考試試題

1

《實變函數》期末考試試題匯編

目錄

《實變函數》期末考試模擬試題（一）...................................................................2

《實變函數》期末考試模擬試題（二）...................................................................7

《實變函數》期末考試模擬試題（三）.................................................................13

《實變函數》期末考試模擬試題（四）.................................................................18

《實變函數》期末考試模擬試題（五）.................................................................27

《實變函數》期末考試模擬試題（六）.................................................................30

《實變函數》期末考試模擬試題（七）.................................................................32

《實變函數》期末考試模擬試題（八）.................................................................36

《實變函數》期末考試模擬試題（九）.................................................................41

《實變函數》期末考試模擬試題（十）.................................................................47

《實變函數》期末考試題（一）.............................................................................57

《實變函數》期末考試題（二）.............................................................................63

2

《實變函數》期末考試模擬試題（一）

（含解答）

一、選擇題（單選題）

1、下列集合關系成立的是（A）

（A）()ABBAB???（B）()ABBA??

（C）()BAAA??（D）()BAA?

2、若nER?

是開集，則（B）

（A）

EE

?

?

（B）

E

的內部

E?

（C）EE?（D）

EE

?

?

3、設

P

是康托集，則（C）

（A）

P

是可數集（B）

P

是開集（C）

0mP?

（D）

1mP?

4、設

E

是1R

中的可測集，()x?是

E

上的簡單函數，則（D）

（A）()x?是

E

上的連續函數（B）()x?是

E

上的單調函數

（C）()x?在

E

上一定不

L

可積（D）()x?是

E

上的可測函數

5、設

E

是nR

中的可測集，()fx為

E

上的可測函數，若()d0

E

fxx??，則（A）

（A）在

E

上，()fz不一定恒為零（B）在

E

上，()0fz?

（C）在

E

上，()0fz?（D）在

E

上，()0fz?

二、多項選擇題（每題至少有兩個或兩個以上的正確答案）

1、設

E

是[0,1]中的無理點全體，則（C、D）

（A）

E

是可數集（B）

E

是閉集

（C）

E

中的每一點都是聚點（D）

0mE?

2、若1ER?

至少有一個內點，則（B、D）

（A）*mE可以等于零（B）*0mE?

（C）

E

可能是可數集（D）

E

是不可數集

3、設[,]Eab?是可測集，則

E

的特征函數()

E

Xx是（A、B、C）

（A）[,]ab上的簡單函數（B）[,]ab上的可測函數

（C）

E

上的連續函數（D）[,]ab上的連續函數

4、設()fx在可測集

E

上

L

可積，則（B、D）

3

（A）()fz?和()fz?有且僅有一個在

E

上

L

可積

（B）()fz?和()fz?都在

E

上

L

可積

（C）()fz在

E

上不一定

L

可積

（D）()fz在

E

上一定

L

可積

5、設()fz是[,]ab的單調函數，則（A、C、D）

（A）()fz是[,]ab的有界變差函數（B）()fz是[,]ab的絕對連續函數

（C）()fz在[,]ab上幾乎處處連續（D）()fz在[,]ab上幾乎處處可導

三、填空題（將正確的答案填在橫線上）

1、設

X

為全集，

A

，

B

為

X

的兩個子集，則

AB?CAB?

。

2、設nER?

，如果

E

滿足

EE

?

?

，則

E

是閉集。

3、若開區間(,)??是直線上開集

G

的一個構成區間，則(,)??滿足(,)G???、

,GG????。

4、設

A

是無限集，則

A

的基數A?a（其中a表示可數基數）。

5、設

1

E，

2

E為可測集，

2

mE???，則

12

()mEE?

12

mEmE?。

6、設()fx是定義在可測集

E

上的實函數，若對任意實數a，都有[()]Exfxa?

是可測集，則稱()fx是可測集

E

上的可測函數。

7、設

0

x是1ER?

的內點，則*mE?0

。

8、設函數列{()}

n

fx為可測集

E

上的可測函數列，且()()()

n

fxfxxE??，則由黎斯定

理可得，存在{()}

n

fx的子列{()}

k

n

fx，使得()

k

n

fx..ae?

()()fxxE?。

9、設()fx是

E

上的可測函數，則()fx在

E

上的

L

積分不一定存在，且()fx在

E

上不

一定

L

可積。

10、若()fx是[,]ab上的絕對連續函數，則()fx一定是[,]ab上的有界變差函數。

四、判斷題（正確的打“√”，錯誤的打“×”）

1、可列（數）個閉集的并集仍為閉集。（×）

2、任何無限集均含有一個可數子集。（√）

4

3、設

E

是可測集，則一定存在G

?

型集

G

，使得

EG?

，且()0mGE?。（√）

4、設

E

是零測集，()fz是

E

上的實函數，則()fx不一定是

E

上的可測函數。（×）

5、設()fz是可測集

E

上的非負可測函數，則()fx必在

E

上

L

可積。（×）

五、簡答題

1、簡述無窮多個開集的交集是否必為開集？

答：不一定為開集。例如取1R

上一列開集為

11

(1,1)

nn

???，1,2,3,n?

而

1

11

(1,1)[1,1]

nnn

?

?

??????是閉集，不是開集。

2、可測集

E

上的可測函數與簡單函數有何關系？

答：①簡單函數是可測函數；

②可測函數不一定是簡單函數；

③可測函數一定可以表示成一列簡單函數的極限。

3、[,]ab上的有界變差函數與單調函數有何關系？

答：①單調函數是有界變差函數；

②有界變差函數不一定是單調函數，但一定可以表示成單調函數的和或差。

六、計算題

1、設

1[0,1]

()

0[0,1]

xQ

Dx

xQ

??

?

?

?

??

?

，其中Q是有理數集，求

[0,1]

()dDxx?。

解：因為{[0,1]}0mQ??，所以()0..Dxae?于[0,1]，于是

[0,1][0,1]

()00Dxdxdx????

2、求

0

ln()

limcosdx

n

xn

exx

n

??

?

??

?

??。

解：因為

ln()ln(11)1)

cos(1)xxxx

xnxnxn

exeexe

nnn

????

??????

????

而

0

(1)xxedx

??

??????

所以，由

L

控制收斂定理

000

ln()ln()

limcosdlimcosd0d0xx

nn

xnxn

exxexxx

nn

??????

??

????

??

????????

七、證明題

1、證明集合等式：()()()ABCACBC???

5

證明：（方法1）對任意()xABC??，有()xAB??且

xC?

，即

xA?

或

xB?

且

xC?

所以

xAC?

或

xBC?

，即()()xACBC??。

反之，對任意()()xACBC??，有

xAC?

或

xBC?

，即

xA?

或

xB?

且

xC?

，

所以()xAB??且

xC?

，即()xABC??，

綜上所述，()()()ABCACBC???。

（方法2）()()()()()()cccABCABCACBCACBC??????????。

2、設

0

E是[0,1]中的有理點全體，則

0

E是可測集且

0

0mE?。

證明：因為

0

E是可數集，則

012

{,,,,}

n

Errr?

對任意

0??

，取開區間

11

(,)

22nn

nn

rr

??

??

??，1,2,n?，顯然它們把

0

E覆蓋住。

于是*

0

12n

n

mE

?

??

?

???。讓

0??

得，*

0

0mE?，從而

0

E是可測集且

0

0mE?。

3、證明：1R

上的實值連續函數()fx必為1R

上的可測函數。

證明：因為對于任意實數a，由連續函數的局部保號性易知，1[()]Rxfxa?是開集，從而

1[()]Rxfxa?是可測集。所以()fx必為1R

上的可測函數。

4、設()fx是可測集1ER?

上的

L

可積函數，{}

n

E為

E

的一列可測子集，

mE???

，如

果

lim

n

n

mEmE

??

?

，則lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx

??

???。

證明：因為

mE???

且

n

EE?，所以()

nnn

mEmEEmEmE???

