學年論文格式

標準論文格式

1、題目。應能概括整個論文最重要的內容，言簡意賅，引人注目，一般不宜超過20個字。

論文摘要和關鍵詞。

2、論文摘要應闡述學位論文的主要觀點。說明本論文的目的、研究方法、成果和結論。盡可能保留

原論文的基本信息，突出論文的創(chuàng)造性成果和新見解。而不應是各章節(jié)標題的簡單羅列。摘要以500

字左右為宜。

關鍵詞是能反映論文主旨最關鍵的詞句，一般3-5個。

3、目錄。既是論文的提綱，也是論文組成部分的小標題，應標注相應頁碼。

4、引言（或序言）。內容應包括本研究領域的國內外現狀，本論文所要解決的問題及這項研究工作

在經濟建設、科技進步和社會發(fā)展等方面的理論意義與實用價值。

5、正文。是畢業(yè)論文的主體。

6、結論。論文結論要求明確、精煉、完整，應闡明自己的創(chuàng)造性成果或新見解，以及在本領域的意

義。

7、參考文獻和注釋。按論文中所引用文獻或注釋編號的順序列在論文正文之后，參考文獻之前。圖

表或數據必須注明來源和出處。

（參考文獻是期刊時，書寫格式為：

［編號］、作者、文章題目、期刊名（外文可縮寫）、年份、卷號、期數、頁碼。參考文獻是圖

書時，書寫格式為：

［編號］、作者、書名、出版單位、年份、版次、頁碼。）

8、附錄。包括放在正文內過份冗長的公式推導，以備他人閱讀方便所需的輔助性數學工具、重復性

數據圖表、論文使用的符號意義、單位縮寫、程序全文及有關說明等。

二：本科畢業(yè)論文格式要求：

1、裝訂順序：目錄--內容提要--正文--參考文獻--寫作過程情況表--指導教師評議表參考文獻應

另起一頁。

紙張型號：A4紙。A4210×297毫米論文份數：一式三份。

其他（調查報告、學習心得）：一律要求打印。

2、論文的封面由學校統(tǒng)一提供。（或聽老師的安排）

3、論文格式的字體：各類標題（包括“參考文獻”標題）用粗宋體；作者姓名、指導教師姓名、摘

要、關鍵詞、圖表名、參考文獻內容用楷體；正文、圖表、頁眉、頁腳中的文字用宋體；英文用

TimesNewRoman字體。

4、字體要求：

（1）論文標題2號黑體加粗、居中。

（2）論文副標題小2號字，緊挨正標題下居中，文字前加破折號。

（3）填寫姓名、專業(yè)、學號等項目時用3號楷體。

（4）內容提要3號黑體，居中上下各空一行，內容為小4號楷體。

（5）關鍵詞4號黑體，內容為小4號黑體。

（6）目錄另起頁，3號黑體，內容為小4號仿宋，并列出頁碼。

（7）正文文字另起頁，論文標題用3號黑體，正文文字一般用小4號宋體，每段首起空兩個

格，單倍行距。

8）正文文中標題

一級標題：標題序號為“一、”，4號黑體，獨占行，末尾不加標點符號。二級標題：標題序

號為“（一）”與正文字號相同，獨占行，末尾不加標點符號

9）注釋：4號黑體，內容為5號宋體。

10）附錄：4號黑體，內容為5號宋體。

