shù)之和都等于2，因此每個(gè)完全數(shù)又都可以叫做調(diào)和數(shù)。

例如：1/1+1/2+1/3+1/6 =2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28 = 2

c.除6以外的每個(gè)完全數(shù)各位數(shù)字相加直到變成一位數(shù)，這個(gè)一位數(shù)一定是1。這也可以看作：除6以外的完全數(shù)，被9除都余1。

例如：28---2+8=10, 1+0=1

496----4+9+6=19, 1+9=10, 1+0=1

②虧數(shù)和盈數(shù)。

對(duì)于“4”這個(gè)數(shù)，它的真因數(shù)有1、2，它們的和是3，比4本身小，像這樣的自然數(shù)叫作虧數(shù)。

對(duì)于“12”這個(gè)數(shù)，它的真因數(shù)有l(wèi)、2、3、4、6．它們的和是16，比12本身大，像這樣的自然數(shù)叫作盈數(shù)。

所以，完全數(shù)就是既不盈余、也不虧欠的自然數(shù)。

③相親數(shù)，又稱親和數(shù)、友愛數(shù)。

兩個(gè)正整數(shù)中，彼此的全部真因數(shù)之和與另一方相等。

例如220與284，220的全部真因數(shù)相加的和是：1+2+4+5+10+1 1+20+22+44+55+110= 284。284的全部真因數(shù)相加的和是：1+2+4+71+142= 220。

所以，220與284是一對(duì)親和數(shù)。它是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，是人類認(rèn)識(shí)的第一對(duì)親和數(shù)，也是最小的一對(duì)。現(xiàn)在，人們找到的親和數(shù)已經(jīng)超過了1200多對(duì)。

人們發(fā)現(xiàn)的前十對(duì)親和數(shù)為：220與284, 1184與1210，2620與2924, 5020與5564, 6232與6368, 10744與10856, 12285與14595,17296與18416, 63020與76084, 66928與66992。

人們還研究了友好數(shù)鏈：這是一連串自然數(shù)，其中每—個(gè)數(shù)的真因數(shù)之和都等于下一個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)的真因數(shù)之和等于第一個(gè)數(shù)。如12496, 14288, 15472, 14536, 14264。

其中，最長(zhǎng)的鏈競(jìng)包含了28個(gè)數(shù)：14316, 19116, 31704, 47616,83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904,366556. 274924, 275444, 243760, 376736, 318028, 285778, 152990,122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716。

三．教學(xué)建議

(1)注意弄清乘法算式中的“因數(shù)”與本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系與區(qū)別

在同一乘法算式中，乘號(hào)兩邊的數(shù)叫作因數(shù)，這是相對(duì)于“積”而言的。此時(shí)的因數(shù)和積可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)、分?jǐn)?shù)。本單元中的因數(shù)，是相對(duì)于“倍數(shù)”而言的，因數(shù)和倍數(shù)具有整除的關(guān)系，所以因數(shù)和倍數(shù)都只能是整數(shù)。

(2)注意弄清“倍數(shù)”與“倍”的聯(lián)系與區(qū)別

“倍”的概念的外延比“倍數(shù)”要廣，比如對(duì)12÷3=4，1.2÷0.3=4．我們?cè)谟谩氨丁北硎鰰r(shí)可以說：12是3的4倍，1.2是0.3的4倍。而用“倍數(shù)”表述時(shí)只能說：12是3的倍數(shù)，而不能說1.2是0.3的倍數(shù)，因?yàn)橹挥性谡那闆r下才有因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系。

(3)引導(dǎo)學(xué)生自主探究找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法

一個(gè)數(shù)的因數(shù)有哪些？倍數(shù)有哪些？教師可以放手讓學(xué)生先嘗試去找。學(xué)生初次去找有可能找不全，當(dāng)出現(xiàn)問題后學(xué)生反而會(huì)去思考：用什么方法去找？從幾找起？這樣可以使學(xué)生在活動(dòng)體驗(yàn)中逐步感悟出找一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法，并逐步感悟出一個(gè)數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)各有什么特點(diǎn)。

(4)注意滲透集合思想

教師可以借助集合圈表示出一個(gè)數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)，使學(xué)生更好地感受到一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無限的；同時(shí)為后面用交集形式表示兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)和公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。

四．推薦閱讀

(1)《小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)樹》 (劉開云、李燕燕，北京大學(xué)出版社，2008)

該書第一部分《數(shù)與運(yùn)算》的第二章《數(shù)的整除》中介紹了與因數(shù)和倍數(shù)相關(guān)的知識(shí)。

(2)《對(duì)“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)內(nèi)容的再思考》（丁國(guó)忠，《小學(xué)數(shù)學(xué)》，2008年第2期）

該文分析了這部分內(nèi)容中相關(guān)概念之間的緊密聯(lián)系以及本部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要意義，對(duì)因數(shù)和倍數(shù)在中小學(xué)階段的重要功能進(jìn)行了深入思考。