從而由題設

lim()lim

nn

nn

mEEmEmEmEmE

????

?????

又()fx在1ER?

上的

L

可積，且

()

()d()d()d()d

nnnn

EEEEEE

fxxfxxfxxfxx

?

???????

()d()d()d()d

nnnn

EEEEEE

fxxfxxfxxfxx????????

所以由積分的絕對連續性得

lim(()d()d)lim()d0

nn

nn

EEEE

fxxfxxfxx

????

??????

6

即lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx

??

???。

5、設()fx是可測集1ER?上的

L

可積函數，{}

n

E為

E

中的一列遞增可測子集，

1

lim()d()d

n

n

n

n

E

E

fxxfxx

?

?

??

???。

證明：記

()()()

n

nE

fxfxx???，其中

1,

()

0,n

n

E

n

xE

x

xE

?

?

?

?

?

?

?

顯然在

1

n

n

E?

?

上，()()()()

n

nE

fxfxxfx????，()()

n

fxfx?且

1

()()

n

n

n

n

E

E

fxdxfxdx

?

?

???

于是由勒貝格控制收斂定理即可的結論。

7

《實變函數》期末考試模擬試題（二）

（含解答）

一、選擇題（單選題）

1、下列集合關系成立的是（A）

（A）()()()ABCABAC??????（B）()ABA???

（C）()BAA???（D）()BAA?

2、若nER?

是閉集，則（B）

（A）

E

的內部

E?

（B）EE?（C）

EE

?

?

（D）

EE

?

?

3、設Q是有理數集，則（C）

（A）0mQ?（B）Q是閉集（C）0mQ?（D）Q是不可數集

4、設()fx為1R

上的連續函數，a為任意實數，則（D）

（A）1[()]Rxfxa?是開集（B）1[()]Rxfxa?是開集

（C）1[()]Rxfxa?是閉集（D）1[()]Rxfxa?是開集

5、設

E

是nR

中的可測集，()fx，()gx都是

E

上的可測函數，若

()()d0

E

fxgxx???，

則（A）

（A）()()..fzgxae?于

E

（B）在

E

上，()()fzgx?

（C）在

E

上，()()fzgx?（D）在

E

上，()()fzgx?

二、多項選擇題（每題至少有兩個或兩個以上的正確答案）

1、設

E

是[0,1]中的有理點全體，則（C、D）

（A）

E

是閉集（B）

E

中的每一點都是內點

（C）

E

是可數集（D）

0mE?

2、若1ER?

的外測度為零，則（B、D）

（A）

E

一定是可數集（B）

E

一定是可測集

（C）

E

不一定是可數集（D）

0mE?

3、設()nmEER????，函數列{()}

n

fx為

E

上幾乎處處有限的可測函數列，()fx為

E

上幾乎處處有限的可測函數，若()()()

n

fxfxxE??，則下列哪些結論不一定成立（A、

8

B、C、D）

（A）()d

E

fxx?存在（B）()fx在

E

上

L

可積

（C）

..()()()ae

n

fxfxxE??（D）lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx

??

???

4、若()fx在可測集

E

上有

L

積分值，則（A、C）

（A）()fz?和()fz?中至少有一個在

E

上

L

可積

（B）()fz?和()fz?都在

E

上

L

可積

（C）()fz在

E

上也有

L

積分值

（D）()fz在

E

上一定

L

可積

5、設()fz是[,]ab的絕對連續函數，則（A、B、C）

（A）()fz是[,]ab上的連續函數（B）()fz是[,]ab上的一致連續函數

（C）()fz是[,]ab上的有界變差函數（D）()fz在[,]ab上處處可導

三、填空題（將正確的答案填在橫線上）

1、設

A

，

B

是兩個集合，則

AB??()BAA?

2、設nER?

，如果

E

滿足

intEE?

，則

E

是開集。

3、設

G

為直線上的開集，若開區間(,)??滿足(,)G???和,GG????，則(,)??

必為

G

的構成區間。

4、設

A

是偶數集，則則

A

的基數A?

a（其中a表示可數基數）。

5、設

1

E，

2

E為可數集，

21

EE?且

2

mE???，則

12

()mEE?

12

mEmE?。

6、設()fx是可測集

E

上的可測函數，則對任意實數a，

b

（

ab?

），都有[()]Exafxb??

是可測集。

7、若1ER?

是可數集，則*mE?0

。

8、設函數列{()}

n

fx為可測集

E

上的可測函數列，()fx是

E

上的可測函數，如果

..()()()ae

n

fxfxxE??，則()()()

n

fxfxxE??不一定成立。

9、設()fx是

E

上的非負可測函數，則()fx在

E

上的

L

積分的值一定存在。

10、若()fx是[,]ab上的有界變差函數，則()fx必可表示成兩個遞增函數的差（或遞減

9

函數的差）。

四、判斷題（正確的打“√”，錯誤的打“×”）

1、可列（數）個開集的交集仍為開集。（×）

2、任何無限集均都是可數集。（×）

3、設

E

是可測集，則一定存在F

?

型集

F

，使得

FE?

，且()0mEF?。（√）

4、設

E

是可測集，則()fz是

E

上的可測函數?對任意實數a，都有[()]Exfxa?是可

測集。（√）

5、設()fz是可測集

E

上的可測函數，則()d

E

fxx?一定存在。（×）

五、簡答題

1、簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集？

答：不一定為閉集。例如取1R

上一列閉集為

11

[1,1]

nn

???，1,2,3,n?

而

1

11

[1,1](1,1)

nnn

?

?

??????是開集，不是閉集。

2、可測集

E

上的可測函數與連續函數有何關系？

答：①連續函數是可測函數；

②可測函數不一定連續；

③可測函數在

E

上是“基本上”連續的。

3、[,]ab上的絕對連續函數與有界變差函數有何關系？

答：①絕對連續函數是有界變差函數；

②有界變差函數不一定是絕對連續函數。

六、計算題

1、設

2

3

()

[0,1]

xxP

fx

xxP

?

?

?

?

?

?

，其中

P

是康托集，求

[0,1]

()dfxx?。

解：因為

0mP?

，所以3()..fxxae?于[0,1]，于是

3

[0,1][0,1]

()ddfxxxx???

再由

L

積分與

R

積分的關系得

1

3341

0

[0,1][0,1]0

11

()ddd

44

fxxxxxxx???????。

2、設

22

()

1n

nx

fx

nx

?

?

，[0,1]E?，求lim()d

n

n

E

fxx

??

?。

解：因為

22

1

()

12n

nx

fx

nx

??

?

，而

11

22

E

dx?????

所以，由

L

控制收斂定理

10

lim()dlim()d0d0

nn

nn

EEE

fxxfxxx

????

??????

七、證明題

1、證明集合等式：()()()ABCABAC???

證明：（方法1）對任意()xABC??，有

xA?

且

xBC??

，即

xA?

且

xB?

，

xC?

所以

xAB?

且

xAC?

，即()()xABAC??。

反之，對任意()()xABAC??，有

xAB?

且

xAC?

，即

xA?

且

xB?

，

xC?

，

所以

xA?

且

xBC??

，即()xABC??，

綜上所述，()()()ABCABAC???。

（方法2）

()()()()()()cccccABCABCABCABACABAC?????????????。

2、設1ER?

，且*0mE?，則

E

是可測集。

證明：對任意1TR?

，顯然***()()cmTmTEmTE????

又**()0mTEmE???（因為

TEE??

），從而*()0mTE??

所以****()()()ccmTEmTEmTEmT??????（因為cTET??

）

所以***()()cmTmTEmTE????，即

E

是可測集。

3、證明：1R

上的單調函數()fx必為1R

上的可測函數。

證明：不妨設()fx是單調遞增函數，對于任意實數a，記1

0

inf[()]Rxfxa???，由于

()fx是單調遞增函數，

1

00

1

1

00

(,)[()]

[()]

[,)[()]

Rxfxa

Rxfxa

Rxfxa

??