11）參考文獻：另起頁，4號黑體，內容為5號宋體。

12）頁眉用小五號字體打印“上海復旦大學XX學院2007級XX專業(yè)學年論文”字樣，并左

對齊。

三級標題：標題序號為1.”與正文字號、字體相同。

四級標題：標題序號為1）”與正文字號、字體相同。

五級標題：標題序號為①”與正文字號、字體相同。

5、紙型及頁邊距：A4紙（297mm×210mm）。

6、頁邊距：天頭（上）20mm，地角（下）15mm，訂口（左）25mm，翻口（右）20mm。

7、裝訂要求：先將目錄、內容摘要、正文、參考文獻、寫作過程情況表、指導教師評議表等裝訂

好，然后套裝在學校統(tǒng)一印制的論文封面之內（用膠水粘貼，訂書釘不能露在封面外）。

1.紙張與頁面設置

（1）A4，縱向；

（2）頁邊距：上1.0cm，下2cm，左側2.5cm，右側2cm

2.頁眉

（1）設置：1.4cm

（2）字體：統(tǒng)一使用漢語：小五號宋體。

（3）分割線：3磅雙線；

（4）內容：××學院本科期末論文，居中。

3.頁腳

內容：頁碼，居中。

4.論文基本內容與要求

（1）論文題目：單獨成行，居中，日語：小2號黑體；英語：TimesNewRoman18號；

（2）作者姓名：另起一行，居中，日語：小4號宋體；英語：TimesNewRoman12號；

（3）內容提要：另起一行，日語：4號黑體，內容為小4號黑體，長度要求150字以上；英語：

TimesNewRoman12號，長度要求在100字左右；

（4）關鍵詞：另起一行，日語：4號黑體，3-5個關鍵詞，每個關鍵詞之間用“；”分割，內容為

小4號黑體；英語TimesNewRoman12號；

（5）正文

正文部分的要求如下：①正文部分與“關鍵詞”行間空兩行；②日語正文文字采用小四號宋體；英語

正文文字采用TimesNewRoman12號，標題日語采用四號黑體，英語采用TimesNewRoman14

號，每段首起空兩格，1.25倍行距；③段落間層次要分明，題號使用要規(guī)范。理工類專業(yè)畢業(yè)設

計，可以結合實際情況確定具體的序號與層次要求；④文字要求：文字通順，語言流暢，無錯別字，

無違反政治上的原則問題與言論，要采用計算機打印文稿；⑤圖表要求：所有圖表、線路圖、流程

圖、程序框圖、示意圖等不準用徒手圖，必須按國家規(guī)定的工作要求采用計算機或手工繪圖，圖表中

的文字日語用小五號宋體；英語采用TimesNewRoman10.5號；圖表編號要連續(xù)，如圖1、圖2

等，表1、表2等；圖的編號放在圖的下方，表的編號放在表的上方，表的左右兩邊

不能有邊；⑥字數要

求：

一般不少于1500（按老師要求）；⑦學年論文引用的觀點、數據等要注明

出處，一律采用尾注。

（6）注釋

注釋部分的要求如下：①與正文部分空出兩行；②按照文中的索引編號分別或合并注釋；③“注釋”

