向量公式

向量公式匯總

平面向量

1、向量的加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的運算律：

交換律：a+b=b+a；

結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的減法

如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0

AB-AC=CB.即“共同起點，指向被減”

a=(x,y)b=(x',y')則a-b=(x-x',y-y').

3、數乘向量

實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

當λ＞0時，λa與a同方向；

當λ＜0時，λa與a反方向；

當λ=0時，λa=0，方向任意。

當a=0時，對于任意實數λ，都有λa=0。

注：按定義知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

實數λ叫做向量a的系數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向

線段伸長或壓縮。

當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）

上伸長為原來的∣λ∣倍；

當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）

上縮短為原來的∣λ∣倍。

數與向量的乘法滿足下面的運算律

結合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb)。

向量對于數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.

數對于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.

數乘向量的消去律：①如果實數λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0

且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的數量積

定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的

夾角，記作〈a,b〉并規定0≤〈a,b〉≤π

定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作ab。若a、b不共線，

則ab=|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共線，則ab=+-∣a∣∣b∣。

向量的數量積的坐標表示：ab=xx'+yy'。

向量的數量積的運算律

ab=ba（交換律）；

(λa)b=λ(ab)(關于數乘法的結合律)；

（a+b)c=ac+bc（分配律）；

向量的數量積的性質

aa=|a|的平方。

a⊥b〈=〉ab=0。

|ab|≤|a||b|。

向量的數量積與實數運算的主要不同點

1、向量的數量積不滿足結合律，即：(ab)c≠a(bc)；例如：(ab)^2≠a^2b^2。

2、向量的數量積不滿足消去律，即：由ab=ac(a≠0)，推不出b=c。

3、|ab|≠|a||b|

4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=-b。

5、向量的向量積

定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b。若a、

b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直

于a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。

向量的向量積性質：

∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。

a×a=0。

a‖b〈=〉a×b=0。

向量的向量積運算律

a×b=-b×a；

（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；

（a+b）×c=a×c+b×c.

注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。

向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；

①當且僅當a、b反向時，左邊取等號；

②當且僅當a、b同向時，右邊取等號。

2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

①當且僅當a、b同向時，左邊取等號；

②當且僅當a、b反向時，右邊取等號。

6.定比分點

定比分點公式（向量P1P=λ向量PP2）

設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實

數λ，使向量P1P=λ向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。

若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分點向量公式）

x=(x1+λx2)/(1+λ),

y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點坐標公式）

我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式

三點共線定理

若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,則A、B、C三點共線

三角形重心判斷式

在△ABC中，若GA+GB+GC=O,則G為△ABC的重心

[編輯本段]向量共線的重要條件

若b≠0，則a空間向量

令a=(a

1

,a

2

,a

3

),),,(

321

bbbb?，則

共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.

a∥)(,,

332211

Rbababab?????????

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

???

如果三個向量

．．．．

cba,,不共面

．．．

：那么對空間任一向量P，存在一個唯一的有序實數組x、y、z，使

czbyaxp???.

推論：設O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的有序實數組x、y、z

使OCzOByOAxOP???(這里隱含x+y+z≠1).

向量垂直0

332211

?????babababa。

空間兩個向量的夾角公式

（a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb）。

空間兩點的距離公式：

2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxd??????

.

利用法向量求點到面的距離：

如圖，設n是平面?的法向量，AB是平面?的一條射線，其中??A

，則點B到平面?的距離

為

||

||

n

nAB?

.

.異面直線間的距離

||

||

CDn

d

n

?

?(

12

,ll是兩異面直線，其公垂向量為n，CD、分別是

12

,ll上任一點，d為

12

,ll間的

距離).

B到平面?的距離

||

||

ABn

d

n

?

?（n為平面?的法向量，AB是經過面?的一條斜線，A??）.

直線AB與平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm

?

?

?(m為平面?的法向量).

利用法向量求二面角的平面角：

cos

||||

mn

arc

mn

?

?

?或cos

||||

mn

arc

mn

?

?

?（m，n為平面?，?的法向量）