三階無(wú)窮小

無(wú)窮小階的比較的講授方法

摘要：對(duì)無(wú)窮小和無(wú)窮小階的比較的理解是掌握極限理論的關(guān)鍵對(duì)同一極限過(guò)程下的一組無(wú)

窮小，抽象的階的比較往往使初學(xué)者難以接受。本文考慮在課堂上講授這一局部時(shí)運(yùn)用類比，

力圖將無(wú)窮小階的比較過(guò)程形象地呈現(xiàn)出來(lái)。這一類比也可用于對(duì)無(wú)窮大及其階的比較的課

堂講授。

關(guān)鍵詞：無(wú)窮小階的比較；類比

一、無(wú)窮小及其階的比較

無(wú)窮小量，即無(wú)窮小，指在自變量的某一變化過(guò)程下趨于零的函數(shù)。在微積分的開(kāi)展過(guò)程中，

人們對(duì)無(wú)窮小量的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，這與極限理論的遭遇密切相關(guān)：無(wú)窮小是極

限理論中最使人難以接受的局部，對(duì)當(dāng)時(shí)的人們來(lái)說(shuō)，它似乎帶有某種“神秘氣氛〞，見(jiàn)【1】。

無(wú)窮小的定義是“如果一個(gè)量的絕對(duì)值能變得小于任意選定的無(wú)論怎樣小的量，那么說(shuō)它能

變?yōu)闊o(wú)窮小〞，正是這個(gè)說(shuō)法，引出了一般極限定義的ε.δ語(yǔ)言，毋庸諱言，〞某量的絕對(duì)

值小于任意選定的無(wú)論怎樣小的量〞表達(dá)成的數(shù)學(xué)語(yǔ)言〔即無(wú)窮小的ε.δ定義〕仍困擾著今

天的初學(xué)者，而無(wú)窮小階的比較，那么是在自變量的某變化過(guò)程下，比較出不同無(wú)窮小趨于

零的相對(duì)快慢。這個(gè)比較過(guò)程，在教科書(shū)中是考慮這些無(wú)窮小量的比值在自變量的該變化過(guò)

程下的極限〔可參見(jiàn)任一本微積分教材，如文獻(xiàn)【2】〕：

二、用類比法講授“無(wú)窮小量階的比較〞過(guò)程

極限理論對(duì)初學(xué)者往往較難理解，這源于極限概念〔ε.δ語(yǔ)言〕的抽象性和高度的動(dòng)態(tài)性：

據(jù)說(shuō)這是一個(gè)有四個(gè)邏輯層次的雜邏輯結(jié)構(gòu)，【3】而中學(xué)的數(shù)學(xué)對(duì)象多是靜態(tài)的，即使略顯

抽象，也可在數(shù)次〞親密〞接觸后形成印象.但對(duì)于ε.δ語(yǔ)言，即使靠〞死記硬背闖關(guān)了〞，

理解起來(lái)仍無(wú)所適從，基于此，人們?cè)脑鞓O限概念的表達(dá)方式，提出所謂非ε語(yǔ)言定義來(lái)

代替ε.δ語(yǔ)言，【3】這種做法，不會(huì)降低學(xué)生的理解難度，甚至可以說(shuō)，有意繞開(kāi)極限理論

的精髓反而加大了以后學(xué)習(xí)的難度，最終還是要返回去重新理解ε.δ語(yǔ)言。那么，怎樣才能

讓初學(xué)者對(duì)ε.δ語(yǔ)言形成一個(gè)根本印象呢？由前述的極限定義的ε.δ語(yǔ)言和無(wú)窮小之間的關(guān)

聯(lián)，即正是無(wú)窮小的定義，引出了極限定義的ε.δ語(yǔ)言，筆者認(rèn)為，講授這一局部時(shí)，通過(guò)

對(duì)某一動(dòng)態(tài)過(guò)程的類比考察，形象的再現(xiàn)無(wú)窮小及其階的比較經(jīng)過(guò)，對(duì)于初步理解極限定義

的ε.δ語(yǔ)言大有裨益。

設(shè)定一個(gè)長(zhǎng)跑比賽的場(chǎng)景，假設(shè)沿一個(gè)800米跑道跑下去，以終點(diǎn)作為各運(yùn)發(fā)動(dòng)在比賽過(guò)程〞

要趨于〞的點(diǎn)：這就對(duì)應(yīng)于假設(shè)干同一過(guò)程下的極限過(guò)程。經(jīng)過(guò)最初的幾圈，參賽隊(duì)員依實(shí)