??

?????

?

??

?

????

?

?

，顯然是可

測集。所以()fx必為1R

上的可測函數。

4、設()fx是可測集nER?

上的可測函數，則()fx在

E

上

L

可積?()fx在

E

上

L

可

積。

證明：必要性：因為()fx在

E

上

L

可積，則()d

E

fxx?????和()d

E

fxx?????

而()()()fxfxfx????，所以

11

()d()d()d

EEE

fxxfxxfxx??????????，

即()fx在

E

上

L

可積。

充分性：因為()d

E

fxx????，且0()()fxfx???，0()()fxfx???

則()d()d

EE

fxxfxx???????，()d()d

EE

fxxfxx???????。

所以()fx在

E

上

L

可積。

5、設{()

n

fx}可測集

E

上的非負可測函數列，且

1

()()

nn

fxfx

?

?（

1n?

），存在

0

k使得

0

()d

k

E

fxx????，

記

lim()()

n

n

fxfx

??

?

，則()fx在

E

上勒貝格可積，且

lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx

??

???。

證明：不妨設

1

()

E

fxdx????，由題設注意到()

n

fx單調遞減可得

1

()()0

n

fxfx??，

且在

E

上恒有

lim()()

n

n

fxfx

??

?

，

于是，由勒貝格控制收斂定理得，()fx在

E

上勒貝格可積，且

lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx

??

???。

6、設

mE???

，??()

n

fx為

E

上幾乎處處有界的可測函數列，證明：在

E

上??0

n

fx?

的充要條件是

()

limd0

1()

n

n

n

E

fx

x

fx??

?

?

?。

證明：先證

()

()00

1()

n

n

n

fx

fx

fx

???

?

。

事實上，由對任意

0??

，

()

()

1()1

n

n

n

fx

fx

fx

?

?

?

???

??

再結合依測度收斂的定義即可

得上面的結論。

下面證明本題的結論。

必要性：因()0

n

fx?可得

()

0

1()

n

n

fx

fx

?

?

，于是

0???

，

0N??

，當

nN?

時，有

12

()

[]

1()

n

n

fx

mEx

fx

????

?

因此，當

nN?

時，并注意到

()

1

1()

n

n

fx

fx

?

?

和

()

[]

1()

n

n

fx

mExmE

fx

???

?

可得

()()

[][]

1()1()

()()()

ddd

1()1()1()

nn

nn

nnn

nnn

E

fxfx

ExEx

fxfx

fxfxfx

xxx

fxfxfx

????

??

??

???

???

()()

[]1[](1)

1()1()

nn

nn

fxfx

mExmExmE

fxfx

????????????

??

所以

()

lim0

1()

n

n

n

E

fx

dx

fx??

?

?

?。

充分性：對任意

0??

，由

()

[]

1()

()()()

[]dd0()

1()1()1()

n

n

nnn

nnn

E

fx

Ex

fx

fxfxfx

mExxxn

fxfxfx

?

??

?

?

???????

???

??

可得

()

0

1()

n

n

fx

fx

?

?

，從而()0

n

fx?。

13

《實變函數》期末考試模擬試題（三）

（含解答）

一、選擇題（單選題）

1、下列集合關系成立的是（A）

（A）()AABAB??（B）()AABAB??

（C）()BAAAB????（D）()BAA???

2、若nER?

是孤立點集，則（B）

（A）

EE

?

?

（B）

E

?

??

（C）

E

的內部

??

（D）

EE

?

?

3、設

W

是[0,1]上的無理數集，則（C）

（A）

W

是可數集（B）

W

是開集（C）

W

是不可數集（D）

0mW?

4、設()fx是1R

上的單調函數，則（D）

（A）()fx在1R

上連續（B）()fx在1R

中的不連續點有不可數個

（C）()fx在1R

上一定不

L

可積（D）()fx是1R

上的可測函數

5、設

E

是nR

中的可測集，()fx為

E

上的可測函數，若2()d0

E

fxx??，則（A）

（A），()fz在

E

上幾乎處處為零（B）在

E

上，()0fz?

（C）在

E

上，()0fz?（D）[()0]0mExfx??

二、多項選擇題（每題至少有兩個或兩個以上的正確答案）

1、設

E

是[0,1]上康托集，則（B、C）

（A）

E

是可數集（B）

E

是閉集

（C）

E

中的每一點都是聚點（D）

0mE?

2、若1ER?

至少有一個聚點，則（C、D）

（A）*0mE?（B）*0mE?

（C）

E

可能是可數集（D）

E

可能是不可數集

3、設[,]Eab?是不可測集，則

E

的特征函數()

E

Xx是（C、D）

（A）[,]ab上的簡單函數（B）[,]ab上的可測函數

（C）

E

上的連續函數（D）[,]ab上的不可測函數

4、設()fx在可測集

E

上不

L

可積，則（B、D）

14

（A）()fz?和()fz?都在

E

上不

L

可積

（B）()fz?和()fz?至少有一個在

E

上不

L

可積

（C）()fz在

E

上可能

L

可積

（D）()fz在

E

上一定不

L

可積

5、設()fz是[,]ab的有界變差函數，則（A、D）

（A）()fz在[,]ab上幾乎處處連續（B）()fz是[,]ab的連續函數

（C）()fz在[,]ab上不可導（D）()fz在[,]ab上幾乎處處可導

三、填空題（將正確的答案填在橫線上）

1、設

X

為全集，

A

，

B

為

X

的兩個子集，則

AB??()AAB

2、設nER?

，如果

E

滿足

EE

?

?

，則

E

是完全集。

3、若開區間(,)ab和(,)cd是直線上開集

G

的兩個不同的構成區間，則

(,)(,)abcd???。

4、設

A

是無限集，

B

是至多可數集，則

AB?

的基數AB??A。

5、設

1

E，

2

E為可測集，

2

0mE?，則

12

()mEE?

1

mE。

6、設()fx是定義在可測集

E

上的有限實函數，若對任意實數

ab?

，都有

[()]Exafxb??是可測集，則()fx是可測集

E

上的可測函數。

7、設1ER?

是孤立點集，則*mE?0

。

8、設函數列{()}

n

fx為可測集

E

上的可測函數列，且()()()

n

fxfxxE??，則

()

n

fx..ae?

()()fxxE?不一定成立。

9、設()fx是

E

上的可測函數，則()fx在

E

上的

L

可積的充要條件是()fx在

E

上

勒貝格可積。

10、若()fx是[,]ab上的有界變差函數或絕對連續函數，則()fx[,]ab上的導數

幾乎處處存在。

四、判斷題（正確的打“√”，錯誤的打“×”）

15

1、可列（數）個F

?

型集的并集仍為F

?

型集。（√）

2、無限集中一定存在具有最大基數的無限集。（×）

3、設

E

是可測集，則一定存在開集G，使得EG?，且()0mGE?。（×）

4、設

1

E和

2

E都是可測集，()fz是

1

E和

2

E上的可測函數，則()fx不一定是

12

EE?上的

可測函數。（×）

5、設()fz是可測集

E

上的可測函數，且()d

E

fxx?存在（可為??），則()fx?和()fx?至

少有在

E

上

L

可積。（√）

五、簡答題

1、簡述無窮多個零測集的并集是否必為零測集？

答：不一定為零測集。例如

1

1{}

xR

Rx

?

?，顯然{}x為單元素集，為零測集，1R

不是零測

集。

2、1R上的可測集與Borel集的關系？

答：①Borel集是可測集；

②可測集不一定是Borel集；

③可測集一定可以表示成一個Borel集與零測集的差或并。

3、可測集1ER?

上的可測函數與連續函數有何關系？

答：①可測集

E

上的連續函數一定是可測函數；

②可測集

E

上的可測函數不一定是連續函數；

③對

E

上的一個可測函數，任取

0??

