祖沖之的圓周率紀錄保持近1000年，他的圓周率是怎么記下來的？
祖沖之是南北朝時期著名的數(shù)學家,一生致力于鉆研自然科學,首次將圓周率精確到了小數(shù)點后七位,對數(shù)學的發(fā)展做出了很大的貢獻。祖沖之算出來的圓周率在3.1415926~3.1415927之間，后人也曾用他的名字命名圓周率為“祖沖之圓周率”或者“祖率”，在天文，立法等一切涉及到圓的方面都應(yīng)用非常廣泛。
最初劉徽創(chuàng)立割圓木，祖沖之在這種方法的基礎(chǔ)上，將圓周率推算到了更加精確的程度，算出圓周率的不足近似值是3．1415926，過剩近似值是3．1415927，真值介于兩者之間，成為了世界上第一個將圓周率精確到如此精度的人，用這兩個近視值來進行計算非常簡便，也展示出我國古代數(shù)學水平發(fā)展程度之高，直到1427年阿拉伯的一位數(shù)學家才求出了更加精確的圓周率數(shù)值。關(guān)于祖沖之圓周率的記錄方法，目前主要有兩種說法：
一、由祖沖之所著《綴術(shù) 》記載
據(jù)說，祖沖之曾寫過一本數(shù)學著作《綴術(shù)》，記錄了他研究圓周率的成果以及研究方法，但當時社會對于數(shù)學的關(guān)注度并不高，認為數(shù)學是一種無用的學科，無人關(guān)注這本數(shù)學著作，以至于后來有所失傳。
二、《隋書·律歷志》 記載
《隋書·律歷志》中有記載，“古之九數(shù)，圓周率三，圓徑率一，其術(shù)疏舛。”“南徐州從事史祖沖之，以圓徑一億為一丈，...，密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。 ”這是目前正史中唯一能夠找到的關(guān)于祖沖之圓周率的記載。
關(guān)于祖沖之記錄圓周率的方法至今還有很多謎團。但不可否認的是，他對于我國古代數(shù)學所做出的貢獻是非常巨大的。
祖沖之是怎么計算出圓周率的？
祖沖之是我國古代著名的數(shù)學家和天文學家，他在數(shù)學上最重要的成就是把圓周率的小數(shù)位史無前例地計算到第七位，這個精度在隨后的800年里一直是世界第一。那時是公元480年，一切都要依靠手工計算的時代（甚至算盤可能還沒有出現(xiàn)），算個開方都費勁，那么，祖沖之是如何算出精度這么高的圓周率呢？
圓周率并不是通過先作圓，然后量周長和直徑，最后算出來的。因為這樣做的誤差很大，測量誤差不可避免。事實上，古代數(shù)學家在很長一段時間里都是用幾何方法來計算圓周率。
祖沖之算圓周率所使用的方法是劉徽發(fā)明的割圓術(shù)，這與阿基米德所用的方法有些不同。阿基米德通過做圓的外切和內(nèi)接正多邊形，來計算圓周率的上下限，因為邊數(shù)越多的正多邊形越接近于圓。
劉徽的割圓術(shù)基于圓的內(nèi)接正多邊形，他用正多邊形的面積來逼近圓的面積。分割越多，內(nèi)接正多邊形和圓之間的面積越來越小，兩者越來接近。無限分割之后，內(nèi)接正多邊形和圓將會合二為一。
如上圖所示，在一個半徑為r的圓中做正3×2^n（n為正整數(shù)）邊形，假設(shè)其邊長為a_n，即AB=a_n。AB的中點為P，連接OP交圓于C。那么，AC和BC就是正3×2^(n+1)邊形的邊長，可以表示為a_(n+1)。
在直角三角形AOP中，根據(jù)勾股定理：
OA^2=AP^2+OP^2
令OP=b_n，由此可得：
令PC=c_n，c_n=PC=OC-OP=r-b_n
在直角三角形APC中，根據(jù)勾股定理：
AC^2=AP^2+PC^2
由此可得：
知道正3×2^n邊形的邊長之后，再根據(jù)劉徽多邊形面積公式，可以算出正6×2^n邊形的面積。根據(jù)上述正多邊形邊長的迭代公式，不斷的把圓分割下去，圓面積的計算精度會越來越高。
在劉徽的方法中，引入了極限和無窮小分割的思想。劉徽的方法更為巧妙，也更為簡潔。劉徽算到了正3072邊形，結(jié)果得到的圓周率為3.1416。
祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算到了正24576邊形，并根據(jù)劉徽圓周率不等式，確定了圓周率的下限（肭數(shù)）為3.1415926，上限（盈數(shù)）為3.1415927。并且，祖沖之還順便給出了圓周率的一個近似分數(shù)355/113，其前六位都是正確的。
在沒有計算機和算盤的幫助下，祖沖之用算籌來計算乘方和開方，硬生生地把圓周率的小數(shù)位算到了第七位，這需要極其巨大的毅力和艱苦卓絕的付出。在祖沖之的努力下，此后800年里，沒有人能夠算出比這精度更高的圓周率。
祖沖之的圓周率是多少?