采用五號黑體，注釋內容日語采用小五號宋體，英語采用TimesNewRoman9號。

英語注釋具體要求如下：

①在文中要有引用標注，如×××[1]；②如果重復出現同一作者的同一作品時，只注明作者的姓

和引文所在頁碼（姓和頁碼之間加逗號）；格式要求如下：

[1]（空兩格）作者名（名在前，姓在后，后加英文句號），書名（用斜體，后加英文句號），出版

地（后加冒號），出版社或出版商（后加逗號），出版日期（后加逗號），頁碼（后加英文句

號）。

[2]（空兩格）作者名（名在前，姓在后，后加英文句號），文章題目（文章題目用“”引起來）

（空

一格）緊接雜志名（用斜體，后加逗號），卷號（期號），出版年，起止頁碼，英文句號。

（7）參考文獻

參考文獻部分的要求如下：①與注釋部分間空兩行；②應列明期末論文參考的主要文獻資料，“參考

文獻”采用五號黑體，參考文獻內容日語、漢語采用小五號宋體，英語TimesNewRoman10.5

號。參考文獻的著錄，按著錄、題目、出版事項順序排列，其格式為：

期刊類：著者.題名[J].雜志名,年份,（期號）。

書籍類：著者.書名[M].城市名:出版社,年份,頁數。

網絡類：著者.題名[EB/OL].www.***.com.年-月-日。

③英文作者超過3人寫“etal”（斜體）。

英文參考文獻格式要求如下：

[1]（空兩格）作者名（姓在前，名在后，姓與名之間用逗號分開，后加英文句號），書名（用斜體，

后加英文句號），出版地（后加冒號），出版社或出版商（后加逗號），出版日期（后加英文句

號）

[2]（空兩格）作者名（姓在前，名在后，姓與名之間用逗號分開，后加英文句號），文章題目（文

章題目用“”引起來）（空一格）緊接雜志名（用斜體，后加逗號），卷號（期號），出版年，英

文句號。

科學技術報告

是描述一項科學技術研究結果或進展或一項技術研制試驗和評價的結果；是論述某項科學技術問

題的現狀的文件。

科學技術報告中一般應該提供系統(tǒng)的或按工作進程的充分信息，可以包括正反兩方面的結果和經

驗。

學術論文

是某一學術課題在實驗性、理論性或觀測性上具有新的科學研究成果或創(chuàng)新見解和知識的科學記

錄；

是某種已知原理應用于實際中取得新進展的科學總結，用以提供學術會議上宣讀、交流和討論；

是在學術刊物上發(fā)表；

有其他用途的書面文件。

它應提供新的科學技術信息，其內容應有所發(fā)現、有所發(fā)明、有所創(chuàng)造、有所前進，絕對不允許

重復、模仿、抄襲別人的工作。

論文題名是以最恰當、最簡明但能夠反映學術論文中最重要的特定內容的符合語法的詞語組合。

題名中所用的每一詞語必須考慮到有助于選定關鍵詞和編制題錄、索引等二次文獻所可以提供檢索的

特定實用信息。

題名中不能使用不常見的縮寫詞、首字母縮寫字、字符、代號和公式。建議不使用副題名。

論文摘要（以下簡稱"摘要"）

是報告、論文的內容不加注釋和評論的簡短陳述。應具有獨立性和自含性，即不閱讀報告、論文

的全文，就能獲得必要的信息?？梢杂袛祿⒂薪Y論，是一篇完整的短文，可以獨立使用，可以

為其他文獻獨立引用。

內容應包含與報告、論文同等量的主要信息。

一般應說明研究工作的目的、實驗方法、結果和最終結論。

寫作重點是結果和結論。

摘要要素

目的、研究、研制、調查等的前提、目的和任務，以及所涉及的主題范圍。方法、所用的原理、

理論、條件、對象、材料、工藝、結構、手段、裝備、程序等。結果、實驗或研究的結果、數

據、被確定的關系、觀察結果、性能等。

結論、結果的分析、研究、比較、評價和應用，提出的問題，今后的課題，假設，啟發(fā)，建議，

預測等

其他、不屬于研究、研制、調查的主要目的，但就其見識和情報價值而言也是重要的信息

摘要類型

報道型摘要表明一次文獻的主題范圍及內容梗概的簡明摘要。

指示型摘要表明一次文獻的主題范圍的簡明摘要。

報道／指示型摘要是以報道型文摘的形式表述一次文獻中信息價值較高的部分，

文摘的形式表示其余的部分的文摘形式。

摘要特點

報道型摘要方法、結果、結論等3部分必須寫得詳細，目的和其他等2部分寫得簡單。指示型

摘要目的部分必須寫得詳細，而方法、結果、結論、其他等4部分可以寫得簡單。報道／指示型

摘要上述5個部分都必須寫得詳細。字數一般以400字左右為宜。

摘要寫作要求

中文摘要

英文墑要

對于使用漢語言作為學術論文的文字載體的作者，使用報道／指示型文摘是使其從事的科研

工作和科研成果獲得國際承認的最基礎前提！

論文引言

用于簡要說明研究工作的目的、范圍、相關領域的已有工作、知識空白、理論基礎、分析、研究

設想、研究方法、實驗設計、預期結果和研究意義等。

而以指示性

應言簡意賅，不能與摘要雷同，不可成為摘要的注釋。普通教科書中已有的知識，不必在引言中

出現。

論文正文

是學術論文的核心部分，占主要篇幅。表達對象是，調查對象、實驗方法、觀測方法、儀器設

備、材料原料、實驗結果、觀測結果、計算方法、編程原理、數據資料、經過加工整理的圖表、形成

的論點和導出的結論。

由于學科、選題、研究方法、工作進程、結果表達方式的差異，本次交流活動對正文內容不作統(tǒng)

