新疆高考

新疆自治區2018高考[理科數學]考試真題與答案解析

一、選擇題

本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的．

1．

12i

12i

?

?

?

（）

A．

43

i

55

??

B．

43

i

55

??

C．

34

i

55

??

D．

34

i

55

??

2．已知集合

????223Axyxyxy????ZZ，≤，，，則A中元素的個數為（）

A．9

B．8

C．5

D．4

3．函數

??

2

eexx

fx

x

??

?的圖像大致為：__________

4．已知向量a，b滿足||1?a，1???ab，則(2)???aab（）

A．4

B．3

C．2

D．0

5．雙曲線22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

????的離心率為3，則其漸近線方程為（）

A．2yx??

B．3yx??

C．

2

2

yx??

D．

3

2

yx??

6．在ABC△中，

5

cos

25

C

?，1BC?，5AC?，則AB?（）

A．42

B．30

C．29

D．25

7．為計算

11111

1

23499100

S???????…，設計了下側的程序框圖，則在空白框中應填

入（）

A．1ii??

B．2ii??

C．3ii??

D．4ii??

8．我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴

赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”，如30723??．在不超

過30的素數中，隨機選取兩個不同的數，其和等于30的概率是

A．

1

12

B．

1

14

C．

1

15

D．

1

18

9．在長方體1111

ABCDABCD?中，1ABBC??，1

3AA?，則異面直線1

AD與1

DB所成角的

余弦值為

A．

1

5

B．

5

6

C．

5

5

D．

2

2

10．若()cossinfxxx??在[,]aa?是減函數，則a的最大值是

A．

π

4

B．

π

2

C．

3π

4

D．π

11．已知()fx是定義域為(,)????的奇函數，滿足(1)(1)fxfx???．若(1)2f?，則

(1)(2)(3)(50)ffff?????…

A．50?

B．0

C．2

D．50

12．已知1

F，2

F是橢圓22

22

1(0)

xy

Cab

ab

????：的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在

過A且斜率為

3

6

的直線上，12

PFF△為等腰三角形，12

120FFP???，則C的離心率為

A.

2

3

B．

1

2

C．

1

3

D．

1

4

二、填空題

本題共4小題，每小題5分，共20分．

13．曲線2ln(1)yx??在點(0,0)處的切線方程為__________．

14．若,xy滿足約束條件

250

230

50

xy

xy

x

???

?

?

???

?

?

??

?

，

，

，

則zxy??的最大值為__________．

15．已知sincos1αβ??，cossin0αβ??，則sin()αβ??__________．

16．已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為

7

8

，SA與圓錐底面所成

角為45°，若SAB△的面積為515，則該圓錐的側面積為__________．

三、解答題

解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題

考生都必須作答．第22、23為選考題，考生根據要求作答．

（一）必考題：共60分。

17．（12分）

記n

S為等差數列{}

n

a的前n項和，已知1

7a??，3

15S??．

（1）求{}

n

a的通項公式；

（2）求n

S，并求n

S的最小值．

18．（12分）

下圖是某地區2000年至2016年環境基礎設施投資額y（單位：億元）的折線圖．

為了預測該地區2018年的環境基礎設施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線

性回歸模型．根據2000年至2016年的數據（時間變量t的值依次為1217，，…，）

建立模型①：?

30.413.5yt???；根據2010年至2016年的數據（時間變量t的值依次

為127，，…，）建立模型②：?

9917.5yt??．

（1）分別利用這兩個模型，求該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值；

（2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．

19．（12分）

設拋物線24Cyx?：的焦點為F，過F且斜率為(0)kk?的直線l與C交于A，B兩點，

||8AB?．

（1）求l的方程

（2）求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．

20．（12分）

如圖，在三棱錐PABC?中，22ABBC??，4PAPBPCAC????，O為AC的中點．

（1）證明：PO?平面ABC；

（2）若點M在棱BC上，且二面角MPAC??為30?，求PC與平面PAM所成角的正弦

值．

P

A

O

C

B

M

21．（12分）已知函數2()exfxax??．

（1）若1a?，證明：當0x?時，()1fx?；

（2）若()fx在(0,)??只有一個零點，求a．

（二）選考題

請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分．

22．（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

2cos

4sin

xθ

yθ

?

?

?

?

?

，

（θ為參數），

直線l的參數方程為

1cos

2sin

xtα

ytα

??

?

?

??

?

，

（t為參數）．

（1）求C和l的直角坐標方程；

（2）若曲線C截直線l所得線段的中點坐標為(1,2)，求l的斜率．

23．（10分）設函數()5|||2|fxxax?????．

（1）當1a?時，求不等式()0fx?的解集；

（2）若()1fx?，求a的取值范圍．

答案解析

一、選擇題

1D2A3B4B5A6A7B8C9C10A

11C12D

二、填空題

13．2yx?

14．9

15．

1

2

?

16．402π

三、解答題

17．解：（1）設{}

n

a的公差為d，由題意得

1

3315ad???．

由

1

7a??得d=2．

所以{}

n

a的通項公式為29

n

an??．

（2）由（1）得228(4)16

n

Snnn?????．

所以當n=4時，

n

S取得最小值，最小值為?16．

18．解：（1）利用模型①，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

?

30.413.519226.1y?????(億元)．

利用模型②，該地區2018年的環境基礎設施投資額的預測值為

?

