正三角形面積

授課：XXX

正余弦定理與三角形面積公式(2009-7-716:45:00)

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這兩天在看代碼時發(fā)現(xiàn)關于三角形的這些基本定理和公式很有用，所以從網(wǎng)上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦

定理，以及三角形面積公式（包括海倫公式）。

正弦定理（引自百度百科）

Sinetheorem

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一個三角形中是恒量，是此三角形外接圓的半徑的兩倍）

這一定理對于任意三角形ABC，都有

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

R為三角形外接圓半徑

證明

步驟1.

在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

a/sinA=b/sinB

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同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O于D.

連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R

類似可證其余兩個等式。

意義

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦之間的一個關系式，又由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單

調(diào)性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關系。

余弦定理

余弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個

邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。

對于任意三角形三邊為a,b,c三角為A,B,C滿足性質(zhì)

(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)

a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA

b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB

c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc

證明：

∵如圖，有a→+b→=c→

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：這里用到了三角函數(shù)公式）

再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

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同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------

平面幾何證法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據(jù)勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB

b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可以看出，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角一

定是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角。

即，利用余弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用余弦定理求三角形邊長取值范圍。

海倫公式

海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫

（Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)MorrisKline在1908年

出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。我國宋代的數(shù)學家秦九韶也

提出了“三斜求積術”，它與海倫公式基本一樣。

假設有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

S=%√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

而公式里的p為半周長：

p=(a+b+c)/2

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注1："Metrica"(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。

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由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地

的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。

證明（1）：

與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形

的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

S=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

證明（2）：

我國宋代的數(shù)學家秦九韶也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經(jīng)有求三

角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他

們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直

到南宋，我國著名的數(shù)學家九韶提出了“三斜求積術”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，

送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除

馮所得的數(shù)作為“實”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p為“隅”，Q為“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中

斜、小斜，所以

q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]

當P＝1時，△2＝q,

S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}

因式分解得

1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。

S=c/2*根號下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^.其中c>b>a.

根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運算。如下題：

已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積

這里用海倫公式的推廣

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S圓內(nèi)接四邊形=根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）

代入解得s=8√3

海倫公式的幾種另證及其推廣

關于三角形的面積計算公式在解題中主要應用的有：

設△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p=

(a+b+c),則

S△ABC=1/2aha=1/2ab×sinC=1/2rp

=2R2sinAsinBsinC=

=

其中，S△ABC=就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學家海倫的著作《測地術》中有記載。

海倫公式在解題中有十分重要的應用。

一、海倫公式的變形

S=

=①

=②

=③

=④

=⑤

二、海倫公式的證明

證一勾股定理

分析：先從三角形最基本的計算公式S△ABC=aha入手，運用勾股定理推導出海倫公式。

證明：如圖ha⊥BC，根據(jù)勾股定理，得:

x=y=

ha===

∴S△ABC=aha=a×=

此時S△ABC為變形④，故得證。

證二：斯氏定理

分析：在證一的基礎上運用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點D，

若BD=u，DC=v,AD=t.則

t2=

證明：由證一可知，u=v=

∴ha2=t2=－

∴S△ABC=aha=a×

=

此時為S△ABC的變形⑤，故得證。

證三：余弦定理

分析：由變形②S=可知，運用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC對其進行證明。

證明：要證明S=

則要證S=

=

=ab×sinC

此時S=ab×sinC為三角形計算公式，故得證。

證四：恒等式

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分析：考慮運用S△ABC=rp，因為有三角形內(nèi)接圓半徑出現(xiàn)，可考慮應用三角函數(shù)的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么

tg·tg+tg·tg+tg·tg=1

證明：如圖，tg=①

tg=②

tg=③

根據(jù)恒等式，得：

++=

①②③代入，得：

∴r2(x+y+z)=xyz④

如圖可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x

∴x=同理：y=z=

代入④，得：r2·=

兩邊同乘以，得：

r2·=

兩邊開方，得：r·=

左邊r·=r·p=S△ABC右邊為海倫公式變形①，故得證。

證五：半角定理

半角定理：tg=

tg=

tg=

證明：根據(jù)tg==∴r=×y①

同理r=×z②r=×x③

①×②×③,得：r3=×xyz

∵由證一，x==－c=p－c

y==－a=p－a

z==－b=p－b

∴r3=∴r=

∴S△ABC=r·p=故得證。

三、海倫公式的推廣

由于在實際應用中，往往需計算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海

倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設p=,則S四邊形=

現(xiàn)根據(jù)猜想進行證明。

證明：如圖，延長DA，CB交于點E。

設EA=eEB=f

∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○

∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD

∴===

解得：e=①f=②

由于S四邊形ABCD=S△EAB

將①，②跟b=代入公式變形④，得：

∴S四邊形ABCD=

所以，海倫公式的推廣得證。

四、海倫公式的推廣的應用

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海倫公式的推廣在實際解題中有著廣泛的應用，特別是在有關圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中，直接運用海倫公式的

推廣往往事半功倍。

例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.

求：四邊形可能為等腰梯形。

解：設BC=x

由海倫公式的推廣，得：

(4－x)(2＋x)2=27

x4－12x2－16x＋27=0

x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)=0

(x－1)(x3＋x2－11x－27)=0

x=1或x3＋x2－11x－27=0

當x=1時，AD=BC=1

∴四邊形可能為等腰梯形。

在程序中實現(xiàn)(VBS):

Dima,b,c,p,s

a=inputbox("輸入三角形第一邊")

a=cint(a)

b=inputbox("輸入三角形第二邊")

b=cint(b)

c=inputbox("輸入三角形第三邊")

c=cint(c)

p=(a+b+c)/2

s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))

msgboxs,,"三角形面積"

（注：可編輯下載，若有不當之處，請指正，謝謝!）