線性規劃法(線性規劃法例題跟解法)

線性規劃

在數學中，線性規劃是一種具有約束條件的優化操作的方法。 線性規劃的主要目標是求最大或最小化值。 它由線性函數組成，這些函數以線性方程或不等式的形式受到約束。 線性規劃被認為是尋找資源最優利用的一項重要技術。 術語“線性規劃”表明多個變量都是直線的“線性”關系，通過變量的約束尋找最佳結果即“規劃”。

線性規劃廣泛應用于數學和其他一些領域，如經濟、商業、電信和制造領域。 在本文中，讓我們討論線性規劃的定義，它的組成，以及解決線性規劃問題的不同方法。

什么是線性規劃

線性規劃也稱線性優化可以定義為最大化或最小化受線性約束的線性函數的問題。 約束可以是等式或不等式。 最優化問題涉及到利潤和損失的計算。

也就是說，線性規劃是將給定數學模型的目標函數最大化或最小化的一種優化方法，其要求的集合以線性關系表示。 線性規劃問題的主要目的是求最優解。

線性規劃的組成

線性規劃的基本組成部分如下:

?決策變量

?約束

?數據

?目標函數

線性規劃的特性

以下是線性規劃問題的五個特點:

約束——關于資源的限制應該用數學形式表示。

目標函數-在一個問題中，目標函數應該以定量的方式指定。

線性-函數中兩個或多個變量之間的關系必須是線性的。 它的意思是變量的次數是1。

有限性——輸入和輸出數字應該是有限的。 當函數有無限因子時，最優解是不可行的。

非負性-變量值應該為正或零。 它不應該是負數。

決策變量——決策變量將決定輸出。 它給出了問題的最終解決方案。 對于任何問題，第一步都是確定決策變量。

線性規劃的圖形方法

用圖解法對二元線性規劃進行優化。 如果問題有兩個決策變量，圖解法是找到最優解的最佳方法。 在這種方法中，不等式集受到約束。 然后不等式在XY平面上畫出來。 一旦所有的不等式都繪制在XY圖中，相交區域將有助于確定可行區域。 可行區域將提供最優解決方案，并解釋我們的模型可以采取的所有值。 讓我們看一個例子，更好地理解線性規劃的概念。

例子:

計算z = 5x + 3y的最大值和最小值。

X + 2y≤14

3x - y≥0

X - y≤2

解答:

三個不等式表示約束條件。 被標記的平面的面積就是可行區域。

優化方程(z) = 5x + 3y。 你必須找到(x,y)的頂點，它們給出z的最大值和最小值。

首先，解每個不等式。

X + 2y≤14, y≤-(1/2)X + 7

3x - y≥0, y≤3x

X - y≤2, y≥X - 2

下圖是上面方程的圖表，黃色三角形的區域就是所求值的約束范圍。

現在把這兩條線配對成一個線性方程組來求直線的交點。

Y = -(1 / 2) x + 7

y = 3 x

解上述方程，我們得到交點為(2,6)

Y = -1/2 x + 7

Y = x - 2

解上述方程，得到交點為(6,4)

y = 3 x

Y = x - 2

解上述方程，我們得到交點為(-1，-3)

對于線性系統，優化方程的最大值和最小值位于可行性區域的角落。 因此，要找到最佳解，只需要將這三個點代入z = 3x + 4y

(2, 6):

Z = 5(2) + 3(6) = 10 + 18 = 28

(6，4):

Z = 5(6) + 3(4) = 30 + 12 = 42

(-1，-3):

Z = 5(-1) + 3(-3) = -5 -9 = -14

因此，z = 42的最大值在(6,4)，z = -14的最小值在(-1，-3)