9917.59256.5y????(億元)．

（2）利用模型②得到的預測值更可靠．

理由如下：

（?。恼劬€圖可以看出，2000年至2016年的數據對應的點沒有隨機散布在直

線30.413.5yt???上下．這說明利用2000年至2016年的數據建立的線性模型①

不能很好地描述環境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環境基

礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數據對應的點位于一條直線的附

近，這說明從2010年開始環境基礎設施投資額的變化規律呈線性增長趨勢，利

用2010年至2016年的數據建立的線性模型?

9917.5yt??可以較好地描述2010

年以后的環境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠．

（ⅱ）從計算結果看，相對于2016年的環境基礎設施投資額220億元，由模型①

得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比

較合理．說明利用模型②得到的預測值更可靠．

以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．

19．解：（1）由題意得(1,0)F，l的方程為(1)(0)ykxk???．

設

1221

(,),(,)AyxyxB，

由

2

(1),

4

ykx

yx

??

?

?

?

?

得2222(24)0kxkxk????．216160k????，故

12

2

2

24

k

x

k

x

?

??．

所以

12

2

2

44

||||||(1)(1)x

k

ABAFBF

k

x

?

???????．

由題設知2

2

44

8

k

k

?

?，解得1k??（舍去），1k?．

因此l的方程為1yx??．

（2）由（1）得AB的中點坐標為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為2(3)yx????，

即5yx???．

設所求圓的圓心坐標為

00

(,)xy，則

00

2

2

00

0

5,

(1)

(1)16.

2

yx

yx

x

???

?

?

?

??

???

?

?

解得0

0

3,

2

x

y

?

?

?

?

?

或0

0

11,

6.

x

y

?

?

?

??

?

因此所求圓的方程為22(3)(2)16xy????或22(11)(6)144xy????．

20．解：（1）因為4APCPAC???，O為AC的中點，所以OPAC?，且

23OP?．

連結OB．因為

2

2

ABBCAC??，所以ABC△為等腰直角三角形，

且OBAC?，

1

2

2

OBAC??．

由222OPOBPB??知POOB?．

由,OPOBOPAC??知PO?平面ABC．

（2）如圖，以O為坐標原點，OB

uuur

的方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系

Oxyz?．

由已知得取平面PAC的法向量(2,0,0)OB?

uuur

．

設(,2,0)(02)Maaa???，則(,4,0)AMaa??

uuur

．

設平面PAM的法向量為(,,)xyz?n．

由0,0APAM????

uuuruuur

nn得

2230

(4)0

yz

axay

?

??

?

?

???

?

?

，可取(3(4),3,)aaa???n，

所以

222

23(4)

cos,

23(4)3

a

OB

aaa

?

?

???

uuur

n．

由已知可得

3

|cos,|

2

OB?

uuur

n．

所以

222

23|4|3

=

2

23(4)3

a

aaa

?

???

．解得4a??（舍去），

4

3

a?．

所以

83434

(,,)

333

???n．

又(0,2,23)PC??

uuur

，所以

3

cos,

4

PC?

uuur

n．

所以PC與平面PAM所成角的正弦值為

3

4

．

21．解：（1）當

1a?

時，

()1fx?

等價于2(1)e10xx????

．

設函數2()(1)e1xgxx????，則22()(21)e(1)exxg'xxxx?????????．

當1x?時，()0g'x?，所以()gx在(0,)??單調遞減．

而(0)0g?，故當0x?時，()0gx?，即()1fx?．

（2）設函數2()1exhxax???．

()fx在(0,)??只有一個零點當且僅當()hx在(0,)??只有一個零點．

（i）當0a?時，()0hx?，()hx沒有零點；（ii）當0a?時，()(2)exh'xaxx???．

當(0,2)x?時，()0h'x?；當(2,)x???時，()0h'x?．

所以()hx在(0,2)單調遞減，在(2,)??單調遞增．

故2

4

(2)1

e

a

h??是()hx在[0,)??的最小值．

①若(2)0h?，即

2e

4

a?，()hx在(0,)??沒有零點；

②若(2)0h?，即

2e

4

a?，()hx在(0,)??只有一個零點；

③若(2)0h?，即

2e

4

a?，由于(0)1h?，所以()hx在(0,2)有一個零點，

由（1）知，當0x?時，2exx?，所以

333

4224

1616161

(4)11110

e(e)(2)aa

aaa

ha

aa

?????????．

故()hx在(2,4)a有一個零點，因此()hx在(0,)??有兩個零點．

綜上，()fx在(0,)??只有一個零點時，

2e

4

a?．

22．解：（1）曲線

C

的直角坐標方程為

22

1

416

xy

??

．

當cos0??時，l的直角坐標方程為tan2tanyx??????，

當cos0??時，l的直角坐標方程為1x?．

（2）將l的參數方程代入C的直角坐標方程，整理得關于t的方程

22(13cos)4(2cossin)80tt????????．①

因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內，所以①有兩個解，設為1

t

，2

t

，

則12

0tt??

．

又由①得12

2

4(2cossin)

13cos

tt

??

?

?

???

?

，故2cossin0????，于是直線l的斜率tan2k????．

23．解：（1）當1a?時，

24,1,

()2,12,

26,2.

xx

fxx

xx

???

?

?

????

?

?

???

?

可得()0fx?的解集為{|23}xx???．

（2）()1fx?等價于|||2|4xax????．

而|||2||2|xaxa?????，且當2x?時等號成立．故()1fx?等價于|2|4a??．

由|2|4a??可得6a??或2a?，所以

a

的取值范圍是(,6][2,)??????