高三數(shù)學題

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高三數(shù)學模擬試卷

選擇題（每小題5分，共40分）

1．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2,3}，N＝{3,4,5}，則M∩(

U

N)＝（）

A.{1,2}B.｛4,5｝C.｛3｝D.｛1,2,3,4,5｝

2.復數(shù)z=i2(1+i)的虛部為（）

.-1D.-i

3．正項數(shù)列{a

n

}成等比，a

1

+a

2

=3，a

3

+a

4

=12,則a

4

+a

5

的值是（）

A.-24B.21C.24D.48

4．一組合體三視圖如右，正視圖中正方形

邊長為2，俯視圖為正三角形及內切圓，

則該組合體體積為（）

A.23B.

4

3

?

C.23+

4

3

?

D.

54343

27

??

5．雙曲線以一正方形兩頂點為焦點，另兩頂點在雙曲線上，則其離心率為（）

A.22B.2+1C.2D.1

6．在四邊形ABCD中，“AB=2DC”是“四邊形ABCD為梯形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7．設P在[0,5]上隨機地取值，求方程x2+px+1=0有實根的概率為（）

A.0.2B.0.4C.0.5D.0.6

8．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<

2

?

)

的圖象（部分）如圖所示，則f(x)的解析式是（）

A．f(x)=5sin(

6

?

x+

6

?

)Ｂ．f(x)=5sin(

6

?

x-

6

?

)

Ｃ．f(x)=5sin(

3

?

x+

6

?

)Ｄ．f(x)=5sin(

3

?

x-

6

?

)

二、填空題：（每小題5分，共30分）

9.直線y=kx+1與A（1,0），B（1,1）對應線段有公

共點，則k的取值范圍是_______.

10．記n

x

x)

1

2(?的展開式中第m項的系數(shù)為

m

b，若

43

2bb?，則

n

=__________.

11．設函數(shù)

3

1()12xfxx????的四個零點分別為

1234

xxxx、、、，則

1234

()fxxxx?+++；

12、設向量

(12)(23)??，，，ab

，若向量??ab與向量

(47)???，c

共線，則??

11.

2

1

1

lim______

34x

x

xx?

?

?

??

.

14.對任意實數(shù)x、y，定義運算x*y=ax+by+cxy，其中

a、b、c為常實數(shù)，等號右邊的運算是通常意義的加、

x

－5

y

O

5

2

5

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乘運算.現(xiàn)已知2*1=3，2*3=4，且有一個非零實數(shù)m，

使得對任意實數(shù)x，都有x*m=2x，則m=.

三、解答題：

15．（本題10分）已知向量a=(sin(

2

?

+x),3cosx)，b=(sinx,cosx),f(x)=a·b.

⑴求f(x)的最小正周期和單調增區(qū)間；

⑵如果三角形ABC中，滿足f(A)=

3

2

，求角A的值．

16．（本題10分）如圖：直三棱柱（側棱⊥底面）ABC—A

1

B

1

C

1

中，

∠ACB=90°，AA

1

=AC=1，BC=2，CD⊥AB,垂足為D.

⑴求證：BC∥平面AB

1

C

1

;

⑵求點B

1

到面A

1

CD的距離.

17．（本題10分）旅游公司為4個旅游團提供5條旅游線路，每個旅游團任選其中一條.

（1）求4個旅游團選擇互不相同的線路共有多少種方法;

（2）求恰有2條線路被選中的概率;

（3）求選擇甲線路旅游團數(shù)的數(shù)學期望.

18.（本題10分）數(shù)列{a

n

}滿足a

1

+2a

2

+22a

3

+…+2n-1a

n

=4n.

⑴求通項a

n

；

⑵求數(shù)列{a

n

}的前n項和S

n

.

19．（本題12分）已知函數(shù)f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1，f′(1)=0，

⑴求f(x)；

⑵求f(x)的最大值；

⑶若x>0,y>0,證明：lnx+lny≤

3

2

xyxy???

.

20．（本題14分）設

21

,FF分別為橢圓)0(1:

2

2

2

2

????ba

b

y

a

x

C的左、右兩個焦點，若橢圓C

P

A

1

B

1

C

1

A

B

C

D

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上的點A(1,

3

2

)到F

1

，F(xiàn)

2

兩點的距離之和等于4.

