數學因式分解

1

因式分解的常用方法

第一部分：方法介紹

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、運用公式法.

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因

式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b)=a2-b2---------a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

下面再補充兩個常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知abc，，是ABC?的三邊，且

222abcabbcca?????，

則ABC?的形狀是（）

A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形

解：

222222222222abcabbccaabcabbcca???????????

222()()()0abbccaabc??????????

三、分組分解法.

（一）分組后能直接提公因式

例1、分解因式：bnbmanam???

分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用

公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，

因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩

組之間的聯系。

解：原式=)()(bnbmanam???

=)()(nmbnma???每組之間還有公因式！

=))((banm??

例2、分解因式：bxbyayax???5102

解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；

第三、四項為一組。第二、三項為一組。

解：原式=)5()102(bxbyayax???原式=)510()2(byaybxax????

2

=)5()5(2yxbyxa???=)2(5)2(baybax???

=)2)(5(bayx??=)5)(2(yxba??

練習：分解因式1、bcacaba???22、1???yxxy

（二）分組后能直接運用公式

例3、分解因式：ayaxyx???22

分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因

式，但提完后就能繼續分解，所以只能另外分組。

解：原式=)()(22ayaxyx???

=)())((yxayxyx????

=))((ayxyx???

例4、分解因式：

2222cbaba???

解：原式=

222)2(cbaba???

=22)(cba??

=))((cbacba????

練習：分解因式3、yyxx3922???4、yzzyx2222???

綜合練習：（1）

3223yxyyxx???（2）baaxbxbxax?????22

（3）181696222?????aayxyx（4）abbaba4912622????

（5）92234???aaa（6）ybxbyaxa222244???

（7）

222yyzxzxyx????（8）122222?????abbbaa

（9）)1)(1()2(????mmyy（10）)2())((abbcaca????

（11）abcbaccabcba2)()()(222??????（12）abccba3333???

四、十字相乘法.

（一）二次項系數為1的二次三項式

直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx??????進行分解。

特點：（1）二次項系數是1；

（2）常數項是兩個數的乘積；

（3）一次項系數是常數項的兩因數的和。

思考：十字相乘有什么基本規律？

例.已知0＜a≤5，且a為整數，若

223xxa??能用十字相乘法分解因式，

3

求符合條件的a.

解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax

2+bx+c，都要求

24bac???>0

而且是一個完全平方數。

于是98a???為完全平方數，1a?

例5、分解因式：652??xx

分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，從中可以發現只有2×3

的分解適合，即2+3=5。12

解：652??xx=32)32(2????xx13

=)3)(2(??xx1×2+1×3=5

用此方法進行分解的關鍵：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數

的代數和要等于一次項的系數。

例6、分解因式：672??xx

解：原式=)6)(1()]6()1[(2???????xx1-1

=)6)(1(??xx1-6

（-1）+（-6）=-7

練習5、分解因式(1)24142??xx(2)36152??aa(3)542??xx

練習6、分解因式(1)22??xx(2)1522??yy(3)24102??xx

（二）二次項系數不為1的二次三項式——cbxax??2

條件：（1）

21

aaa?

1

a

1

c

（2）

21

ccc?

2

a

2

c

（3）

1221

cacab??

1221

cacab??

分解結果：cbxax??2=))((

2211

cxacxa??

例7、分解因式：101132??xx

分析：1-2

4

3-5

（-6）+（-5）=-11

解：101132??xx=)53)(2(??xx

練習7、分解因式：（1）6752??xx（2）2732??xx

（3）317102??xx（4）101162???yy

（三）二次項系數為1的齊次多項式

例8、分解因式：

221288baba??

分析：將b看成常數，把原多項式看成關于a的二次三項式，利用十字相

乘法進行分解。

18b

1-16b

8b+(-16b)=-8b

解：

221288baba??=)16(8)]16(8[2bbabba??????

=)16)(8(baba??

練習8、分解因式(1)

2223yxyx??(2)2286nmnm??(3)226baba??