，在可測集

E

中去掉一個測度小于?的可測子集

后，可使此可測函數成為連續函數。

六、計算題

1、設

sin[0,1]

()

[0,1]

xexQ

fx

xxQ

??

?

?

?

??

?

，其中Q是有理數集，求

[0,1]

()dfxx?。

解：因為{[0,1]}0mQ??，所以()..fxxae?于[0,1]，于是

[0,1][0,1]

1

()dd

2

fxxxx????

2、設

1

2

22

()

1n

nx

fx

nx

?

?

，(0,1]E?，求lim()

n

n

E

fxdx

??

?。

解：因為

1

2

11

2222

22

11

()

11

2

n

nxnx

fx

nxnx

xx

???

??

，而

1

2

1

1

2E

dx

x

?????

所以，由

L

控制收斂定理

16

lim()lim()00

nn

nn

EEE

fxdxfxdxdx

????

??????

七、證明題

1、證明集合等式：()()ABCACB???

證明：（方法1）對任意()xABC??，有()xAB?且

xC?

，即

xA?

，

xB?

且

xC?

所以

xAC??

或

xB?

，即()xACB??。

反之，對任意()xACB??，有

xAC??

且

xB?

，即

xA?

，

xC?

且

xB?

，所以

()xAB?且xC?，即()xABC??，

綜上所述，()()ABCACB???。

（方法2）()()()()()CCCABCABCACBACBACB????????????。

2、設

0

E是[0,1]中的無理點全體，則

0

E是可測集且

0

1mE?。

證明：記

0

Q是[0,1]中的有理點全體，由于

0

Q是可數集，從而

0

Q可測，且

0

0mQ?。又

00

[0,1]EQ?，所以，

0

E是可測集且

00

[0,1]100mEmmQ?????。

3、設1ER?

，

1,

()

0,E

xE

x

xE

?

?

?

?

?

?

?

，證明：()

E

x?是1R

上的可測函數的充要條件是

E

為可

測集。

證明：充分性：因為()

E

x?是1R

上的可測函數，則對任意實數a，1[()]

E

Rxxa??

是可測集，特別取

1

2

a?，注意到1

1

[()]

2E

RxxE???，可得

E

為可測集。

必要性：若

E

為可測集，則()

E

x?是1R

上的簡單函數，從而為1R

上的可測函數。

4、設??()

n

fx為可測集1ER?上的可測函數列，若lim|()|0

n

E

n

fxdx

??

??，則在

E

上

??0

n

fx?。

證明：對任意

0??

，由于

[()]

[()]()()

n

nnn

E

Exfx

mExfxfxdxfxdx

?

??

?

??????

所以

17

lim[()]0

n

n

mExfx?

??

??，

即在

E

上??0

n

fx?。

5、設

mE???

，若??()

n

fx是

E

上一列幾乎處處收斂于零的可積函數，且滿足對任意

0??

，存在

0??

，只要,eEme???，就有|()|(1)

n

e

fxdxn????，證明：

lim|()|0

n

E

n

fxdx

??

??。

證明：由題設及Egoroff定理得，對題設中的

0??

，存在可測集

FE?

，

mF??

，在

EF

上()

n

fx一致收斂于0，從而對題設中的

0???

，存在

0N?

，當

nN?

時

|()|,()

n

fxxEF???

于是，當

nN?

時，并注意到題設的條件，有

|()||()||()|()(1)

nnn

EFEF

fxdxfxdxfxdxmEFmE?????????????。

即lim|()|0

n

E

n

fxdx

??

??。

18

《實變函數》期末考試模擬試題（四）

（含解答）

一、多項選擇題（每題至少有兩個或兩個以上的正確答案）

1、設

E

是[0,1]中的有理點全體，則（C、D）[考核對典型集合掌握的情況]

（A）

E

是閉集（B）

E

中的每一點都是內點

（C）

E

是可數集（D）

0mE?

2、設

E

是[0,1]中的無理點全體，則（C、D）

（A）

E

是可數集（B）

E

是閉集（C）

E

中的每一點都是聚點（D）

0mE?

3、若1ER?

的外測度為零，則（B、D）[考核零測集的特點]

（A）

E

一定是可數集（B）

E

一定是可測集

（C）

E

不一定是可數集（D）

0mE?

4、若1ER?

至少有一個內點，則（B、D）[考核典型集的外測度可數性的特點]

（A）*mE可以等于零（B）*0mE?（C）

E

可能是可數集（D）

E

是不可

數集

5、設()nmEER????，函數列{()}

n

fx為

E

上幾乎處處有限的可測函數列，()fx為

E

上幾乎處處有限的可測函數，若()()()

n

fxfxxE??，則下列哪些結論不一定成立（A、

B、C、D）

[考核可測函數與勒貝格積分的簡單綜合]

（A）()d

E

fxx?存在（B）()fx在

E

上

L

可積

（C）

..()()()ae

n

fxfxxE??（D）lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx

??

???

6、設[,]Eab?是可測集，則

E

的特征函數()

E

Xx是（A、B、C）[考核特征函數的特

點]

（A）[,]ab上的簡單函數（B）[,]ab上的可測函數（C）

E

上的連續函數（D）[,]ab上

的連續函數

7、若()fx在可測集

E

上有

L

積分值，則（A、C）[考核勒貝格積分的定義]

（A）()fz?和()fz?中至少有一個在

E

上

L

可積（B）()fz?和()fz?都在

E

上

L

可積

（C）()fz在

E

上也有

L

積分值（D）()fz在

E

上一定

L

可積

8、設()fx在可測集

E

上

L

可積，則（B、D）[考核勒貝格積分的定義]

（A）()fz?和()fz?有且僅有一個在

E

上

L

可積（B）()fz?和()fz?都在

E

上

L

可

19

積

（C）()fz在

E

上不一定

L

可積（D）()fz在

E

上一定

L

可積

9、設()fz是[,]ab的絕對連續函數，則（A、B、C）[考核絕對連續函數、有界變差函數

的基本性質]

（A）()fz是[,]ab上的連續函數（B）()fz是[,]ab上的一致連續函數

（C）()fz是[,]ab上的有界變差函數（D）()fz在[,]ab上處處可導

10、設()fz是[,]ab的單調函數，則（A、C、D）[考核絕對連續函數、有界變差函數的

基本性質]

（A）()fz是[,]ab的有界變差函數（B）()fz是[,]ab的絕對連續函數

（C）()fz在[,]ab上幾乎處處連續（D）()fz在[,]ab上幾乎處處可導

二、單項選擇題（每題僅有一個正確答案）

1．設

E

是[0,1]中的無理點全體，則

E

是（Ｃ）.[考核對典型集合掌握的情況]

（Ａ）可數集（Ｂ）有限集（Ｃ）不可數集（Ｄ）零測集

2．下面集合關系成立的是（Ａ）.[考核對集合的基本運算掌握的情況]

（Ａ）()ABBAB???（Ｂ）()ABBA??（Ｃ）()BAAA??（Ｄ）

BAA?

3．若2ER?

至少有一個內點，則有（Ｂ）.[考核對典型集合外測度掌握的情況]

（Ａ）*0mE?（Ｂ）*0mE?（Ｃ）

0mE?

（Ｄ）

0mE?

4．設2ER?

是開集，則（Ｂ）.[考核開集閉集的基本特征]

（Ａ）

EE

?

?

（Ｂ）0EE?（Ｃ）EE?（Ｄ）

EE

?

?

5．設[,]Eab?是可測集，則

E

的特征函數()

E

Xx是[,]ab上的（Ａ）.[考核對集合的特征

函數的認識]

（Ａ）簡單函數（Ｂ）常函數（Ｃ）連續函數（Ｄ）單調函數

6．設[0,1]Q?是有理數集，

1,

()

0,

xQ

Dx

xQ

?

?

?

?

?

?

