sin二倍角公式

創作時間：二零二一年六月三十日

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三角函數倍角公式之馬矢奏春創作

創作時間：二零二一年六月三十日

復習重點:二倍角公式

二倍角的正弦公式：

sin2A＝2sinAcosA

二倍角的余弦公式：

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

二倍角的正切公式：

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

對公式的再認識：

(1)適用范圍：二倍角的正切公式有限制條件：

A≠kπ＋2

?

且A≠

k

2

?

＋4

?

(k∈Z)；

(2)公式特征：二倍角公式是兩角和的正弦、余弦和正切公式之

特例；二倍角關系是相對的.

(3)公式的靈活運用：正用、逆用、變形用.

復習難點:倍角公式的應用復習內容:

小結：

倍角公式：

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sin2A＝2sinAcosA

cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1＝1－2sin2A

tan2A＝2

2tanA

1tanA－

化“1”公式（升冪公式）

1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2,

1－sin2A＝(sinA－cosA)2

1＋cos2A＝2cos2A

1－cos2A＝2sin2A

降冪公式

cos2A＝

1cos2A

2

＋

sin2A＝

1cos2A

2

－

二倍角公式是兩角和公式的特殊情況,即:

由此可繼續導出三倍角公式.觀察角之間的聯系應該是解決

三角變換的一個關鍵.二倍角公式中余弦公式有三種形式,采納哪

種形式應根據題目具體而定.

倍角和半角相對而言,兩倍角余弦公式的變形可引出半角公

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式.推導過程中可獲得一組降次公式,即,

進一步獲得半角公式:

降次公式在三角變換中應用得十分廣泛,“降次”可以作為三

角變換中的一個原則.半角公式在運用時一定要注意正、負號的選

取,而是正是負取決于α的正弦、余弦暗示,

即:也可暗示sinα,cosα,tanα,即:

,,這組公式叫

做“萬能”公式.

教材中只要求記憶兩倍角公式,其它公式并沒有給出,需要

時可根據二倍角公式及同角三角函數公式推出.

例1．推導三倍角的正弦、余弦公式解:sin3α=sin(2α+α)

cos3α=cos(2α+α)

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:∵

sin36°=cos54°,∴2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18°

∵cos18°≠0∴2sin18°=4cos218°-3∴2sin18°=4-

4sin218°-3

∴4sin218°+2sin18°-1=0

∴.本題還可根據二倍角公式推出

cos36°.

即.

例3．化簡求值:(1)csc10°-c10°(2)

tan20°+cot20°-2c50°解:(1)csc10°-c10°

(2)tan20°+cot20°-2c50°

例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

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解:sin220°+cos250°+sin30°sin70°

例5．已知:.求:cos4θ+sin4θ:∵

,

∴,即,

即,∴

cos4θ+sin4θ:c

os36°·cos72°

例

7．求::

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上述兩題求解方法一致,都是連續應用二倍角的正弦公式.而

能采納這種方法求值的題目要求也是嚴格的,要滿足（1）余弦相

乘,（2）后一個角是前一個角的兩倍,（3）最年夜角的兩倍與

最小值的和（或差）是π.滿足這三個條件即可采納這種方法.

例8．已知:2cosθ=1+sinθ,求.

方法一:∵2cosθ=1+sinθ,∴

∴或,∴,

∴,∴或=2.

方法二:∵2cosθ=1+sinθ,∴,

∴,

∴或,∴或

=2.

例9．已知:,求:tanα:∵

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,∴,

∵0≤α≤π,∴,∴

(1)那時,,

則有,∴,∴

,∴,

∴.

(2)當,則有

,

∴,∴,∴.

注意:1與sinα在一起時,1往往被看作,而1

與cosα在一起時,往往應用二倍角余弦公式把1去失落.

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例10．已知:sinθ,sinα,cosθ為等差數列;sinθ,sinβ,

cosθ為等比數列.求證:2cos2α=cos2β.證明:∵

,∴∴4sin2α=1+2sin2β

∴2-4sin2α=2-1-2sin2β∴2cos2α=cos2β.課后練習:

1．若,

則（）.

A、PQB、PQC、P=QD、P∩Q=

2．若A為ΔABC的內角,,則cos2A=（）.

A、B、C、D、

3．若,則sin2θ=（）.

A、B、C、D、

4．若,則sinθ=（）.

A、B、C、D、-

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5．若,則=（）.

A、B、C、1D、-1

6．若,則cosα=________.7.若θ為

第二象限角,且,則=_____.8．已知

sinA+cosA=2sinB.求證:cos2B=cos2.

參考謎底

1.C2.B3.C4.C5.B6.7.6

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