一的規(guī)定。

正文內容必須實事求是，客觀真切，準確完備，合乎邏輯，層次分明，簡練可讀。

論文結論

是最終的、總體的結論。不能與正文各段中的小結相重復。應該準確、完整、明確、精練。如

果未能導出結論，也可以沒有結論而進行必要的討論?？梢栽诮Y論或討論中提出建議、研究設

想、儀器設備改進意見、尚需解決的問題。

論文致謝作為一名研究者，應該尊重為形成學術論文所進行的研究所提供幫助的單位、個人表達，肯

定他們在形成學術論文過程中所起的作用。

由于縱向課題的學術論文在論文題名處已給予標注，因而本致謝中可以不提出。應該對以下方面

致謝：橫向課題合同單位，資助或支持研究的企業(yè)、組織或個人；協助完成研究工作或提供便

利條件的組織或個人；在研究工作中提出建議或提供幫助的人員；給予轉載和引用權的資料、

圖片、文獻、研究思想和設想的所有者；

其他應感謝的組織或個人。

本科學年論文

題目

院別數學與信息科學學院

專業(yè)數學與應用數學

指導教師（姓名居中暫不填

閱教師（姓名居中暫不填）

班級2007級姓名（姓名居中）

學號（學號居中）

目錄

摘要（四號黑體不加粗）

???????????????????????????ⅠAbstract（四

號TimesNewRoman體加

粗）????????????????????Ⅰ1引言

（四號黑體不加粗）

???????????????????????????1

1.1（小四號黑體不加粗）

????????????????????????????1

1.1.1（小四號仿宋體加粗）

??????????????????????????12閉區(qū)間套定理

在R1的推

廣??????????????????????????23閉區(qū)間套定理

在一般度量空間上的推廣??????????????????4

4閉區(qū)間套定理在Rn上的推

廣????????????????????????55閉區(qū)間套定理

的應用舉例?????????????????????????6結束語

參考文獻

致謝??????????????????????????????????

注：①目錄不加頁碼；②中、英文摘要加頁碼，用羅馬數字：Ⅰ，

Ⅱ?；③正文另行加頁碼，用阿拉伯數字：1，2，3，?．）

摘要（四號黑體不加粗）：在介紹了閉區(qū)間套定理的基礎

上，通過綜合應用類比法、分析法、演繹推理法將閉區(qū)間套定理進

行了推廣，得到了嚴格開區(qū)間套定理和嚴格半開半閉區(qū)間套定理以及

一般完備度量空間上的閉集套定理和常用完備度量空間上的閉集套定

理，并給出了這些定理的證明．結合典型例題，分析、討論了閉區(qū)

間套定理及推廣后的閉集套定理的實際應用，說明了閉區(qū)間套定理不

僅具有重要的理論意義，而且還有很好的應用價值．（小四號仿宋體

不加粗,“摘要”字數須300字以上）

關鍵詞（四號黑體不加粗）：閉區(qū)間套定理；嚴格開區(qū)間套

定理；推廣；

應用（小四號仿宋體不加粗，關鍵詞的個數：3—5個）

Abstract（四號TimesNewRoman體加粗）:Thetheoremofnested

clodintervalwaxtendedonthebasisofitsdefinitionwithsynthetic

applicationofanalogyanalysisanddeductivereasoning,andgotariesof

theoremssuchasthetheoremofstrictopennestedinterval,thetheoremof

strictopenandclodnestedintervalandthetheoremofclodnestedton

ordinaryandpopularmetricspace,l

applicationofthetheoremofnestedclodintervalandthetheoremofclod

nestedtafterextensionwasdiscusdbyanalysisofsometypicalexamples

soastodemonstrateitsimportanttheoreticalmeaningandufulapplication.

（小四號TimesNewRoman體不加粗）

Keywords（四號TimesNewRoman體加粗）:theoremof

nestedclodinterval;theoremofstrictopennestedinterval;extension;

application（小四號TimesNewRoman體不加粗，每個關鍵詞開頭字母均

不大寫，結尾處無標點符號）

1引言

（一級標題四號黑體不加粗，段前斷后空0.5行．）1.1小四號黑

體不加粗

（二級標題小四號黑體不加粗，段前斷后不空行．）1.1.1小四號

仿宋體加粗

三級標題小四號仿宋體加粗，段前斷后不空行．）

說明：（1）全文要求：行距：最小值22磅；頁邊距：上2.2cm、

左2.5cm、

右2.3cm、下1.8cm、頁眉1.2cm、頁腳1.5cm；頁眉中，若是論文

就刪去“設計”二字，若是設計就刪去“論文”二字．

（2）各級標題一律頂格，標題末尾不加標點符號．

（3）正文中所引用的文獻應加尾注，以文獻在文中出現的先后順序

依次編號為：[1]，[2]，?，某種文獻中的內容被多次引用時以第一

次出現時的序號為準，即一種文獻只有一個序號，可以重復出現．添

加尾注的格式如下：

愛因斯坦說：提出一個問題往往比解決一個問題更重要[1]．愛因斯

坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”[1]．愛因斯坦

說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要．”[1]

（4）正文中出現的圖象與表格以編號（依出現的先后順序編號）的

方式分別加以命名．

圖象：圖1，圖2，?表格：表一，表二，?