,則()Dx是[0,1]上的（Ｃ）.[考核目標同上

題]

（Ａ）連續函數（Ｂ）單調函數（Ｃ）簡單函數（Ｄ）定積分存在的函數

7．設()fx在可測集

E

上勒貝格可積，則（Ｂ）.[考核勒貝格積分的定義]

（Ａ）()fx?和()fx?有且僅有一個在

E

上勒貝格可積；（Ｂ）()fx?和()fx?都在

E

上勒

貝格可積

（Ｃ）()fx?和()fx?都在

E

上不勒貝格可積；（Ｄ）()()()fxfxfx????在

E

上不勒

20

貝格可積

8．設W是[0,1]上的無理數集，c表示連續基數，則（Ｄ）.[考核對典型集合基數和測度掌

握的情況]

（Ａ）Wc?（Ｂ）Wc?（Ｃ）

0mW?

（Ｄ）

1mW?

9．設()fx是[,]ab上的單調函數，則()fx是[,]ab上的（Ｄ）.[考核基本的有界變差函數

和絕對連續函數]

（Ａ）連續函數（Ｂ）絕對連續函數（Ｃ）可導函數（Ｄ）有界變差函數

10．設()fx在[,]ab上絕對連續，則()fx在[,]ab上（Ａ）.[考核絕對連續函數的關系的基

本性質]

（Ａ）有界變差（Ｂ）可導（Ｃ）單調（Ｄ）連續可微

三、填空題

1．設

A

，

B

為

X

的兩個子集，則

AB

等于CAB?

．[考核集合之間的基本關系]

2．設

A

，

B

為兩個集合，則

AB?

等于()BAA?．[考核目標同上]

3．設nER?

，如果

E

滿足

EE

?

?

，則

E

是閉集．[考核開集、閉集的定義]

4．設nER?

，如果

E

中的每一點都是內點，則

E

是開集．[考核開集、閉集的定

義]

5．若開區間(,)??是直線上開集

G

的一個構成區間，則(,)??滿足(,)G???且

,G???．[考核開集的構成區間的定義和特點]

6．設

E

是1R上的開集,若開區間(,)ab滿足(,)abE?且,abE?,則稱(,)ab是開集

E

的

構成區間．[考核開集的構成區間的定義和特點]

7．設

A

是無限集，則

A

的基數A大于或等于a（其中a表示可數基數）．[考核可數

集的性質]

8．設

A

是偶數集，則

A

的基數A等于a（其中a表示可數基數）．[考核可數集的性

質]

9．設

1

E，

2

E為可測集，

2

mE???，則

12

()mEE大于或等于

12

mEmE?．[考核測

度的性質，單調性和次可加性]

10．設

A

，

B

為可測集，則()mAB?小于或等于

mAmB?

．[考核測度的性質，次可加

性]

11．設()fx是定義在可測集

E

上的實函數，若對任意實數a，都有[()]Exfxa?是可測

集，則稱()fx是可測集

E

上的可測函數.[考核可測函數的定義]

21

12．設()fx是可測集

E

上的可測函數，則對任意實數a，b(

ab?

)，有[()]Exafxb??

是

可測集.[考核可測函數的基本性質]

13．設1ER?是可數集，則*mE等于0.[考核典型集合的測度和外測度]

14．設[0,1]P?是康托集，則mP等于0.[考核典型集合的測度和外測度]

15．設函數列{()}

n

fx為可測集

E

上的可測函數列，且()

n

fx在E上依測度收斂于()fx，

則存在{()}

n

fx的子列{()}

k

n

fx，使得()

k

n

fx在

E

上幾乎處處收斂于()fx.[考核函數列

收斂與依測度收斂的關系的記憶，本題是其中的黎斯定理]

16．設

mE???

,{()}

n

fx是

E

上的可測函數列，()fx是E上的實函數,若()

n

fx在

E

上幾

乎處處收斂于()fx，則()

n

fx在

E

上依測度收斂于()fx.[考核函數列收斂與依測度收

斂的關系的記憶，本題是其中的勒貝格定理]

17．設()fx在[,]ab上黎曼可積，則()fx在[,]ab上勒貝格可積，且它們的積分值相

等．[考核黎曼積分與勒貝格積分的關系]

18．設()fx,()gx都在[,]ab上勒貝格可積，且幾乎處處相等,則它們在[,]ab上勒貝格積分

值相等．[考核勒貝格積分的基本性質]

19．若()fx是[,]ab上的絕對連續函數，則()fx是[,]ab上的有界變差函數．[考核有

界變差函數和絕對連續函數的關系]

20．若()fx是[,]ab上的有界變差函數，則()fx可以表示成兩個單調函數的和或差．[考

核有界變差函數和單調函數的關系，即約當分解定理]

四、判斷說明題（注意這類題不僅要求判斷對還是不對，而且還要簡單的說明理由）

1．無限個閉集的并集仍為閉集．[考核開集、閉集的性質]

答：不對，因為閉集只對有限的并集運算封閉。

2．無限個開集的交集仍為開集．[考核開集、閉集的性質]

答：不對，因為開集只對有限的交集運算封閉。

3．無限集均含有一個可數子集．[考核可數集的性質]

答：對，因為這是可數集與無限集的關系。

4．無限集都是可數集．[考核無限集的分類]

答：不對，因為無限集還包括不可數集。

5．設

E

是可測集，則一定存在G

?

型集

G

，使得

EG?

，且()0mGE?．[考核可測集

22

與G

?

型集或F

?

型集的關系]

答：對，因為這是可測集與G

?

型集的關系。

6．設

E

是可測集，則一定存在F

?

型集

F

，使得

FE?

，且()0mEF?．[考核可測集

與G

?

型集或F

?

型集的關系]

答：對，因為這是可數集與F

?

型集的關系。

7．設

E

是測度為零的集，()fz是

E

上的實函數，則()fx不一定是

E

上的可測函數．[考

核可測函數的基本性質]

答：不對，因為零測集上的任何實函數都是可測函數。

8．設

E

是可測集，()fz是

E

上幾乎處處為零的實函數，則()fx在

E

上可測．[考核可測

函數的基本性質]

答：對，因為常函數0是可測函數，由可測函數的性質可得()fx在

E

上可測。

9．設()fz是可測集

E

上的非負可測函數，則()fx必在

E

上勒貝格可積．[考核勒貝格積

分的定義]

答：不對，因為可測集

E

上的非負可測函數只能保證有勒貝格積分，不一定能保證勒貝格

可積。

10．設()fz是可測集

E

上的可測函數，則

()d

E

fxx?一定存在．[考核勒貝格積分的定義]

答：不對，因為可測集

E

上的可測函數，不一定能定義勒貝格積分，因此不一定能保證

()d

E

fxx?存在。

五、簡答題（此類題關鍵是要把要點答出來）

1．簡述無窮多個開集的交集是否必為開集？[考核開集、閉集的運算性質]

要點：首先，回答結論：不一定為開集

其次，舉出交集為開集的例子和交集不是開集的例子。

2．簡述無窮多個閉集的并集是否必為閉集？[考核開集、閉集的運算性質]

要點：首先，回答結論：不一定為閉集

其次，舉出并集為閉集的例子和并集不是閉集的例子。

3．可測集

E

上的可測函數與簡單函數有何關系？[考核可測函數與簡單函數的關系]

要點：1、簡單函數是可測函數；2、可測函數不一定是簡單函數；3、可測函數一定可表示

成一列簡單函數的極限。

4．可測集

E

上的可測函數與連續函數有何關系？[考核可測函數與簡單函數的關系]

要點：1、連續函數是可測函數；2、可測函數不一定是連續函數；3、對任意

0??