（四）二次項系數不為1的齊次多項式

例9、

22672yxyx??例10、2322??xyyx

1-2y把xy看作一個整體1-1

2-3y1-2

(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3

解：原式=)32)(2(yxyx??解：原式=)2)(1(??xyxy

練習9、分解因式：（1）

224715yxyx??（2）8622??axxa

綜合練習10、（1）17836??xx（2）

22151112yxyx??

（3）10)(3)(2????yxyx（4）344)(2????baba

（5）

222265xyxyx??（6）2634422?????nmnmnm

（7）3424422?????yxyxyx（8）

2222)(10)(23)(5bababa?????

（9）10364422?????yyxxyx（10）

2222)(2)(11)(12yxyxyx?????

思考：分解因式：abcxcbaabcx???)(2222

5

五、換元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(200522???xx

（2）

2)6)(3)(2)(1(xxxxx?????

解：（1）設2005=a，則原式=axaax???)1(22

=))(1(axax??

=)2005)(12005(??xx

（2）型如eabcd?的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。

原式=

222)65)(67(xxxxx?????

設Axx???652

，則xAxx2672????

∴原式=

2)2(xAxA??=222xAxA??

=2)(xA?=22)66(??xx

練習13、分解因式（1）)(4)(22222yxxyyxyx????

（2）90)384)(23(22?????xxxx

（3）

222222)3(4)5()1(?????aaa

例14、分解因式（1）262234????xxxx

觀察：此多項式的特點——是關于x的降冪排列，每一項的次數依次少1，

并且系數成“軸對稱”。這種多項式屬于“等距離多項式”。

方法：提中間項的字母和它的次數，保留系數，然后再用換元法。

解：原式=)

11

62(

2

22

x

x

xxx????=??6)

1

()

1

(2

2

22????

x

x

x

xx

設t

x

x??

1

，則2

1

2

2

2???t

x

x

∴原式=??6)2222???ttx（=??10222??ttx

=????2522??ttx=?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

??2

1

5

2

22

x

x

x

xx

=?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

??2

1

··5

2

2·

x

xx

x

xx=????1225222????xxxx

=)2)(12()1(2???xxx

（2）144234????xxxx

解：原式=

22

2

41

(41)xxx

xx

????=

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

?

?1

1

4

1

2

22

x

x

x

xx

6

設y

x

x??

1

，則2

1

2

2

2???y

x

x

∴原式=

22(43)xyy??=2(1)(3)xyy??

=)3

1

)(1

1

(2????

x

x

x

xx=????13122????xxxx

練習14、（1）673676234????xxxx

（2）)(2122234xxxxx?????

六、添項、拆項、配方法。

例15、分解因式（1）4323??xx

解法1——拆項。解法2——添項。

原式=33123???xx原式=444323????xxxx

=)1)(1(3)1)(1(2??????xxxxx=)44()43(2????xxxx

=)331)(1(2?????xxxx=)1(4)4)(1(????xxxx

=)44)(1(2???xxx=)44)(1(2???xxx

=2)2)(1(??xx=2)2)(1(??xx

（2）3369???xxx

解：原式=)1()1()1(369?????xxx

=)1()1)(1()1)(1(333363????????xxxxxx

=)111)(1(3363??????xxxx

=)32)(1)(1(362?????xxxxx

練習15、分解因式

（1）893??xx（2）

4224)1()1()1(?????xxx

（3）1724??xx（4）

22412aaxxx????

（5）

444)(yxyx???（6）444222222222cbacbcaba?????

七、待定系數法。

例16、分解因式613622?????yxyxyx

分析：原式的前3項

226yxyx??可以分為)2)(3(yxyx??，則原多項式

必定可分為)2)(3(nyxmyx????

解：設613622?????yxyxyx=)2)(3(nyxmyx????

∵)2)(3(nyxmyx????=mnymnxnmyxyx???????)23()(622

7

∴

613622?????yxyxyx=mnymnxnmyxyx???????)23()(622

對比左右兩邊相同項的系數可得

?