三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學方法--"割圓術(shù)"，用圓內(nèi)接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內(nèi)接96邊形，求得π=3.14，并指出，內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，所求得的π值越精確．祖沖之在前人成就的基礎(chǔ)上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復演算，求出π在
3.1415926與3.1415927之間．并得出了π分數(shù)形式的近似值，取為約率，取為密率，其中取六位小數(shù)是3.141929，它是分子分母在1000以內(nèi)最接近π值的分數(shù)．祖沖之究竟用什么方法得出這一結(jié)果，現(xiàn)在無從考查．若設(shè)想他按劉徽的"割圓術(shù)"方法去求的話，就要計算到圓內(nèi)接16，384邊形，這需要化費多少時間和付出多么巨大的勞動啊！由此可見他在治學上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的．祖沖之計算得出的密率，外國數(shù)學家獲得同樣結(jié)果，已是一千多年以后的事了．為了紀念祖沖之的杰出貢獻，有些外國數(shù)學史家建議把π=叫做"祖率"．
祖沖之的計算圓周率的故事是什么?
祖沖之的計算圓周率的故事是祖沖之那個時代，算盤還未出現(xiàn)，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是 一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數(shù)目，叫作籌算法。如果計算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大。
用算籌來計算不像用筆，筆算可以留在 紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進行新的計算；只能用筆記下計算結(jié)果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現(xiàn)了錯誤，就只能從頭開始。
祖沖之為求得圓周率的精準數(shù)值，就需要對九位有效數(shù)字的小數(shù)進行加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復進行十幾次，開方運算有 50 次，最后計算出的數(shù)字達到小數(shù)點后十六、七位。
數(shù)學史上的創(chuàng)舉——“祖率”
祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當于精確到小數(shù)第7位，簡化成3.1415926，祖沖之因此入選世界紀錄協(xié)會世界第一位將圓周率值計算到小數(shù)第7位的科學家。
祖沖之還給出圓周率(π)的兩個分數(shù)形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精確到小數(shù)第7位。祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻，后人將“這個精確推算值”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。
祖沖之圓周率第幾位 祖沖之圓周率有多先進
1、祖沖之把圓周率推算到第七位。祖沖之首次將“圓周率”精算到小數(shù)第七位，即在3.1415926和3.1415927之間，他提出的“祖率”對數(shù)學的研究有重大貢獻。
2、南北朝時祖沖之算出的圓周率的近似值在3.1415926和3.1415927之間，并提出圓周率的約率為22/7，密率為355/113。祖沖之首創(chuàng)上下限的提法，將圓周率規(guī)定在這個界限間。并且他的圓周率精確值在當時世界遙遙領(lǐng)先，直到1000年后阿拉伯數(shù)學家阿爾卡西才超過他。所以，國際上曾提議將“圓周率”定名為“祖率”。
祖沖之與圓周率的故事
祖沖之是世界上第一個把圓周率的準確數(shù)值計算到小數(shù)點以后七位數(shù)字的人。直到一千年后，這個記錄才被阿拉伯數(shù)學家阿爾·卡西和法國數(shù)學家維葉特所打破。
祖沖之提出的它研究和計算的結(jié)果，證明圓周率應(yīng)該在3.1415926和3.1415927之間，也是直到一千年以后，才由德國稱之為“安托尼茲率”，還有別有用心的人說祖沖之圓周率是在明朝末年西方數(shù)學傳入中國后偽造的，這是有意的捏造。
記載祖沖之對圓周率研究情況的古籍是成書于唐代的史書《隋書》，而現(xiàn)傳的《隋書》有元朝大德丙午年（公元1306年）的刊本，其中就有和其他現(xiàn)傳版本一樣的關(guān)于祖沖之圓周率的記載，事在明朝末年前三百余年。而且還有不少明朝之前的數(shù)學家在自己的著作中引用過祖沖之的圓周率，這些事實都證明了祖沖之在圓周率研究方越的成就。
那么，祖沖之是如何取得這樣重大的科學成就呢？可以肯定，他的成就是建立在前人研究的基礎(chǔ)之上的。從當時的數(shù)學水平來看，祖沖之很可能是繼承了劉徽所創(chuàng)立和面卓首先使用的割圓術(shù)，并且加以發(fā)展，因此獲得了超越前人的重大成就。
在前面，我們提到割圓術(shù)時已經(jīng)知道了這樣的結(jié)論：圓內(nèi)接正n邊形的邊數(shù)越多，各邊長的總和就越接近圓周的實際長度。但因為它是內(nèi)接的，又不可能把邊數(shù)增加到無限多，所以邊長總和永遠小于圓周。