⑴寫出橢圓C的方程和焦點坐標；

⑵過點P（1，

1

4

）的直線與橢圓交于兩點D、E，若DP=PE，求直線DE的方程;

⑶過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，若△OMN面積取得最大，求直線MN的方程.

21.（本題14分）對任意正實數(shù)a

1

、a

2

、…、an；

求證1/a

1

+2/(a

1

+a

2

)+…+n/(a

1

+a

2

+…+a

n

)<2(1/a

1

+1/a

2

+…+1/a

n

)

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09高三數(shù)學模擬測試答案

一、選擇題:.ACCDBADA

二、填空題：本題主要考查基礎知識和基本運算．每小題4分，共16分.

9.[-1,0]10.511.1912.213.

1

5

14.3

三、解答題：

15．本題考查向量、二倍角和合成的三角函數(shù)的公式及三角函數(shù)性質，要求學生能運用所學知識

解決問題．

解：⑴f(x)=sinxcosx+

3

2

+

3

2

cos2x=sin(2x+

3

?

)+

3

2

………

T=π，2kπ-

2

?

≤2x+

3

?

≤2kπ+

2

?

，k∈Z,

最小正周期為π，單調增區(qū)間[kπ-

5

12

?

,kπ+

12

?

],k∈Z.……………………

⑵由sin(2A+

3

?

)=0,

3

?

<2A+

3

?

<

7

3

?

,……………

∴2A+

3

?

=π或2π，∴A=

3

?

或

5

6

?

……………………

16．、本題主要考查空間線線、線面的位置關系，考查空間距離角的計算，考查空間想象能力和

推理、論證能力，同時也可考查學生靈活利用圖形，建立空間直角坐標系，借助向量工具解決

問題的能力．

⑴證明：直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中，BC∥B

1

C

1

,

又BC?平面AB

1

C

1

，B

1

C

1

?平面AB

1

C

1

，∴B

1

C

1

∥平面AB

1

C

1

；………………

⑵（解法一）∵CD⊥AB且平面ABB1A1⊥平面ABC,

∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥AD且CD⊥A1D,

∴∠A1DA是二面角A

1

—CD—A的平面角，

在Rt△ABC,AC=1,BC=2,

∴AB=

3

,又CD⊥AB，∴AC2=AD×AB

∴AD=

3

3

，AA

1

=1，∴∠DA

1

B

1

=∠A1DA=60°，∠A

1

B

1

A=30°，∴AB

1

⊥A1D

又CD⊥A1D，∴AB1⊥平面A1CD，設A1D∩AB1=P,∴B1P為所求點B

1

到面A

1

CD的距離.

B1P=A

1

B

1

cos∠A

1

B

1

A=

3

cos30°=

3

2

.

即點

1

B到面CDA

1

的距離為

2

3

．…………………………………………………

z

y

x

A

C

B

C

1

D

A

1

B

1

P

A

1

B

1

C

1

A

B

C

D

__________________________________________________

__________________________________________________

（2）（解法二）由V

B1-A1CD

=V

C-A1B1D

=

1

3

×

31

2

?

×

6

3

=

2

6

，而cos∠A1CD=

2

2

×

6

3

=

3

3

,

S△A1CD

=

1

2

×2×

6

3

×

6

3

=

2

3

,設B1到平面A1CD距離為h,則

1

3

×

2

3

h=

2

6

,得h=

3

2

為所

求.

⑶（解法三）分別以CA、CB、CC

1

所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系（如圖）則A（1，

0，0），A

1

（1，0，1），

C（0，0，0），C

1

（0，0，1），

B（0，2，0），B

1

（0，2，1），

∴D（

2

3

，

2

3

，0）

1

CB=（0，2，1），設平面A

1

CD的法向量n=（x，y，z），則

1

3220

0

nCDxy

nCAxz

?

????

?

????

?

，取n=（1，-2，-1）

點

1

B到面CDA

1

的距離為d=1

nCB

n

?