?

?

?

?

??

??

??

6

1323

1

mn

mn

nm

，解得

?

?

?

?

??

3

2

n

m

∴原式=)32)(23(????yxyx

例17、（1）當m為何值時，多項式6522????ymxyx能分解因式，并分

解此多項式。

（2）如果823???bxaxx有兩個因式為1?x和2?x，求ba?的值。

（1）分析：前兩項可以分解為))((yxyx??，故此多項式分解的形式必

為))((byxayx????

解：設6522????ymxyx=))((byxayx????

則6522????ymxyx=abyabxbayx??????)()(22

比較對應的系數可得：

?

?

?

?

?

??

??

??

6

5

ab

ab

mba

，解得：

?

?

?

?

?

?

?

??

1

3

2

m

b

a

或

?

?

?

?

?

??

??

?

1

3

2

m

b

a

∴當1??m時，原多項式可以分解；

當1?m時，原式=)3)(2(????yxyx；

當1??m時，原式=)3)(2(????yxyx

（2）分析：823???bxaxx是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘，

因此第三個因式必為形如cx?的一次二項式。

解：設823???bxaxx=))(2)(1(cxxx???

則823???bxaxx=cxcxcx2)32()3(23?????

∴

?

?

?

?

?

?

??

??

82

32

3

c

cb

ca

解得

?

?

?

?

?

?

?

?

4

14

7

c

b

a

，

∴ba?=21

練習17、（1）分解因式2910322?????yxyxyx

（2）分解因式6752322?????yxyxyx

（3）已知：pyxyxyx?????1463222

能分解成兩個一次因式

之積，求常數p并且分解因式。

8

（4）k為何值時，253222?????yxkyxyx能分解成兩個一次

因式的乘積，并分解此多項式。

第二部分：習題大全

經典一：

一、填空題

1.把一個多項式化成幾個整式的_______的形式，叫做把這個多項式分解

因式。

2分解因式：m3-4m=.

3.分解因式：x2-4y2=_______.

4、分解因式：

244xx???

=_________________。

5.將xn-y

n

分解因式的結果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值

為.

6、若

5,6xyxy???

，則

22xyxy?

=_________，

2222xy?

=__________。

二、選擇題

7、多項式

3222315520mnmnmn??

的公因式是()

A、

5mn

B、

225mn

C、

25mn

D、

25mn

8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是()

A、

????2339aaa????

B、

????22ababab????

C、

??24545aaaa?????

D、

2

3

232mmmm

m

??

?????

??

??

10.下列多項式能分解因式的是（）

(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4

11．把（x－y）2－（y－x）分解因式為（）

A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）

C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）

12．下列各個分解因式中正確的是（）

A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）

9

B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）

C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）

D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）

13.若k-12xy+9x2是一個完全平方式，那么k應為（）

A.2B.4C.2y2D.4y2

三、把下列各式分解因式：

14、

nxny?

15、

2294nm?

16、

????mmnnnm???

17、

3222aabab??

18、

??2

22416xx??

19、

22)(16)(9nmnm???

；

五、解答題

20、如圖，在一塊邊長

a

=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個邊長

b

=3.33cm

的正方形。求紙片剩余部分的面積。

10

21、如圖，某環保工程需要一種空心混凝土管道，它的規格是內徑

45dcm?

，外徑

75Dcm?，

長

3lm?

。利用分解因式計算澆制一節這樣

的管道需要多少立方米的混凝土？(

?

取3.14，結果保留2位有效數字)

22、觀察下列等式的規律，并根據這種規律寫出第(5)個等式。

????

??????

????????

??????????

2

42

842

16842

(1)111

(2)1111

(3)11111

(4)111111

(5)_________________________________________________

xxx

xxxx

xxxxx

xxxxxx

????

?????

??????

???????

