第1宇宙速度(第1宇宙速度又叫什么速度)

關於第一宇宙速度的推導：

預備知識：

機械能守恆定律：封閉系統內機械能不變，機械能為動能與勢能之和。

動能：mv2/2

引力勢能：-Gm?m?/r

向心力大?。篎=mv2/r

萬有引力大小：F=Gm?m?/r2

現假設一飛船以v?的速度自地球表面發射，後於高度為h除繞地以v的速度飛行，設飛船質量為m，地球質量為M，地球半徑為R，則飛船初動能為：

mv?2/2

末動能為：

mv2/2

系統初引力勢能為：

-GMm/R

末引力勢能為：

-GMm/(R+h)

故由機械能守恆定律，得

E=(mv?2/2)-(GMm/R)

=(mv2/2)-(GMm/(R+h))

化簡上式，兩邊同乘2/m

v?2-(2GM/R)=v2-(2GM/(R+h))

移項

v?2=v2+(2GM/R)-(2GM/(R+h))

化簡分式

v?2=v2+(2GMR+2GMh)/R(R+h)

-2GMR/R(R+h)

v?2=v2+2GMh/R(R+h) (1)

又因飛船欲繞地球做圓周運動，故其應保持的向心力為：

F=mv2/(R+h)

而其向心力均由萬有引力提供，則

mv2/(R+h)=GMm/(R+h)2

化簡上式，兩側同乘(R+h)/m得

v2=GM/(R+h) (2)

代(2)入(1)得

v?2=GM/(R+h)+2GMh/R(R+h)

化簡，得

v?2=(RGM+2GMh)/R(R+h)

提取公因式，得

v?2=(GM/R2)(R+2h)R/(R+h)

注意GM/R2=g，且高度h與地球半徑R比起微不足道，故R+2h，R+h，都可以看做為R，故

v?2=GM/R=Rg

即

v?=(Rg)?

代入數據R≈6.37*10?，g≈9.8得

v?≈7900(m/s)

關於第二宇宙速度的推導

這次設一飛船以v?的速度飛出地球而最後飛離擺脫地球引力場控制，那麼我們照舊可以用(1)式這個結論，得：

v?2=v2+2GMh/R(R+h)

實質上就是把v?改成v?，而其v,G,M,R,h意義不變，我們設飛船飛到最後速度為零，即在他飛行到最遠距離時，得v?2=2GMh/R(R+h)

其中h指飛船飛行最遠距離，而想要讓飛船擺脫地球引力場，就要讓其最遠飛到無限遠的地方，也就是h=∞，那麼R+h就約等於h，即

v?2=2GMh/Rh

v?2=2GM/R

故

v?=(2GM/R)?

或是說

v?=2?v?

代入數據，得

v?≈11200（m/s)

這樣一來我們就算出第一宇宙速度和第二宇宙速度了