（5）行文要符合文法格式，每段開頭應空兩個漢字的位置．若一行

中只有符號表達式，則可以居中或居中偏左．

（6）正文中所有的標點符號，一律用全角；句號用“．”

閉區(qū)間套定理是實分析中的一個重要定理,它同聚點定、有限覆蓋

定理、確界原理、數列的單調有界定理和Cauchy收斂準則一樣都反映

了實數的完備性，也是學習實變函數、復變函數、點集拓撲學等課

程的基礎．由于它具有較好的構造性，因此閉區(qū)間套定理在證明與實

數相關的命題中有廣泛的應用，如證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數必有最大

值和最小值、閉區(qū)間上的連續(xù)函數必定一致連續(xù)[1]、閉區(qū)間的連續(xù)函

數的介值性定理等．故閉區(qū)間套定理不僅有重要的理論價值，而且

具有很好的應用價值．為了增大閉區(qū)間套定理的應用范圍，從閉區(qū)間

套定理的概念出發(fā)，綜合運用類比分析法、演繹推理法推廣該定理．

首先，將閉區(qū)間套定理在一維空間加以推廣，形成嚴格開區(qū)間套定

理和嚴格半開半閉區(qū)間套定理，增大了區(qū)間套定理的應用范圍．緊

接著結合一般完備度量空間的特性，即正定性、對稱性、三角不等式

性和完備性，把閉區(qū)間套定理在一般完備度量空間上推廣，形成一般

完備度量空間上的閉集套定理，從而把一維空間上的情景推廣到了更

一般化的完備度量空間，使得區(qū)間套定理的應用范圍更為

廣泛，并且給出了常用度量空間Rn上的閉集套定理．最后結合一些實

例分析說明閉區(qū)間套定理的應用，比如證明閉區(qū)間上的連續(xù)函數必有

界、單調有界定理等，通過構造滿足題意的閉區(qū)間列，再應用閉區(qū)

間套定理證明存在滿足題意的點．從實際例題中還可以看出閉區(qū)間套

定理反映了實數的稠密性，所以閉區(qū)間套定理連同其在一般完備度量

空間上推廣后的閉集套定理在證明與實數理論相關命題時發(fā)揮著重要

的作用．

2閉區(qū)間套定理在R1的推廣

康托給分析建立了嚴格的集合論基礎．而在對實數連續(xù)性的描述

中，閉區(qū)間套定理是一個基本的定理．因此，在對該定理推廣前有必

要先回顧一下閉區(qū)間套定理的內容．

定義2.1設an,bn(n1,2,3,)是R中的閉區(qū)間列，如果滿足：

(1)an1,bn1an,bn，n1,2,3,；

(2)lim(bnan)0；則稱an,bn為R中的一個閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間