祖沖之按照劉徽的割圓術(shù)之法，設(shè)了一個直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計算。當他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形……一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內(nèi)接正多邊形的邊長。最后求得直徑為一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那么圓周小于3.1415927、大大不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計算和實際應(yīng)用。
要作出這樣精密的計算，是一項極為細致而艱巨的腦力勞動。我們知道，在祖沖之那個時代，算盤還未出現(xiàn)，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。
通過對算籌的不同擺法，來表示各種數(shù)目，叫做籌算法。如果計算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進行新的計算；只能用筆記下計算結(jié)果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。
因此只要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現(xiàn)了錯誤，就只能從頭開始。要求得祖沖之圓周率的數(shù)值，就需要對九位有的小數(shù)進行15927加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反復進行十幾次，開方運算有50次，最后計算出的數(shù)字達到小數(shù)點后十六、七位。
今天，即使用算盤和紙筆來完成這些計算，也不是一件輕而易舉的事。讓我們想一想，在一千五百多年前的南朝時代，一位中年人在昏暗的油燈下，手中不停地算呀、記呀，還要經(jīng)常地重新擺放數(shù)以萬計的算籌，這是一件多么艱辛的事情，而且還需要日復一日地重復這種狀態(tài)，一個人要是沒有極大的毅力，是絕對完不成這項工作的。
這一光輝成就，也充分反映了我國古代數(shù)學高度發(fā)展的水平。祖沖之，不僅受到中國人民的敬仰，同時也受到世界各國科學界人士的推崇。1960年，蘇聯(lián)科學家們在研究了月球背面的照片以后，用世界上一些最有貢獻的科學家的名字，來命名那上面的山谷，其中有一座環(huán)形山被命名為“祖沖之環(huán)形山”。
祖沖之在圓周率方面的研究，有著積極的現(xiàn)實意義，適應(yīng)了當時生產(chǎn)實踐的需要。他親自研究過，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。
古代有一種量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，那這種量器的容積有多大呢？要想求出這個數(shù)值，就要用到圓周率。祖沖之利用他的研究，求出了精確的數(shù)值。
他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”（另一種量器，與上面提到的 都是類似于現(xiàn)在我們所用的“升”等量器，但它們都是圓柱體。），由于劉歆所用的計算方法和圓周率數(shù)值都不夠準確，所以他所得到的容積值與實際數(shù)值有出入。祖沖之找到他的錯誤所在，利用“祖率”校正了數(shù)值。為人們的日常生活提供了方便。
以后，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數(shù)值。祖沖之在前人的基礎(chǔ)上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復演算，將圓周率推算至小數(shù)點后7位數(shù)，并得出了圓周率分數(shù)形式的近似值。
祖沖之究竟用什么方法得出這一結(jié)果，現(xiàn)在無從查考；如果設(shè)想他按劉徽的“割圓術(shù)”方法去求的話，就要計算到圓內(nèi)接16000多邊形，這需要花費多少時間和付出多么巨大的勞動啊！
據(jù)《隋書·律歷志》記載，祖沖之以一忽（一丈的一億分之一）為單位，求直徑為一丈的圓的周長，求得盈數(shù)為3.1415927、肭數(shù)為3.1415926，圓周率的真值介于盈肭兩數(shù)之間。
《隋書度量衡》沒有具體說明祖沖之是用什么方法計算出盈肭兩數(shù)的。一般認為，祖沖之采用的是劉徽的割圓術(shù)，但也有別的多種猜測。這兩個近似值準確到小數(shù)第7位，是當時世界上最先進的成就。
直到一千多年以后，15世紀阿拉伯數(shù)學家卡西和16世紀法國數(shù)學家F.韋達才得到更精確的結(jié)果。祖沖之確定了π的兩個漸近分數(shù)，約率22/7和密率355/113。
其中密率355/113（≈3.1415929）西方直到16世紀才由德國人V.奧托發(fā)現(xiàn)。它是三個成對奇數(shù)113355再折兩段組成，優(yōu)美、規(guī)整、易記。為了紀念祖沖之的杰出貢獻，有些外國數(shù)學史家把圓周率π的密率叫做“祖率”。
祖沖之在數(shù)學領(lǐng)域的成就，只是中國古代數(shù)學成就的一個方面。實際上，14世紀以前中國一直是世界上數(shù)學最為發(fā)達的國家之一。比如幾何中的勾股定理，在中國早期的數(shù)學專著《周髀算經(jīng)》（大約于公元前2世紀成書）中即有論述；成書于公元1世紀的另一本重要的數(shù)學專著《九章算術(shù)》，在世界數(shù)學史上最早提出負數(shù)概念及正負數(shù)加減法法則；13世紀時，中國就已經(jīng)有了十次方程的解法，而直到16世紀，歐洲才提出三次方程的解法。
