雙曲線(xiàn)的方程

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課題:雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

[教學(xué)目標(biāo)]:

掌握雙曲線(xiàn)的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程,并會(huì)根據(jù)條件求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教材通過(guò)具體實(shí)例類(lèi)比橢圓的定義,引出雙曲線(xiàn)的定義,通過(guò)類(lèi)比推導(dǎo)出雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí),可以培養(yǎng)我們類(lèi)比推理的能力,激發(fā)我們的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生思考問(wèn)

題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

[教學(xué)重點(diǎn)]:雙曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單應(yīng)用

[教學(xué)難點(diǎn)]:雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

[授課類(lèi)型]：新授課

[課時(shí)安排]：1課時(shí)

[教具]：多媒體、實(shí)物投影儀

[教學(xué)過(guò)程]:

(1)復(fù)習(xí)提問(wèn)：

(由一位學(xué)生口答，教師利用多媒體投影)

問(wèn)題1：橢圓的定義是什么？

問(wèn)題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？

問(wèn)題3：如果把上述橢圓定義中的“距離的和〞改為“距離的差〞，那么點(diǎn)的軌跡

會(huì)發(fā)生什么變化？它的方程又是怎樣的呢？

(2)探究新知:

(1)演示：引導(dǎo)學(xué)生用《幾何畫(huà)板》作出雙曲線(xiàn)的圖象，并利用課件進(jìn)行雙曲線(xiàn)的模擬

實(shí)驗(yàn)，思考以下問(wèn)題。

(2)設(shè)問(wèn)：①|(zhì)MF1|與|MF2|哪個(gè)大？

②點(diǎn)M到F1與F2兩點(diǎn)的距離的差怎樣表示？

③||MF1|-|MF2||與|F1F2|有何關(guān)系？

〔請(qǐng)學(xué)生回答：應(yīng)小于|F1F2|且大于零，當(dāng)常數(shù)等于|F1F2|時(shí)，軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩

條射線(xiàn)；當(dāng)常數(shù)大于|F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡〕

引導(dǎo)學(xué)生概括出雙曲線(xiàn)的定義：

定義:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)〔小于<|F1F2|〕的點(diǎn)軌跡叫做

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雙曲線(xiàn)，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線(xiàn)的焦距。〔投影〕

概念中幾個(gè)關(guān)鍵詞：“平面內(nèi)〞、“距離的差的絕對(duì)值〞、“常數(shù)小于

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FF〞

2.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在我們可以用類(lèi)似求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法來(lái)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，請(qǐng)學(xué)生思考、回

憶橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)〔教師使用多媒體演

示〕

〔1〕建系

取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線(xiàn)為x軸，線(xiàn)段F1F2的垂直平分線(xiàn)為y軸建立平面直角坐標(biāo)系。

(2)設(shè)點(diǎn)

設(shè)M〔x,y〕為雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的焦距為2c〔c>0〕，那么F1〔－c，0〕、

F2〔c，0〕，又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a〔2a<2c〕.

〔3〕列式

由定義可知,雙曲線(xiàn)上點(diǎn)的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.

即:

〔4〕化簡(jiǎn)方程

由一位學(xué)生板演，教師巡視。化簡(jiǎn)，整理得：

移項(xiàng)兩邊平方得

兩邊再平方后整理得

由雙曲線(xiàn)定義知

這個(gè)方程叫做雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，它所表示的雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1〔-c，

0〕、F2〔c，0〕，

思考:雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)F1〔0,－c〕、F2〔0,c〕在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?

????,22

2

2

2aycxycx??????

????aycxycx22

2

2

2???????

??2

2

2ycxaacx?????

????22222222acayaxac????

)0,0(1

)0(,0,22

2

2

2

2

22222

????

????????

ba

b

y

a

x

bbacacacac

代入上式整理得

設(shè)即

y

Ox

M

F

1

F

2

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學(xué)生得到:雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程:)0(,1

2

2

2

2

????ba

b

x

a

y

.

注:

(1)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：

①雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程有焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)y軸上兩種：

焦點(diǎn)在

x

軸上時(shí)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

(0?a,0?b)；

焦點(diǎn)在y軸上時(shí)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1

2

2

2

2

??

b

x

a

y

(0?a,0?b)

②cba,,有關(guān)系式222bac??成立，且0,0,0???cba

其中a與b的大小關(guān)系:可以為bababa???,,

(2).焦點(diǎn)的位置:從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難看出橢圓的焦點(diǎn)位置可由方程中含字母2x、2y項(xiàng)

的分母的大小來(lái)確定，分母大的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的字母所在的軸就是焦點(diǎn)所在的軸而雙曲線(xiàn)是根據(jù)

項(xiàng)的正負(fù)來(lái)判斷焦點(diǎn)所在的位置，即2x項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在

x

軸上；2y項(xiàng)的系數(shù)

是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上

例1雙曲線(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為)0,5()0,5(

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FF，?，雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)P到

21

FF，的距離之差的

絕對(duì)值等于8，求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程

解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在

x

軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

(0?a,0?b)

∵102,82??ca∴5,4??ca∴1645222???b

所求雙曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為1

169

22

??

yx

變式1:假設(shè)|PF1|-|PF2|=6呢？

變式2:假設(shè)||PF1|-|PF2||=8呢？

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變式3:假設(shè)||PF1|-|PF2||=10呢？

四.課堂小結(jié):

雙曲線(xiàn)的兩類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程是)0,0(1

2

2

2

2

????ba

b

y

a

x

焦點(diǎn)在

x

軸上，

)0,0(1

2

2

2

2

????ba

b

x

a

y

焦點(diǎn)在y軸上,cba,,有關(guān)系式222bac??成立，且

0,0,0???cba其中a與b的大小關(guān)系:可以為bababa???,,