套．

定理2.1[2](閉區(qū)間套定理)若an,bn是一個閉區(qū)間套，則存在惟一

一點

，使得

an,bn(n1,2,3,)，

推論2.1[3]若an,bn(n1,2,3,)是區(qū)間套an,bn確定的點，則對任

意正數，存在自然數N，當nN時，總有

an,bnU,．

定義2.2設an,bn(n1,2,3,)是R中的開區(qū)間列，如果滿足：

(1)a1a2anbnbn1b1，n1,2,3,；

(2)lnim(bnan)0；n

則稱an,bn為R中的一個嚴格開區(qū)間套．

定理2.2(嚴格開區(qū)間套定理)若an,bn是R中的一個嚴格開區(qū)間

套，

則存在惟一一點，使得

an,bn，n1,2,3,，

且

limanlimbn．nn

證明由定義2.2條件(1)，an是一個嚴格遞增且有上界的數

列．由單調有

界定理，an有極限，不妨設

liman，

n

且

an，n1,2,3,．

同理嚴格遞減有下界的數列bn也有極限．由定義2.2條件(2)應有

limbnliman，nn

且

bn，n1,2,3,．

從而存在an,bn(n1,2,3,)．

最后證明唯一性．假如另有，使得a

n

,b

n，n1,2,3,，那么有

bnan，n1,2,3,．在上述不等式兩邊取極限，有

≤l

n

imbnan0．

即．

故原命題成立．

定義2.3[4][5]設an,bn(n1,2,3,)是R中的半閉半開區(qū)間列，如果滿

足：

(1)a1≤a2≤≤an≤bnbn1b1，n1,2,3,；

(2)lnim(bnan)0；

n

則稱an,bn為R中的一個嚴格半閉半開區(qū)間套．

注：類似可以定義嚴格半開半閉區(qū)間套an,bn．

定理2.3(嚴格半開半閉區(qū)間套定理)如果an,bn是R中的一個嚴格

半

開半閉區(qū)間套，則存在惟一一點，使得

an,bn，n1,2,3,，

且

limanlimbn．

nn

仿定理2.2的證明即可．

2閉區(qū)間套定理在一般度量空間上的推廣

完備度量空間具有正定性、對稱性、三角不等式性和完備性．具體

到序列，指的是該序列除了滿足一般度量空間的要求，還應在該空間

上收斂．這樣閉區(qū)間套定理就可以在一般度量空間上進行推廣．

定義3.1設H是一個非空集合，在H上定義一個雙變量的實值函

數

x,y，對任意的x,y,zH，有：

(1)(正定性)x,y≥0，并且x,y0當且僅當xy成立；

(2)(對稱性)x,yy,x；

(3)(三角不等式)x,y≤x,zz,y；

則稱H為一個度量空間．

定義3.2設F是度量空間H中的一個子集，對于F中的任意點列

xn，若

(xnx0)0n，有x0F，則稱F為閉集

定義3.3[6]設X,是一度量空間．X中的一個序列xiiz，若對任意

的實數0，存在整數N0，使得當i,jN時，有(xi,xj)，則稱xiiz為

一個Cauchy序列．

定義3.4[7]如果對度量空間X,中X的每一個Cauchy序列都收斂，

則稱X,是一個完備度量空間．

定理3.1[7]設Fn是完備度量空間H上的閉集列，如果滿足：

(1)FnFn1(n1,2,3,)；

(2)limd(Fn)0(d(Fn)sup(,))；n

,Fn

則在H中存在唯一一點，使得

Fn，n1,2,3,．

證明任意取Fn中的點列xn，當mn時，有FmFn，所以

xn,xmFn，xn,xm≤d(Fn)0(n)．

即對于任意給定的實數0，存在整數N0，使得當i,jN時，有

(xi,xj)，所以xn是Cauchy序列．又因為Fn是閉集列，故xn收斂于一

點，且有

Fn，n1,2,3,．

現證唯一性．如果另有一點，使得Fn，n1,2,3．則由定義3.1條

件(3)，有

(,)≤,xn(xn,)≤2d(Fn)0(n)，

從而．

故在H中存在唯一一點，使得Fn，n1,2,3,．

3閉區(qū)間套定理在Rn上的推廣

進一步還可以將閉區(qū)間套定理在常用度量空間─實數空間Rn上推

廣．為此，先給出一個有用的概念．

定義4.1對于任意的xx1,x2,,xn，yy1,y2,,ynRn，令

則稱為Rn空間上的距離．

下面驗證對于如上定義的，Rn做成完備的度量空間．

證明對于任意的xx1,x2,,xn，yy1,y2,,yn，zz1,z2,,znRn．

(1)zixi0，并且x,y=0當且僅當xiyi(i1,2,)，即

zixiyixiziyi

(2)

