約數的定義

第19講最大公約數

教學目標掌握約數和最大公約數的概念,最大公約數的求法；

會利用最大公約數解決實際問題。

一、約數和倍數的定義

整數A能被整數B整除,A叫做B的倍數,B就叫做A的約數(在自然數的范圍內)。

如：2和6是12的約數,12是2的倍數,12也是6的倍數；

18的約數有1、18、2、9、3、6。

注意：①一個數的約數個數是有限的,一個數的倍數有無數個。

②任何數都有最小的約數1,最大的約數本身,最小的倍數也是本身。

③一個數的倍數的個數是無限的,其中最小的倍數是它本身。3的倍數有：3、6、9、12……其中最小的

倍數是3,沒有最大的倍數。

④因數和約數的區別：約數必須在整除的前提下才存在,而是從乘積的角度來提出的。如果數a與數b相乘

的積是數c,a與b都是c的。

二、質數與合數

(1)只有1和本身兩個約數的數叫做質數(或素數)；

(2)除了1和本身外還有其它約數的數叫做合數；

(3)1既不是質數,也不是合數；

(4)100以內的質數有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、

71、73、79、83、89、97。

(5)每個合數都可以寫成幾個質數相乘的形式。其中每個質數都是這個合數的因數,叫做這個合數的質約

數,例如15=3×5,3和5叫做15的質約數。

(6)把一個合數用質約數相乘的形式表示出來,叫做分解質約數。

知識梳理

學習目標

幾個數公有的約數,叫做這幾個數的公約數。其中最大的一個,叫做這幾個數的最大公約數,例如12的約

數有1、2、3、4、6、12；18的約數有1、2、3、6、9、18。其中,1、2、3、6是12和18的公約數,6是它

們的最大公約數,記作(12,18)=6。

(7)公約數只有1的兩個數,叫做互質數,成互質關系的兩個數,有下列幾種情況：

1和任何自然數互質；

相鄰的兩個自然數互質；

兩個不同的質數互質；

當合數不是質數的倍數時,這個合數和這個質數互質；

如果較小數是較大數的約數,那么較小數就是這兩個數的最大公約數；

如果兩個數是互質數,它們的最大公約數就是1。

考點一：最大公約數的求法

例1、列舉法:求12和18的最大公約數。

例2、短除法：求42和105的最大公約數。

例3、分解質約數法：求48和72的最大公約數。

典例分析

例4、輾轉相除法：求432和225的最大公約數。

考點二：應用最大公約數巧算

例1、一個長方體木塊的長是4分米5厘米、寬3分米6厘米、高2分米4厘米。要把它切成大小相等的正

方體木塊,不許有剩余,求所切正方體木塊的棱長最長是多少厘米？

例2、一條道路由甲村經過乙村到丙村。已知甲、乙村相距360米,乙、丙村相距675米。現在準備在路邊

裁樹,要求相鄰兩棵樹之間距離相等,并在甲、乙兩村和乙、丙兩村的中點都要種上樹,求相鄰兩棵樹之間的距

離最多是多少米？

例3、用96朵紅花和72朵白花做成花束,如果各花束里紅花的朵數相同,白花的朵數也相同,每束花里最少有

幾朵花？

考點三：最大公約數綜合

例1、

18

1

可以寫成哪兩個分數單位的和？

例2、圖中的大長方形分別由面積為12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的

四個小長方形所組成．那么圖中陰影部分的面積為多少平方厘米．

?課堂狙擊

一、填空題

1、18的約數有(),60的約數有(),18和60的公約數有(),最大公約數是()。

2、一個合數的約數至少有()個,例如：()。

3、如果A=2×3×7,B=2×5×7,那么A和B的最大公約數是(),最小公倍數是()。

二、選擇題

4、1、2、4、8是8的()

A、約數B、公約數C、素數

5、12是()的最大公約數。

A、1和12B、12和24C、3和4

6、一個兩位數個位和十位上都是合數,并且它們的最大公約數是1,那么這兩位數可能是()

A、49B、59C、69

三、解答題

實戰演練

7、寫出每組數的最大公約數

7和95和2510和4

27和1811和7715和16

8、有22塊橡皮和33支鉛筆平均分給參加勞動的同學,結果橡皮多1塊,鉛筆少2支,參加勞動

的同學有多少名？

9、幼兒園一個班借閱圖書,如果借35本,平均分發給每個小朋友差1本；如果借56本,平均分發給每個小朋

友后還剩2本；如果借69本,平均分發給每個小朋友則差3本。這個班的小朋友最多有多少人？

?課后反擊

一、判斷題

1、如果a÷b=4(a、b為整數)那么a和b的最大公約數是4。()

2、一個數最小的倍數與它最大的約數相等。()

3、任何一個自然數的約數至少有2個。()

4、1和任何自然數(0除外)都沒有公約數。()

二、解答題

5、五年級三個班分別有24人、36人、42人參加體育活動,要把他們分成人數相等的小組,但各班同學不能

打亂,最多每組多少人？每班各可以分幾組？

6、兩個自然數的積是360,最小公倍數是120,這兩個數各是多少？

7、一個數除200余4,除300余6,除500余10,。求這個數最大是多少？

8、一塊三角形地的三邊分別是18米、18米和21米,要再它的周圍種上樹,要使頂角處都種,相鄰的兩棵樹間

的距離相等。最少要種多少棵樹？相鄰兩棵樹之間距離是多少米？

1、約數和最大公約數的概念,最大公約數的求法；

2、利用最大公約數解決實際問題。

1、在用短除計算多個數時,對其中任意兩個數存在的因數都要算出,其它沒有這個因數的數則原樣落下。直

到剩下每兩個都是互質關系。

2、在用分解質因數的方法求最大公因數時,如果有幾個質因數相同,則比較兩數中哪個數有該質因數的個數

較少,乘較少的次數。

3、求最大公因數的方法可以是集合法,對應法,列表法,分解質因數法,短除法以及輾轉相除法等。

在運用找最大公因數解決問題時,并不是所有的題目都要求直接運用找最大公因數來解決,而是求出最大的

公因數后,還要繼續運用題目的已知條件和問題繼續解答。

(1)短除法

短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數,然后落下兩個數被

公有質因數整除的商,之后再除,以此類推,直到結果互質為止(兩個數互質)。

名師點撥

重點回顧

(2)輾轉相除法

基于下面的性質：(a,b)=(a,ka+b),其中a、b、k都為自然數

就是說,兩個數的最大公約數,將其中一個數加到另一個數上,得到的新數組,其公約數不變,比如

(4,6)=(4+6,6)=(4,6+2×4)=2。這里有一個比較簡單的證明方法來說明這個性質：如果p是a和ka+b的公約數,p

整除a,也能整除ka+b。那么就必定要整除b,所以p又是a和b的公約數,從而證明他們的最大公約數也是相

等的。

(3)分解質因數：首先把兩個數的質因數寫出來,最大公因數等于它們所有相同的質因數的乘積。

?本節課我學到

?我需要努力的地方是

學霸經驗