求值域的方法(求值域的方法有哪些)

1、換元法：將函數解析式中關于的部分表達式視為一個整體，并用新元代替，將解析式化歸為熟悉的函數，進而解出值域

（1）在換元的過程中，因為最后是要用新元解決值域，所以一旦換元，后面緊跟新元的取值范圍

（2）換元的作用有兩個：

① 通過換元可將函數解析式簡化，例如當解析式中含有根式時，通過將根式視為一個整體，換元后即可“消滅”根式，達到簡化解析式的目的

② 化歸：可將不熟悉的函數轉化為會求值域的函數進行處理

（3）換元的過程本質上是對研究對象進行重新選擇的過程，在有些函數解析式中明顯每一項都是與的某個表達式有關，那么自然將這個表達式視為研究對象。

思路：解析式中只含一個根式，所以可將其視為一個整體換元，從而將解析式轉為二次函數，求得值域即可。

2、數形結合：即作出函數的圖像，通過觀察曲線所覆蓋函數值的區域確定值域，以下函數常會考慮進行數形結合

（1）分段函數：盡管分段函數可以通過求出每段解析式的范圍再取并集的方式解得值域，但對于一些便于作圖的分段函數，數形結合也可很方便的計算值域。

（2）f(x)的函數值為多個函數中函數值的最大值或最小值，此時需將多個函數作于同一坐標系中，然后確定靠下（或靠上）的部分為該 f(x)函數的圖像，從而利用圖像求得函數的值域

（3）函數的解析式具備一定的幾何含義，需作圖并與解析幾何中的相關知識進行聯系，數形結合求得值域，如：分式→直線的斜率；被開方數為平方和的根式→兩點間距離公式

思路：（1）函數為分式，但無法用“變形+換元”的方式進行處理，雖然可以用導數，但求導后需對分子的符號進行進一步研究。那么換一個視角，從分式的特點可聯想到直線的斜率，即是(x,xlnx)與定點(1,-3)連線的斜率，那么只需在坐標系中作出f(x)=xlnx在[2,4]的圖像與定點(1,-3)，觀察曲線上的點與定點連線斜率的取值范圍即可

3、函數單調性：如果一個函數為單調函數，則由定義域結合單調性（增、減）即可快速求出函數的值域。

以上為求值域的三種常見方法，與求函數的理念息息相關，有些函數也許有多種解法，或是在求值域的過程中需要多種手段綜合在一起解決。希望你再遇到函數值域問題時，能迅速抓住解析式的特點，找到突破口，靈活運用各種方法處理問題。