力就會(huì)自然地形成梯隊(duì)，各梯隊(duì)的組成人員隨著比賽的繼續(xù)是相對(duì)固定的，而且相鄰梯隊(duì)相

距很遠(yuǎn)。這時(shí)，我們可以認(rèn)定，前面梯隊(duì)的人員〞趨于〞終點(diǎn)的速度要遠(yuǎn)大于其后梯隊(duì)的人

員，而在梯隊(duì)內(nèi)部，運(yùn)發(fā)動(dòng)們的速度是相差不多的〔否那么就會(huì)沖到前一梯隊(duì)或掉出該梯隊(duì)

而拉到后面梯隊(duì)〕。

在這個(gè)場(chǎng)景下，回到無(wú)窮小量階的比較上。假設(shè)將比賽的終點(diǎn)視為極限值0，在比賽過(guò)程中，

每一個(gè)運(yùn)發(fā)動(dòng)都在趨于終點(diǎn)，也就是說(shuō)參賽的運(yùn)發(fā)動(dòng)都可視為相應(yīng)的無(wú)窮小。我們先考慮處

于不同梯隊(duì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)，顯然，如前述，屬于前面梯隊(duì)的運(yùn)發(fā)動(dòng)要遠(yuǎn)快于其后梯隊(duì)的，如果比

較前面梯隊(duì)中人員的速度和其后梯隊(duì)人員的速度，在前面梯隊(duì)接近終點(diǎn)時(shí)，可以認(rèn)為對(duì)應(yīng)的

無(wú)窮小接近極限值0，對(duì)應(yīng)的，其后的梯隊(duì)距終點(diǎn)還有很長(zhǎng)一段，對(duì)應(yīng)的無(wú)窮小還遠(yuǎn)未接近

0，那么這個(gè)比的極限就是0，我們稱作為分子的無(wú)窮小較作為分母的無(wú)窮小高階，對(duì)應(yīng)到

場(chǎng)景中就是前面梯隊(duì)的速度遠(yuǎn)大于后面梯隊(duì)的。在同一個(gè)梯隊(duì)中，不同運(yùn)發(fā)動(dòng)之間的速度也

有差異，除非二者〞并駕齊驅(qū)〞，否那么，這個(gè)相對(duì)速度之比會(huì)趨于一個(gè)非零常數(shù)，這時(shí)我

們可稱位于同一梯隊(duì)中的運(yùn)發(fā)動(dòng)相對(duì)靜止，這類比于兩個(gè)無(wú)窮小量是同階的，而假設(shè)這個(gè)比

值趨于1，對(duì)應(yīng)于運(yùn)發(fā)動(dòng)〞并駕齊驅(qū)〞，那么這兩個(gè)無(wú)窮小量就是等價(jià)無(wú)窮小了。以上過(guò)程

中假設(shè)將終點(diǎn)類比成無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，那么比賽過(guò)程就可想象為無(wú)窮大量的階的比較過(guò)程，不同的，

由于是趨于無(wú)窮遠(yuǎn)，當(dāng)相應(yīng)的極限為0時(shí)，類比的情形是，極限過(guò)程下，分母遠(yuǎn)大于分子。

此時(shí)稱分母為較分子高階的無(wú)窮大，反過(guò)來(lái)也可以稱分子為較分母低階的無(wú)窮大，類似可有

其他結(jié)論。

三、其他

對(duì)應(yīng)于某無(wú)窮小較另一無(wú)窮小低階，場(chǎng)景中就是后面梯隊(duì)的速度低于前面梯隊(duì)的；而當(dāng)兩運(yùn)

發(fā)動(dòng)〞并駕齊驅(qū)〞時(shí)，他們的速度當(dāng)然是可以互換的，這就可聯(lián)系接下來(lái)的等價(jià)無(wú)窮小替換

了。

四、結(jié)論

本文用長(zhǎng)跑比賽中的梯隊(duì)現(xiàn)象類比無(wú)窮小〔大〕階的比較過(guò)程，可幫助初學(xué)者呈現(xiàn)比較的經(jīng)

過(guò)，理解這一過(guò)程及極限定義的ε.δ語(yǔ)言。

參考文獻(xiàn)：

【1】齊民友.重溫微積分[M].北京：高等教育出版社，2021.

【2】陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析〔上冊(cè)〕[M].北京：高等教育出版社，1999.

【3】張景中.教育數(shù)學(xué)探索[M].成都：四川教育出版社，1994.