經典二：

因式分解小結

知識總結歸納

因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法

互為逆運算，在初中代數中占有重要的地位和作用，在其它學科中也有廣

泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。

1.因式分解的對象是多項式；

l

d

D

11

2.因式分解的結果一定是整式乘積的形式；

3.分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；

4.公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；

5.結果如有相同因式，應寫成冪的形式；

6.題目中沒有指定數的范圍，一般指在有理數范圍內分解；

7.因式分解的一般步驟是：

（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首

先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟都不

能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利

用公式法繼續分解；

（2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數法、

試除法、拆項（添項）等方法；

下面我們一起來回顧本章所學的內容。

1.通過基本思路達到分解多項式的目的

例1.分解因式

xxxxx

54321?????

分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把

xxxxx54321?????和分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取

公因式后，再進一步分解；也可把

xx

54

?

，

xx

32

?

，

x?1

分別看成一組，

此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。

解一：原式

??????()()xxxxx

54321

??????

????

??????

xxxxx

xxx

xxxxx

322

32

22

11

11

111

()()

()()

()()()

解二：原式=

()()()xxxxx

54321?????

12

??????

????

?????

??????

?

xxxxx

xxx

xxxx

xxxxx

42

4

422

22

111

11

121

111

()()()

()()

()[()]

()()()

2.通過變形達到分解的目的

例1.分解因式

xx

3234??

解一：將

3

2x

拆成

222xx?

，則有

原式????

?????

????

???

xxx

xxxx

xxx

xx

322

2

2

2

24

222

22

12

()

()()()

()()

()()

解二：將常數

?4

拆成

??13

，則有

原式????

???????

????

???

xx

xxxxx

xxx

xx

32

2

2

2

133

11133

144

12

()

()()()()

()()

()()

3.在證明題中的應用

例：求證：多項式

()()xxx

2241021100????的值一定是非負數

分析：現階段我們學習了兩個非負數，它們是完全平方數、絕對值。

本題要證明這個多項式是非負數，需要變形成完全平方數。

證明：

()()xxx

2241021100????

??????

??????

??????

()()()()

()()()()

()()

xxxx

xxxx

xxxx

2237100

2723100

5145610022

設

yxx??

25

，則

13

原式

無論取何值都有

的值一定是非負數

?????????

??

?????

()()()

()

()()

yyyyy

yy

xxx

1461008164

40

41021100

22

2

22

?

4.因式分解中的轉化思想

例：分解因式：

()()()abcabbc??????2

333

分析：本題若直接用公式法分解，過程很復雜，觀察a+b，b+c與a+2b+c

的關系，努力尋找一種代換的方法。

解：設a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B

?????

??????

??

??

?????

原式()

()

()()()

ABAB

AABABBAB

ABAB

ABAB

abbcabc

333

322333

22

33

33

3

32

說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要

的。

中考點撥

例1.在?ABC中，三邊a,b,c滿足

abcabbc

222166100?????

求證：

acb??2

證明：

?abcabbc

222166100?????

14

???????

????

?????

??

??????

???

??

aabbcbcb

abcb

abcabc

abc

abcabc

abc

acb

2222

22

6910250

350

820

880

20

2

即

，即

于是有

即

()()

()()

?

說明：此題是代數、幾何的綜合題，難度不大，學生應掌握這類題不

能丟分。

例2.已知：

x

x

x

x

????

1

2

1

3

3

，則

__________

解：

x

x

x

x

x

x

3

3

2

11

1

1

?????()()

?????

??

?

()[()]x

x

x

x

11

21

21

2

2

說明：利用

x

x

x

x

2

2

2

11

2????()

等式化繁為易。

題型展示

1.若x為任意整數，求證：

()()()734

2

???xxx的值不大于100。

解：100)4)(3)(7(2????xxx?

???????

???????

??????

?????

?????

()()()()

()()

[()()]

()

()()()

xxxx

xxxx

xxxx

xx

xxx

7232100

51456100

58516

540

734100

22

22

22

2

15

說明：代數證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大

于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形

成完全平方是一種常用的方法。

2.將

aaaa222222216742??????()()分解因式，并用分解結果計算。

解：

aaaa

22221????()()

??????