2

3

?……………………………………

17．本題主要考查排列，典型的離散型隨機變量的概率計算和離散型隨機變量分布列及期望等基

礎知識和基本運算能力．

解：（1）4個旅游團選擇互不相同的線路共有：A

5

4=120種方法；…

（2）恰有兩條線路被選中的概率為：P

2

=

24

5

4

(22)

28

5125

C??

?…

（3）設選擇甲線路旅游團數(shù)為ξ，則ξ～B(4,

1

5

)

∴期望Eξ=np=4×

1

5

=

4

5

………………

答:（1）線路共有120種，（2）恰有兩條線路被選中的概率為0.224,（3）所求期望為0.8個團

數(shù).………………………

18．本題主要考查數(shù)列的基礎知識，考查分類討論的數(shù)學思想，考查考生綜合應用所學知識創(chuàng)造

性解決問題的能力．

解：（1）a

1

+2a

2

+22a

3

+…+2n-1a

n

=4n，

∴a

1

+2a

2

+22a

3

+…+2na

n+1

=4n

+1，相減得2na

n+1

=3×4n,∴a

n+1

=3×2n,

又n=1時a

1

=4，∴綜上a

n

=

1

4(1)

32(2)n

n

n?

?

?

?

??

?

為所求；………………………

⑵n≥2時，S

n

=4+3(2n-2),又n=1時S

1

=4也成立，

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__________________________________________________

∴S

n

=3×2n-2………………12分

19．本題主要考查函數(shù)、導數(shù)的基本知識、函數(shù)性質的處理以及不等式的綜合問題，同時考查考

生用函數(shù)放縮的方法證明不等式的能力．

解：⑴由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b=0,∴a=1,∴f(x)=lnx-x為所求；……………

⑵∵x>0,f′(x)=

1

x

-1=

1x

x

?

,

x0

x=1x>1

f′(x)

+0-

f(x)

↗極大值↘

∴f(x)在x=1處取得極大值-1，即所求最大值為-1；……………

⑶由⑵得lnx≤x-1恒成立，

∴l(xiāng)nx+lny=

ln

2

xy

+

lnln

2

xy?

≤

1

2

xy?

+

11

2

xy???

=

3

2

xyxy???

成立………

20．本題考查解析幾何的基本思想和方法，求曲線方程及曲線性質處理的方法要求考生能正確分

析問題，尋找較好的解題方向，同時兼顧考查算理和邏輯推理的能力，要求對代數(shù)式合理演變，

正確分析最值問題．

解：⑴橢圓C的焦點在x軸上，

由橢圓上的點A到F

1

、F

2

兩點的距離之和是4，得2a=4，即a=2.；

又點A(1,

3

2

)在橢圓上，因此

22

3

1

4

1.

2b

??得b2=1，于是c2=3；

所以橢圓C的方程為

2

2

12

1,(3,0),(3,0).

4

x

yFF???焦點

，………

⑵∵P在橢圓內，∴直線DE與橢圓相交，

∴設D(x

1

,y

1

),E(x

2

,y

2

)，代入橢圓C的方程得

x

1

2+4y

1

2-4=0,x

2

2+4y

2

2-4=0,相減得2(x

1

-x

2

)+4×2×

1

4

(y

1

-y

2

)=0,∴斜率為k=-1

∴DE方程為y-1=-1(x-

1

4

),即4x+4y=5;………

(Ⅲ)直線MN不與y軸垂直，∴設MN方程為my=x-1，代入橢圓C的方程得

（m2+4)y2+2my-3=0,設M(x

1

,y

1

),N(x

2

,y

2

),則y

1

+y

2

=-

2

2

4

m

m?

,y

1

y

2

=-

2

3

4m?

,且△>0成立.

又S△OMN

=

1

2

|y

1

-y

2

|=

1

2

×

22

2

412(4)

4

mm

m

??

?

=

2

2

23

4

m

m

?

?

，設t=23m?≥3,則

S△OMN

=

2

1

t

t

?

,(t+

1

t

)′=1-t-2>0對t≥

3

恒成立，∴t=

3

時t+

1

t

取得最小，S△OMN

最大，

此時m=0,∴MN方程為x=1……………