球的表面積公式(球的表面積公式推導)

人教版高中數學教材2019版A版必修二中關于球體的表面積和體積公式在教材第117頁和118頁中給出如下：

教材的編寫者可能想在給出球體的表面積公式的基礎上向學生們簡單滲透一下求體積的思想過程(可以看做積分思想的啟蒙)，但是筆者覺得這個多少有些簡略，可以對比一下人教版1997版關于這部分內容的處理：

可以看到，有的圖都是一樣的，但1997版處理上邏輯要清晰很多，并且給出了具體的運算過程，筆者覺得這樣在傳遞積分思想上要有效的多。

其實在前微積分時代，很多求面積和體積的公式都是來源于“窮竭法”(Method of Exhaustion)。前面的計算過程可以看作是窮竭法的使用。該方法起源于古希臘時期，以阿基米德使用最為出名。窮竭法可以看作是積分思想的萌芽，下圖就是用該方法的思想來求圓的面積：

窮竭法的關鍵是依賴于“雙重歸謬”(Reductio ad Absurdum)，下面這個就完整地展示了使用窮竭法計算拋物線面積的過程：

當然，窮竭法過于依賴幾何直觀基礎，而且雙重歸謬過于繁瑣，所以在17世紀的時候，被以它為思想基礎的積分所代替。盡管如此，筆者覺得對于中學生來說，了解一些窮竭法，對大學學習微積分還是有很大積極作用的！