?????

???

aaaaa

aaaa

aa

2222

222

22

21

21

1

()

()()

()

????????67423661431849

22222()

說明：利用因式分解簡化有理數的計算。

實戰模擬

1.分解因式：

（）

（）

131083108

233315

5432

22

xxxxx

aaaa

?????

?????()()

（）

（）

323352

476

22

3

xxyyxy

xx

?????

??

2.已知：

xyxyxy?????61

33

，，求：

的值。

16

3.矩形的周長是28cm，兩邊x,y使

xxyxyy

32230????

，求矩形的面

積。

4.求證：

nn

35?

是6的倍數。（其中n為整數）

5.已知：a、b、c是非零實數，且

abca

bc

b

ca

c

ab

2221

111111

3??????????，()()()

，求a+b+c的值。

6.已知：a、b、c為三角形的三邊，比較

abcab

222224??和的大小。

經典三：因式分解練習題精選

一、填空：（30分）

1、若16)3(22???xmx是完全平方式，則m的值等于_____。

17

2、22)(nxmxx????則m=____n=____

3、232yx與yx612的公因式是＿

4、若nmyx?=))()((4222yxyxyx???，則m=_______，n=_________。

5、在多項式2353515yyy??中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________，其結果是_____________________。

6、若16)3(22???xmx是完全平方式，則m=_______。

7、_____))(2(2(_____)2?????xxxx

8、已知,??????xxxx?則.________2006?x

9、若25)(162???Mba是完全平方式M=________。

10、??22)3(__6????xxx，??22)3(9___????xx

11、若229ykx??是完全平方式，則k=_______。

12、若442??xx的值為0，則51232??xx的值是________。

13、若)15)(1(152?????xxaxx則a=_____。

14、若6,422????yxyx則?xy___。

15、方程042??xx，的解是________。

二、選擇題：（10分）

18

1、多項式))(())((xbxaabbxxaa??????的公因式是（）

A、－a、B、))((bxxaa???C、)(xaa?D、)(axa??

2、若22)32(9????xkxmx，則m，k的值分別是（）

A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、

3、下列名式：4422222222,)()(,,,yxyxyxyxyx?????????中能

用平方差公

式分解因式的有（）

A、1個，B、2個，C、3個，D、4個

4、計算)

10

1

1)(

9

1

1()

3

1

1)(

2

1

1(

2232

?????的值是（）

A、

2

1

B、

20

11

.,

10

1

.,

20

1

DC

三、分解因式：（30分）

1、234352xxx??

2、2633xx?

3、22)2(4)2(25xyyx???

4、22414yxyx???

5、xx?5

6、13?x

19

7、2axabaxbxbx?????2

8、811824??xx

9、24369yx?

10、24)4)(3)(2)(1(?????xxxx

四、代數式求值（15分）

1、已知

3

1

2??yx，2?xy，求43342yxyx?的值。

2、若x、y互為相反數，且4)1()2(22????yx，求x、y的值

3、已知2??ba，求)(8)(22222baba???的值

五、計算：（15）

（1）0.7566.2

4

3

66.3???

（2）

20002001

2

1

2

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

（3）

2244222568562??????

六、試說明：（8分）

20

1、對于任意自然數n，22)5()7(???nn都能被動24整除。

2、兩個連續奇數的積加上其中較大的數，所得的數就是夾在這兩個連續奇

數之間的偶數與較大奇數的積。

七、利用分解因式計算（8分）

1、一種光盤的外D=11.9厘米，內徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。（結果

保留兩位有效數字）

2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘

米求這兩個正方形的邊長。

八、老師給了一個多項式，甲、乙、丙、丁四個同學分別對這個多項式進

行了描述：

甲：這是一個三次四項式

乙：三次項系數為1，常數項為1。

丙：這個多項式前三項有公因式

丁：這個多項式分解因式時要用到公式法

若這四個同學描述都正確請你構造一個同時滿足這個描述的多項式，并將

它分解因式。（4分）

經典四：

因式分解

一、選擇題

1、代數式a3b2

－

2

1

a2b3,

2

1

a3b4＋a4b3,a4b2－a2b4的公因式是（）

A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3

2、用提提公因式法分解因式5a(x－y)－10b·(x－y)，提出的公因式應當

21

為（）

A、5a－10bB、5a＋10bC、5(x－y)D、y－x

3、把－8m3＋12m2＋4m分解因式，結果是（）

A、－4m(2m2－3m)B、－4m(2m2＋3m－1)