，在

E

中

去掉一個測度小于?的可測集后，可測函數能成為連續函數（魯津定理）。

5．[,]ab上的有界變差函數與單調函數有何關系？[考核單調函數與有界變差函數的關系]

23

要點：1、單調函數是有界變差函數；2、有界變差函數不一定是單調函數；3、有界變差函

數能分解成兩個單調函數的和或差。

6．[,]ab上的絕對連續函數與有界變差函數有何關系？[考核有界變差函數與絕對連續函數

的關系]

要點：1、絕對連續函數是有界變差函數；2、有界變差函數不一定是絕對連續函數。

六、計算題（注意這類題要寫出主要步驟）

1．設

2[0,1]

()

0[0,1]

xW

fx

xW

??

?

?

?

??

?

，其中

W

是有理數集，求

[0,1]

()dfxx?．[考核簡單的

勒貝格積分的計算]

解：因[0,1]W?是至多可數集，([0,1])0mW??，得()0fx?在[0,1]上幾乎處處成立。

所以由勒貝格積分的惟一性，

[0,1][0,1]

()d0d0fxxx????。

2．設

2

2

sin

()

[0,1]

xxC

fx

xxC

?

?

?

?

?

?

，其中

C

是康托集，求

[0,1]

()dfxx?．[考核簡單的勒貝

格積分的計算]

解：由康托集為零測集，即

0mC?

，得2()fxx?在[0,1]上幾乎處處成立。所以

231

0

[0,1][0,1]

11

()dd

33

fxxxxx?????。

注意：上面兩題是簡單積分的計算，注意利用積分的惟一性。

3．求

0

ln()

limdx

n

xn

ex

n

??

?

??

?

??．[考核勒貝格控制收斂定理的簡單應用]

解：因為

ln()

lim0x

n

xn

e

n

?

??

?

??，且

ln()ln()ln(11)1

(1)xxxxx

xnxnxnxn

eeeexe

nnnn

?????

???????

??????????

而(1)xxe???在[0,)??勒貝格可積，所以，由勒貝格控制收斂定理

000

ln()ln()

limdlimd0d0xx

nn

xnxn

exexx

nn

??????

??

????

??

????????。

4．設

22

()sin

1n

nx

fxnx

nx

?

?

,[0,1]E?,求lim()d

n

n

E

fxx

??

?．[考核勒貝格控制收斂定理的簡

單應用]

解：因為

22

lim()limsin0

1n

nn

nx

fxnx

nx????

??

?

，且

24

2222

1

()sin

112n

nxnx

fxnx

nxnx

???

??

而

1

2

顯然在[0,1]E?勒貝格可積，所以，由勒貝格控制收斂定理

lim()dlim()d0d0

nn

EEE

nn

fxxfxxx

????

??????。

注意：上面的兩題在計算時，要注意驗證勒貝格控制收斂定理的條件。

七、證明題

1．證明：

1212

()()()EEEEEEE???．

證明：（方法1）

12121212

()()()()()()cccEEEEEEEEEEEEEE??????????

（方法2）直接用集合相等的定義證明。

2．證明：()()()EBAEBEA???．

證明：（方法1）

()()()()()()()cccccEBAEBAEBAEBEAEBEA?????????????

（方法2）直接用集合相等的定義證明。

3．設

E

是

R

中的有理點全體，則

E

是可測集且

0mE?

．

提示：用外測度的定義證明

證明：因為

E

是可數集，則

12

{,,,,}

n

Errr?

對任意

0??

，取開區間

11

(,)

22nn

nn

rr

??

??

??，1,2,n?，顯然它們把

0

E覆蓋住。

于是*

12n

n

mE

?

??

?

???。讓

0??

得，*0mE?，從而

0

E是可測集且

0mE?

。

4．設2AR?

，且*0mA?，則

A

是可測集．

提示：用可測集的定義證明。

證明：對任意2TR?

，顯然

***()()cmTmTAmTA????

又**()0mTAmA???（因為

TAA??

），從而

*()0mTA??

所以

****()()()ccmTAmTAmTAmT??????（因為cTAT??

）

所以

***()()cmTmTAmTA????，

25

即

A

是可測集。

5．證明：

R

上的實值連續函數()fx必為

R

上的可測函數．

證明：因為對于任意實數a，由連續函數的局部保號性易知，[()]Rxfxa?是開集，從

而[()]Rxfxa?是可測集。所以()fx必為

R

上的可測函數。

6．證明：

R

上的單調函數()fx必為

R

上的可測函數．

證明：不妨設()fx是單調遞增函數，對于任意實數a，記

0

inf[()]Rxfxa???，由于

()fx是單調遞增函數，00

00

(,)[()]

[()]

[,)[()]

Rxfxa

Rxfxa

Rxfxa

??

??

?????

?

??

?

????

?

?

，顯然是

可測集。所以()fx必為

R

上的可測函數。

7．設()fx是可測集nER?

上的勒貝格可積函數，{}

n

E為

E

的一列可測子集，

mE???

，

如果

lim

n

n

mEmE

??

?

，則lim()d()d

n

n

EE

fxxfxx

??

???．

證明：因為

mE???

且

n

EE?，所以()

nnn

mEmEEmEmE???

從而由題設

lim()lim

nn

nn

mEEmEmEmEmE

????

?????

又()fx在nER?

上的

L

可積，且

()

()()()()

nnnn

EEEEEE

fxdxfxdxfxdxfxdx

?

???????

()()()()

nnnn

EEEEEE

fxdxfxdxfxdxfxdx????????

所以由積分的絕對連續性得

lim(()())lim()0

nn

nn

EEEE

fxdxfxdxfxdx

????

??????

即lim()()

n

n

EE

fxdxfxdx

??

???。

8．設()fx是可測集nER?

上的可測函數，則()fx在

E

上勒貝格可積?()fx在

E

上

勒貝格可積．

證明：必要性：因為()fx在

E

上

L

可積，則()

E

fxdx?????和()

E

fxdx?????

而()()()fxfxfx????，所以

()()()

EEE

fxdxfxdxfxdx??????????，

26

即()fx在

E

上

L

可積。

充分性：因為()

E

fxdx????，且0()()fxfx???，0()()fxfx???

則()()

EE

fxdxfxdx???????，()()

EE

fxdxfxdx???????。

所以()fx在

E

上

L

可積。

9．設()fx是可測集nAR?上的勒貝格可積函數，{}

n

E為

A

中的一列遞增可測子集，證

明:

1

lim()d()d

n

n

n

n

E

E

fxxfxx

?

?

??

???．

證明：記

()()()

n

nE

fxfxx???，其中

1,

()

0,n

n

E

n

xE

x

xE

?

?

?

?

?

?

?

顯然在

1

n

n

E?

?

上，()()()()

n

nE

fxfxxfx????，()()

n

fxfx?且

1

()()

n

n

n

n

E

E

fxdxfxdx

?

?

???

于是由勒貝格控制收斂定理即可的結論．

10．設

E

是可測集，且

mE???

，若??()

n

fx是

E

上一列幾乎處處收斂于零的可積函數，

且滿足對任意

0??

，存在

0??

，只要,eEme???，就有

|()|(1)

n

e

fxdxn????，

證明：

lim|()|0

n

E

n

fxdx

??

??．

證明：由題設及葉果洛夫定理得，對題設中的

0??

，存在可測集

FE?

，

mF??

，

使得,()

n

fx在

EF

上一致收斂于

0

，

從而對題設中的

0???

，存在

0N?

，當

nN?

時

|()|,()

n

fxxEF???

于是，當

nN?

時，并注意到題設的條件，有

|()||()||()|()(1)

nnn

EFEF

fxdxfxdxfxdxmEFmE?????????????

即lim|()|0

n

E

n

fxdx

??

??.

27

《實變函數》期末考試模擬試題（五）

（含解答）

一、判斷題（每題2分，共20分）

1、設1ER?，若E是稠密集，則cE是無處稠密集。F

2、若

|()|fx

是可測函數，則

()fx

必是可測函數。F

3．設

()fx

在可測集E上可積分，若

,()0xEfx???