x,yxiyiyixi

2(y,x)．

i1

(3)令uiyixi和viziyi由Schwarz不等式可以得到

n

uivi

i1

2nnnn

2ui

2＋2ui

2vi

2＋vi

2

i1i1i1i1

x,y

所以滿足度量的定義，又Rn是完備的[6]，故Rn是一個完備的度量空

間．

于是根據前面的論述，可以得到實數空間Rn的閉集套定理：定

理4.1設Fn是Rn上的閉集列，如果：

(1)FnFn1，n1,2,3；

(2)lnimd(Fn)0(d(Fn)sup(,))；

則在Rn中存在唯一一點，使得Fn，n1,2,3,．

4閉區(qū)間套定理的應用舉例

閉區(qū)間套定理證明命題的基本思路是分劃區(qū)間構成閉區(qū)間套，從

而找到屬于每一個區(qū)間的公共點．下面就舉幾個例子說明這一思路．

例1證明：閉區(qū)間上連續(xù)函數必有界．

分析這個命題如果從正面入手利用閉區(qū)間套定理證明比較困難，

但是如

果從反面著手，即假設f(x)在a,b上無界，即對任意M0，存在x

0

a,b，有f(x0)M．則等分區(qū)間后至少有一個子區(qū)間上f(x)無界，記為

性質P．繼續(xù)等分那個無界的區(qū)間，可得到如上的性質P．無限次

重復上述步驟可構造一個滿足題意的閉區(qū)間套，由閉區(qū)間套定理可以

推出f(x)M，這與假設矛盾，從而證明原命題成立．

證明我們用反證法.設函數f(x)在a,b上連續(xù)，假設f(x)在閉區(qū)

間a,b上無界．將區(qū)間二等分，即取a,b的中點ab，則a,ab和ab,b中

至少

222有一個區(qū)間使得f(x)在其

上無界．(若兩個都使f(x)無界，則任取其中一個)，記為[a1,b1]，

且

1

b1a1

2(ba)．

再將[a1,b1]等分為兩個區(qū)間，同樣其中至少有一個子區(qū)間上f(x)無

界，記為

[a2,b2]，且

11

[a2,b2][a1,b1]

，

b2a2

2

(b1a1)

2

2(ba)

．

無限次重復上述步驟，便得到一個閉區(qū)間列[an,bn]，其中每一個

區(qū)間[an,bn]

有如下特性：[a,b][a1,b1][an,bn][an1,bn1]，且

1

bnan

2

n(ba)n0(及f(x)在)[an,bn]上無界．由區(qū)間套定理，存在一點

a

n

,b

n(n1,2,3,)，且

limanlimbn．

nn

又f(x)在連續(xù)，則對任意的0，存在0，當x(,)時，

有

f(x)f()，

即

f()f(x)f()．

令Mmaxf(),f()，則

f(x)M．

由推論1，取n充分大可使an,bn,，上述不等式與f(x)在閉

區(qū)間[an,bn]上無界矛盾．故f(x)在閉區(qū)間a,b上有界．

以下內容省略??

結束語

通過對閉區(qū)間套定理的簡單分析探究，掌握了該定理的結構形

式，學習了運用類比的思維方法推廣該定理的過程，分析討論了閉

區(qū)間套定理的實際應用．

首先將閉區(qū)間套定理在R推廣，即在一維空間上將條件an1,bn1

an,bn減弱為an1,bn1an,bn，得到嚴格開區(qū)間套定理．緊接著，聯想到一

般完備度量空間的特性和閉區(qū)間套定理良好的構造性，從而推廣得到

閉集套定理．最后，

應用閉區(qū)間套定理和推廣后的閉集套定理證明了證明連續(xù)函數必有

界、數列的單調有界定理、一個不動點問題以及Rn上的開區(qū)域套定

理．

至于能否將閉區(qū)間套定理推廣到空間以及能否在一般度量空間推廣

聚點定理、有限覆蓋定理，并且運用推廣得到的閉集套定理證明它們

兩個問題未做討論參考文獻

[1]李宗鐸，陳娓．再談閉區(qū)間套定理的推廣及其應用[J]．長沙大學學報，2000，14(4)：4-

5．

[2]華東師范大學數學系編．數學分析[M]．北京：高等教育出版社，1991，第2版．

[3]陳傳璋．數學分析[M]．北京：高等教育出版社，1983，第2版．

[4]毛一波．閉區(qū)間套定理的推廣[J]．渝西學院學報，2005，14(2)：26~27．

[5]朱俊恭．關于閉區(qū)間套定理[J]．遵義師范學院學報．2002，4(1)：72-73．

[6]熊金城．點集拓撲講義[M]．北京：高等教育出版社，2003，第3版．

[7]常進榮，王林．閉區(qū)間套定理的推廣及應用[J]．石家莊職業(yè)技術學院學報，2003，

15(6)：16-17．

[8]錢吉林．數學分析題解精粹[M]．武漢：崇文書局，2003．(注：參考文獻各條目用五號

宋體字，各條目的序號應正文中尾注的序號相一致)

致謝

(注：①“致謝”內容單獨用一個版面；

②在“致謝”中主要敘述自己寫作本文的經歷、感受、收獲

等，表達對指導老師或幫助者的感謝之意．)

注：本模版中紅色字體是說明部分，在具體操作時應將其刪

除．