C、－4m(2m2－3m－1)D、－2m(4m2－6m＋2)

4、把多項式－2x4－4x2分解因式，其結果是（）

A、2(－x4－2x2)B、－2(x4＋2x2)C、－x2(2x2＋4)D、－2x2(x2＋

2)

5、（－2）1998＋（－2）1999等于（）

A、－21998B、21998C、－21999D、21999

6、把16－x4分解因式，其結果是（）

A、(2－x)4B、(4＋x2)(4－x2)

C、(4＋x2)(2＋x)(2－x)D、(2＋x)3(2－x)

7、把a4－2a2b2＋b4分解因式，結果是（）

A、a2(a2－2b2)＋b4B、(a2－b2)2C、(a－b)4D、(a＋b)2(a－b)2

8、把多項式2x2－2x＋

2

1

分解因式，其結果是（）

A、(2x－

2

1

)2B、2(x－

2

1

)2C、(x－

2

1

)2D、

2

1

(x－1)2

9、若9a2＋6(k－3)a＋1是完全平方式，則k的值是（）

A、±4B、±2C、3D、4或2

10、－（2x－y）(2x＋y)是下列哪個多項式分解因式的結果（）

A、4x2－y2B、4x2＋y2C、－4x2－y2D、－4x2＋y2

11、多項式x2＋3x－54分解因式為（）

A、(x＋6)(x－9)B、(x－6)(x＋9)

C、(x＋6)(x＋9)D、(x－6)(x－9)

22

二、填空題

1、2x2－4xy－2x=_______(x－2y－1)

2、4a3b2－10a2b3=2a2b2(________)

3、(1－a)mn＋a－1=(________)(mn－1)

4、m(m－n)2－(n－m)2=(__________)(__________)

5、x2－(_______)＋16y2=()2

6、x2－(_______)2=(x＋5y)(x－5y)

7、a2－4(a－b)2=(__________)·(__________)

8、a(x＋y－z)＋b(x＋y－z)－c(x＋y－z)=(x＋y－z)·(________)

9、16(x－y)2－9(x＋y)2=(_________)·(___________)

10、(a＋b)3－(a＋b)=(a＋b)·(___________)·(__________)

11、x2＋3x＋2=(___________)(__________)

12、已知x2＋px＋12=(x－2)(x－6)，則p=_______.

三、解答題

1、把下列各式因式分解。

(1)x2－2x3(2)3y3－6y2＋3y

(3)a2(x－2a)2－a(x－2a)2(4)(x－2)2－x＋2

(5)25m2－10mn＋n2(6)12a2b(x－y)－4ab(y－x)

23

(7)(x－1)2(3x－2)＋(2－3x)(8)a2＋5a＋6

(9)x2－11x＋24(10)y2－12y－28

(11)x2＋4x－5(12)y4－3y3－28y2

2、用簡便方法計算。

（1）9992＋999（2）2022－542＋256×352

(3)

7

1997

2??