，則()0

E

fx??F

4、A為可數集，B為至多可數集，則A?B是可數集.T

5、若0?mE，則

0?Em

F

6、若|()|fx是可測函數，則()fx必是可測函數F

7．設

()fx

在可測集E上可積分，若

,()0xEfx???

，則()0

E

fx??F

8、任意多個開集之交集仍為開集F

9、由于??????0,10,10,1??，故不存在使????0,101和，之間11?對應的映射。F

10、可數個零測度集之和集仍為零測度集。T

二、選擇題（每題2分，共12分）

1、下列各式正確的是（C）

（A）

1

lim

nk

nnkn

AA

??

????

???;（B）

1

lim

nk

nkn

n

AA

??

??

??

???

（C）

1

lim

nn

nnkn

AA

??

????

???;（D）以上都不對;

2、設P為Cantor集，則下列各式不成立的是（D）

（A）

?P

c(B)0mP?(C)PP?'(D)PP?

?

3、設}{

n

E是一列可測集，

12n

EEE????，則有（B）。

（A）

1

lim

nn

nn

mEmE

?

???

??

??

??

??

(B)

1

lim

nn

nn

mEmE

?

???

??

??

??

??

（C）

1

lim

nn

nn

mEmE

?

???

??

??

??

??

;（D）以上都不對

4、設}{

n

E是一列可測集，??????

n

EEE

21

，且???

1

mE，則有（A）

28

（A）

n

n

n

n

mEEm

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?lim

1

(B)

n

n

n

n

mEEm

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?lim

1

（C）

n

n

n

n

mEEm

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?lim

1

;（D）以上都不對

5、設f(x)是

],[ba

上絕對連續函數，則下面不成立的是（B）

(A)

)(xf

在

],[ba

上的一致連續函數(B)

)(xf

在

],[ba

上處處可導

（C）

)(xf

在

],[ba

上L可積(D)

)(xf

是有界變差函數

6、設,MN是兩集合，則()MMN??=（C）

(A)M(B)N(C)MN?(D)?

三、解答題（每題6分，共18分）

1、設

,

()

1,

xx

fx

x

?

?

?

?

為無理數

為有理數

，則

()fx

在??0,1上是否R?可積，是否L?可積，

若可積，求出積分值。

解：

()fx

在??0,1上不是R?可積的，因為

()fx

僅在1x?處連續，

即不連續點為正測度集

因為()fx是有界可測函數，所以()fx在??0,1上是L?可積的

因為()fx與x..ae相等,進一步，

??

1

0,10

1

()

2

fxdxxdx????

2、求極限

1

3

22

0

limsin

1n

nx

nxdx

nx???

?.

解：設3

22

()sin

1n

nx

fxnxdx

nx

?

?

，則易知當n??時，()0

n

fx?

又

22

|()|

1n

nx

fx

nx

?

?

，但是不等式右邊的函數，在??0,??上是L可積的

故有

00

lim()lim()0

nn

nn

fxdxfxdx??????

3、設

212

1

(0,),(0,),1,2,,

nn

AAnn

n?

??求出集列{}

n

A的上限集和下限集

解：

lim(0,)

n

n

A

??

??

設(0,)x??，則存在N，使xN?，因此nN?時，0xn??，即

2n

xA?，所

29

以x屬于下標比N大的一切偶指標集，從而x屬于無限多

n

A，得lim

n

n

xA

??

?，

又顯然lim(0,),lim(0,)

nn

nn

AA

????

????所以

lim

n

n

A?

??

?

若有lim

n

n

xA

??

?，則存在N，使任意nN?，有

n

xA?，因此若21nN??時，

21

1

,0,00

n

xAxnx

n?

???????即令得，此不可能，所以

lim

n

n

A?

??

?

四、證明題（每題10分，共50分）

1、試證(0,1)~[0,1]

證明：記

(0,1)

中有理數全體

12

{,,}Qrr?,令

()x??

??

1

2

2

()0

()1

(),1,2

(),0,1

nn

r

r

rrn

xxx

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

為中無理數，

顯然

01[01]?是（，）到，上的一一映射

所以(0,1)~[0,1]

2、設()fx是??,????上的實值連續函數，則對于任意常數

,{|()}aExfxa??是閉集。P51

3、設)}({xf

n

為E上可積函數列，eaxfxf

n

n

.)()(lim?.于E，且??

E

n

kdxxf|)(|，

k為常數，則)(xf在E上可積.P133

4、設()fx在E上積分確定，且()().fxgxae?于E，則()gx在E上也積分確

定，且()()

EE

fxdxgxdx???P108

5、設在E上)()(xfxf

n

?,而..)()(eaxgxf

nn

?成立,?,2,1?n,則有

)()(xfxg

n

?P95

30

《實變函數》期末考試模擬試題（六）

（含解答）

1、若N是自然數集，

e

N為正偶數集，則N與

e

N對等。（對）

2、由直線上互不相交的開間隔所成之集是至多可列集。（對）

3、若

12

,,,

n

AAA是

1R上的有限個集，則下式??

1212nn

AAAAAA

?

???

???????

成立。（對）

4、任意多個開集的交集一定是開集。（錯）

5、有限點集和可列點集都可測。（對）

6、可列個零測集之并不是零測集。（對）

7、若開集

1

G是開集

2

G的真子集，則一定有

12

mGmG?。（錯）

8、對于有界集

1ER?，必有*mE???。（對）

9、任何點集E上的常數函數()fx=C，xE?是可測函數。（錯）

10、由()fx在??1,2,

k

Ek?上可測可以推出()fx在

1

k

k

EE

?

?

??上可測。（對）

二、填空

1、區間（0,1）和全體實數R對等，只需對每個??0,1x?，令()tan()

2

xx

?

????

2、任何無限集合都至少包含一個可數子集

3、設

12

,SS都可測，則

12

SS?也可測，并且當

12

SS?為空集時，對于任意集合T總有

***

1212

[()]()()mTSSmTSmTS??????

4、設E是任一可測集，則一定存在F

?

型集F，使

FE?

，且()0mEF??

5、可測集

nER?上的連續函數是可測函數。

6、設E是一個有界的無限集合，則E至少有一個聚點。

7、設π是一個與集合E的點x有關的命題，如果存在E的子集M，適合mM=0，使得π在EM上恒成立，

也就是說，EE[π成立]=零測度集，則我們稱π在E上幾乎處處成立。

8、E為閉集的充要條件是

'(EE)EE???或。

9、設A、B是兩個非空集合，若,ABBA??，則有A=B。

三、證明

1、證明：若AB?，且~AAC?，則有~BBC?。

證明：由條件易得，

31

()BABA???（1）

[()]()BCACBBA??????（2）

由于()ABA????,[()]()ACBBA??????,

而()AACBAC?????,

已知~AAC?,所以~()AACB??.

而~BABA??,由（1）（2）得~BBC?。

2、設()fx為

1R上的連續函數，則對任意的

1aR?，??()Efxa?、??()Efxa?為閉集

1()ER?

證：先證[()]Efxa?是閉集。設

0

x是[()]Efxa?的一個極限點，則[()]Efxa?中有點列

{}

n

x，使

0

()

n

xxn???.

由??()

n

xEfxa??知()

n

fxa?.又由()fx的連續性及極限不等性可得

0

()lim()

n

x

fxfxa

??

??.

?

0

[()]xEfxa??.

即

'([()])[()]EfxaEfxa???.

故[()]Efxa?為閉集.

4、設??n

f是E上的可測函數列，則其收斂點集與發散點集都是可測的。

證：顯然，{}

n

f的收斂點集可表示為

0

[lim()lim()]

nn

xx

EExfxfx

????

??=

1

1

[limlim]

nn

xx

k

Eff

k

?

????

?

???.

由

n

f可測lim

n

x

f

??

及lim

n

x

f

??

都可測，所以limlim

nn

xx

ff

????