3、已知：x＋y=

2

1

,xy=1.求x3y＋2x2y2＋xy3的值。

24

四、探究創新樂園

1、若a－b=2,a－c=

2

1

,求(b－c)2＋3(b－c)＋

4

9

的值。

2、求證：1111－1110－119=119×109

經典五：

因式分解練習題

一、填空題：

2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；

25

12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，則a=______，b=______；

15．當m=______時，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．

二、選擇題：

1．下列各式的因式分解結果中，正確的是

[]

A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)

B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1)

26

C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy)

D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c)

2．多項式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于

[]

A．(n－2)(m＋m2)B．(n－2)(m－m2)

C．m(n－2)(m＋1)D．m(n－2)(m－1)

3．在下列等式中，屬于因式分解的是

[]

A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn

B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1

C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b)

D．x2－7x－8=x(x－7)－8

4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是

[]

A．a2＋b2B．－a2＋b2

C．－a2－b2D．－(－a2)＋b2

5．若9x2＋mxy＋16y2是一個完全平方式，那么m的值是

[]

A．－12B．±24

C．12D．±12

27

6．把多項式an+4－an+1分解得

[]

A．an(a4－a)B．an-1(a3

－1)

C．an+1(a－1)(a2－a＋1)D．an+1(a－1)(a2

＋a＋1)

7．若a2＋a＝－1，則a4＋2a3－3a2－4a＋3的值為

[]

A．8B．7

C．10D．12

8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分別為

[]

A．x=1，y=3B．x=1，y=

－3

C．x=－1，y=3D．x=1，y=－3

9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得

[]

A．(m＋1)4(m＋2)2B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2)

C．(m＋4)2(m－1)2D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2

10．把x2－7x－60分解因式，得

[]

28

A．(x－10)(x＋6)B．(x＋5)(x－12)

C．(x＋3)(x－20)D．(x－5)(x＋12)

11．把3x2－2xy－8y2分解因式，得

[]

A．(3x＋4)(x－2)B．(3x－4)(x

＋2)

C．(3x＋4y)(x－2y)D．(3x－4y)(x

＋2y)

12．把a2＋8ab－33b2分解因式，得

[]

A．(a＋11)(a－3)B．(a－11b)(a

－3b)

C．(a＋11b)(a－3b)D．(a－11b)(a

＋3b)

13．把x4－3x2＋2分解因式，得

[]

A．(x2－2)(x2－1)B．(x2－2)(x

＋1)(x－1)

C．(x2＋2)(x2＋1)D．(x2＋2)(x

＋1)(x－1)

14．多項式x2－ax－bx＋ab可分解因式為

[]

29

A．－(x＋a)(x＋b)B．(x－a)(x＋

b)

C．(x－a)(x－b)D．(x＋a)(x

＋b)

15．一個關于x的二次三項式，其x2項的系數是1，常數項是－12，

且能分解因式，這樣的二次三項式是

[]

A．x2－11x－12或x2＋11x－12

B．x2－x－12或x2＋x－12

C．x2－4x－12或x2＋4x－12

D．以上都可以

16．下列各式x3－x2－x＋1，x2＋y－xy－x，x2－2x－y2＋1，(x2

＋3x)2－(2x＋1)2中，不含有(x－1)因式的有

[]

A．1個B．2

個

C．3個D．4

個

17．把9－x2＋12xy－36y2分解因式為

[]

A．(x－6y＋3)(x－6x－3)

B．－(x－6y＋3)(x－6y－3)

C．－(x－6y＋3)(x＋6y－3)

30

D．－(x－6y＋3)(x－6y＋3)

18．下列因式分解錯誤的是

[]

A．a2－bc＋ac－ab=(a－b)(a＋c)

B．ab－5a＋3b－15=(b－5)(a＋3)

C．x2＋3xy－2x－6y=(x＋3y)(x－2)

D．x2－6xy－1＋9y2=(x＋3y＋1)(x＋3y－1)

19．已知a2x2±2x＋b2是完全平方式，且a，b都不為零，則a與b

的關系為

[]

A．互為倒數或互為負倒數B．互為相反數

C．相等的數D．任意有理

數

20．對x4＋4進行因式分解，所得的正確結論是

[]

A．不能分解因式B．有因式x2＋2x

＋2

C．(xy＋2)(xy－8)D．(xy－2)(xy

－8)

21．把a4＋2a2b2＋b4－a2b2分解因式為

[]