?在E上可測。

從而，對任一自然數k，

1

[limlim]

nn

xx

Eff

k????

??可測。故

0

1

1

[limlim]

nn

xx

k

EEff

k

?

????

?

????可測。

既然收斂點集

0

E可測，那么發散點集

0

EE?也可測。

32

《實變函數》期末考試模擬試題（七）

（含解答）

一、判斷題（判斷正確、錯誤，請在括號中填“對”或“錯”。共10小題，每題1.5分，共10×1.5=15分）

1、中全體子集構成一個代數。（√）

2、存在閉集使其余集仍為閉集。（√）

3、若是可測集，是的可測子集，則。(×)

4、無限集中存在基數最大的集合，也存在基數最小的集合。(×)

5、可數個可數集的并集是可數集。（√）

6、、可數個集的交集不一定是集。（×）

7、若是可測集，是上的實函數，則在上可測的充要條件是：存在實數，使

是可測集。（×）

8、若是可測集，是的可測子集，則。(×)

9、若是可測集，是上的非負可測函數，則在上一定可積。(×)

10、若是可測集，是上的非負簡單函數，則一定存在。(√)

二、選擇題。（每道題只有一個答案正確，多選或者不選均為零分，每道題1.5分，共15分）

1、下列集合關系成立的是（A）

（A）()ABBAB???（B）()ABBA??

（C）()BAAA??（D）()BAA?

2、若nER?是開集，則（B）

（A）

EE

?

?

（B）

E

的內部

E?

（C）EE?（D）

EE

?

?

3、設是有理數，則下列正確的是（B）

A．[0,1]?；Ｂ．[0,1]?；Ｃ．[0,1]?；Ｄ．以上都不正確。

4.、設E是nR中的可測集，()fx為E上的可測函數，若()d0

E

fxx??，則（A）

33

（A）在E上，()fz不一定恒為零（B）在E上，()0fz?

（C）在

E

上，()0fz?（D）在

E

上，()0fz?

5、設E是1R中的可測集，()x?是E上的簡單函數，則（D）

（A）()x?是

E

上的連續函數（B）()x?是

E

上的單調函數

（C）()x?在

E

上一定不

L

可積（D）()x?是

E

上的可測函數

6、設()fz是[,]ab的單調函數，則（C）

（A）()fz不是[,]ab的有界變差函數（B）()fz不是[,]ab的絕對連續函數

（C）()fz在[,]ab上幾乎處處連續（D）()fz不在[,]ab上幾乎處處可導

7、若1ER?至少有一個內點，則（D）

（A）

*mE可以等于零（B）E是可數集

（C）E可能是可數集（D）

*0mE?

8、設E是[0,1]中的無理點全體，則（C）

（A）

E

是可數集（B）

E

是閉集

（C）

E

中的每一點都是聚點（D）0*?Em

9、設()fx在可測集E上L可積，則（D）

（A）()fz?

和()fz?

有且僅有一個在

E

上

L

可積

（B）()fz?

和()fz?

不都在

E

上

L

可積

（C）()fz在

E

上不一定

L

可積

（D）()fz在

E

上一定

L

可積

10、設[,]Eab?是可測集，則E的特征函數()

E

Xx是（B）

（A）在[,]ab上不是簡單函數（B）在[,]ab上的可測函數

（C）在

E

上不是連續函數（D）[,]ab上的連續函數

三、填空題（將正確的答案填在橫線上，每道題1分，共10分）

1、設X為全集，A，B為X的兩個子集，則AB?CAB?。

34

2、設nER?，如果E滿足EE

?

?，則E是閉集。

3、若開區間(,)??是直線上開集G的一個構成區間，則(,)??滿足(,)G???、

,GG????。

4、設A是無限集，則A的基數A?a（其中a表示可數基數）。

5、設

1

E，

2

E為可測集，

2

mE???，則

12

()mEE?

12

mEmE?。

6、設()fx是定義在可測集E上的實函數，若對任意實數a，都有[()]Exfxa?

是可測集，則稱()fx是可測集

E

上的可測函數。

7、設

0

x是1ER?的內點，則*mE?0。

8、設函數列{()}

n

fx為可測集E上的可測函數列，且()()()

n

fxfxxE??，則由黎斯定理可得，

存在{()}

n

fx的子列{()}

k

n

fx，使得()

k

n

fx..ae?

()()fxxE?。

9、設()fx是E上的可測函數，則()fx在E上的L積分不一定存在，且()fx在E上不一定L

可積。

10、若()fx是[,]ab上的絕對連續函數，則()fx一定是[,]ab上的有界變差函數。

四、證明題。

1、]1,0[上的全體無理數作成的集合其基數為c

證明：設A為]1,0[中的有理數集，B為]1,0[上的無理數集，則??1,0?BA?,

即??c1,0??BA?

又因為aA??c所以B=c

2、開集減閉集后的差集仍是開集；閉集減開集后的差集仍是閉集。

證明：設A為開集，B為閉集，則

B

CABA???

因為B為閉集，所以

B

C為開集

因此A-B為開集；

同上所設有?BAB??

A

C

又因為A為開集

35

所以為

A

C閉集。

因此B-A為閉集。

3、設A,B

PR?且???Bm*，若A是可測集，證明）（BAmBmmABAm??**)(*???

證明：因為A是可測集，所以由卡拉泰奧多里條件得

))((**)(*

A

CBAmABAmBAm???????））（（)(*ABmmA???(I)

?????)(*)(**

A

CBmABmBm??

于是)(**)(*BAmBmABm????(II)

將(II)代入(I)得）（BAmBmmABAm??**)(*???

4、設

qRE?，存在兩側兩列可測集{

n

A}，{

n

B},使得

n

A

?E?

n

B且m（

n

A-

n

B）→0，（n→∝）

則E可測.

證明：對于任意i，

in

n

BB?

?

?1

?，所以EBEB

in

n

??

?

?

-

1

?

又因為EA

i

?，

iii

ABEB???

所以對于任意i，)(**

1

EBmEBm

in

n

???

?

?

）（?)(*

ii

ABm??)(

ii

ABm??

令i→∝，由)(

ii

ABm?→0得0*

1

??

?

?

）（EBm

n

n

?

所以EB

n

n

?

?

?1

?是可測的

又由于

n

B可測，有

n

n

B

?

?1

?也是可測的

所以)(

11

EBBE

n

n

n

n

???

?

?

?

?

??是可測的。

36

《實變函數》期末考試模擬試題（八）

（含解答）

一、證明題：

1、設在E上????

n

fxfx?，而????

nn

fxgx?..ae成立，1,2n?，則有????

n

gxfx?

2、證明：開集減閉集后的差集仍是開集；閉集減開集后的差集仍然是閉集。

3.設M是

3R空間中以有理點(即坐標都是有理數)為中心,有理數為半徑的球的全體,證明

M

為可

數集.

4.設

nER?,

i

EB?且

i

B為可測集,1,2i?

.根據題意,若有

????*0,

i

mBEi??????,證明E是可測集.

二、選擇題：

1.A為可數集，B為有限或可數集，則AB為（A）

A可數集B不可數集C無法確定

2、有C個（C表示連續基數）集的并集，若每個集的基數都是（C）

A

2CBCC2C

3、E為開集的充要條件是（A）

AEE?

。

BEE?，

CEE??

4、A為開集。B為閉集，A-B為（Ａ）

Ａ開集Ｂ閉集Ｃ可開可閉

５、設S1、S2都是可測，

12

SS（B）

A不可測B可測C不確定

6.下列命題錯誤的是（）

A.開集、閉集都是可測集B．可測集都是Borel集

C．外測度為零的集是可測集D．F

?

型集、G

?

型集都是可測集

7.設??

n

E是一列遞降的可測集合，

12n

EEE???，且

1

mE???，則有（）

A.

1

lim

nn

n

n

mEmE

?

??

?

??

?

??

??