31

A．(a2＋b2＋ab)2B．(a2＋b2＋ab)(a2＋

b2－ab)

C．(a2－b2＋ab)(a2－b2－ab)D．(a2＋b2－ab)2

22．－(3x－1)(x＋2y)是下列哪個多項式的分解結果

[]

A．3x2＋6xy－x－2yB．3x2－6xy＋x－

2y

C．x＋2y＋3x2＋6xyD．x＋2y－3x2－6xy

23．64a8－b2因式分解為

[]

A．(64a4－b)(a4＋b)B．(16a2－

b)(4a2＋b)

C．(8a4－b)(8a4＋b)D．(8a2－b)(8a4

＋b)

24．9(x－y)2＋12(x2－y2)＋4(x＋y)2因式分解為

[]

A．(5x－y)2B．(5x＋y)2

C．(3x－2y)(3x＋2y)D．(5x－2y)2

25．(2y－3x)2－2(3x－2y)＋1因式分解為

[]

A．(3x－2y－1)2B．(3x＋2y＋1)2

C．(3x－2y＋1)2D．(2y－3x－1)2

32

26．把(a＋b)2－4(a2－b2)＋4(a－b)2分解因式為

[]

A．(3a－b)2B．(3b＋a)2

C．(3b－a)2D．(3a＋b)2

27．把a2(b＋c)2－2ab(a－c)(b＋c)＋b2(a－c)2分解因式為

[]

A．c(a＋b)2B．c(a－b)2

C．c2(a＋b)2D．c2(a－b)

28．若4xy－4x2－y2－k有一個因式為(1－2x＋y)，則k的值為

[]

A．0B．1

C．－1D．4

29．分解因式3a2x－4b2y－3b2x＋4a2y，正確的是

[]

A．－(a2＋b2)(3x＋4y)B．(a－b)(a＋

b)(3x＋4y)

C．(a2＋b2)(3x－4y)D．(a－b)(a＋

b)(3x－4y)

30．分解因式2a2＋4ab＋2b2－8c2，正確的是

[]

33

A．2(a＋b－2c)B．2(a＋b＋

c)(a＋b－c)

C．(2a＋b＋4c)(2a＋b－4c)D．2(a＋b＋2c)(a＋b－

2c)

三、因式分解：

1．m2(p－q)－p＋q；

2．a(ab＋bc＋ac)－abc；

3．x4－2y4－2x3y＋xy3；

4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2；

5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)；

6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1；

7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2；

8．x2－4ax＋8ab－4b2；

9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；

10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2；

11．(x＋1)2－9(x－1)2；

12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2；

13．ab2－ac2＋4ac－4a；

14．x3n＋y3n；

15．(x＋y)3＋125；

16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3；

34

17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)；

18．8(x＋y)3＋1；

19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3；

20．x2＋4xy＋3y2；

21．x2＋18x－144；

22．x4＋2x2－8；

23．－m4＋18m2－17；

24．x5－2x3－8x；

25．x8＋19x5－216x2；

26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24；

27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2；

28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2；

29．x2＋y2－x2y2－4xy－1；

30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48；

31．x2－y2－x－y；

32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b；

33．m4＋m2＋1；

34．a2－b2＋2ac＋c2；

35．a3－ab2＋a－b；

36．625b4－(a－b)4；

35

37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2；

38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35；

39．m2－a2＋4ab－4b2；

40．5m－5n－m2＋2mn－n2．

四、證明(求值)：

1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值．

2．求證：四個連續自然數的積再加上1，一定是一個完全平方數．

3．證明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．

4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a2＋b2＋c2＋2ab－2bc－2ac

的值．

5．若x2＋mx＋n=(x－3)(x＋4)，求(m＋n)2的值．

6．當a為何值時，多項式x2＋7xy＋ay2－5x＋43y－24可以分解為兩

個一次因式的乘積．

7．若x，y為任意有理數，比較6xy與x2＋9y2的大小．

8．兩個連續偶數的平方差是4的倍數．