建模方法

數學建模簡介及數學建

模常用方法

Documentrialnumber【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】

數學模型是對于

現實世界的一個特定

對象，一個特定目

的，根據特有的內在

規律，做出一些必要

的假設，運用適當的

數學工具，得到一個

數學結構。簡單地

說：就是系統的某種

特征的本質的數學表

達式（或是用數學術

語對部分現實世界的

描述），即用數學式

子（如函數、圖形、

代數方程、微分方

程、積分方程、差分

方程等）來描述（表

述、模擬）所研究的

客觀對象或系統在某

一方面的存在規律。

隨著社會的發

展，生物、醫學、社

會、經濟……各學

科、各行業都涌現現

出大量的實際課題，

亟待人們去研究、去

解決。但是，社會對

數學的需求并不只是

需要數學家和專門從

事數學研究的人才，

而更大量的是需要在

各部門中從事實際工

作的人善于運用數學

知識及數學的思維方

法來解決他們每天面

臨的大量的實際問

題，取得經濟效益和

社會效益。他們不是

為了應用數學知識而

尋找實際問題（就像

在學校里做數學應用

題），而是為了解決

實際問題而需要用到

數學。而且不止是要

用到數學，很可能還

要用到別的學科、領

域的知識，要用到工

作經驗和常

識。特別是在

現代社會，要

真正解決一個

實際問題幾乎

都離不開計算

機?？梢赃@樣

說，在實際工

作中遇到的問

題，完全純粹

的只用現成的數學知

識就能解決的問題幾

乎是沒有的。你所能

遇到的都是數學和其

他東西混雜在一起的

問題，不是“干凈

的”數學，而是

“臟”的數學。其中

的數學奧妙不是明擺

在那里等著你去解

決，而是暗藏在深處

等著你去發現。也就

是說，你要對復雜的

實際問題進行分析，

發現其中的可以用數

學語言來描述的關系

或規律，把這個實際

問題化成一個數學問

題，這就稱為數學模

型。

數學模型具有下

列特征：數學模型的

一個重要特征是高度

的抽象性。通過數學

模型能夠將形象思維

轉化為抽象思維，從

而可以突破實際系統

的約束，運

用已有的數

學研究成果

對研究對象

進行深入的

研究。數學

模型的另一

個特征是經

濟性。用數

學模型研究

不需要過多的專用設

備和工具，可以節省

大量的設備運行和維

護費用，用數學模型

可以大大加快研究工

作的進度，縮短研究

周期，特別是在電子

計算機得到廣泛應用

的今天，這個優越性

就更為突出。但是，

數學模型具有局限

性，在簡化和抽象過

程中必然造成某些失

真。所謂“模型就是

模型”(而不是原

型)，即是該性質。

數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐。即通過抽象、簡化、

假設、引進變量等處理過程后，將實際問題用數學方式表達，建立起數學模

型，然后運用先進的數學方法及計算機技術進行

求解。簡而言之,建立數學模型的這個過程就稱為

數學建模。

模型是客觀實

體有關屬性的模

擬。陳列在櫥窗中的飛機模型

外形應當像真正的飛機，至于

它是否真的能飛則無關緊要；然而參

加航模比賽的飛機模型則全然不同，

如果飛行性能不佳，外形再像飛機，

也不能算是一個好的模型。模型不一

定是對實體的一種仿照，也可以是對

實體的某些基本屬性的抽象，例如，

一張地質圖并不需要用實物來模擬，

它可以用抽象的符號、文字和數字來

反映出該地區的地質結構。數學模型

也是一種模擬，是用數學符號、數學

式子、程序、圖形等對實際課題本質

屬性的抽象而又簡潔的刻畫，它或能

解釋某些客觀現象，或能預測未來的

發展規律，或能為控制某一現象的發

展提供某種意義下的最優策略或較好

策略。數學模型一般并非現實問題的

直接翻版，它的建立常常既需要人們

對現實問題深入細微的觀察和分析，

又需要人們靈活巧妙地利用各種數學

知識。這種應用知識從實際課題中抽

象、提煉出數學模型的過程就稱為數

學建模。實際問題中有許多因素，在

建立數學模型時你不可能、也沒有必

要把它們毫無遺漏地全部加以考慮，

只能考慮其中的最主要的因素，舍棄

其中的次要因素。數學模型建立起來

了，實際問題化成了數學問題，就可

以用數學工具、數學方法去解答這個

實際問題。如果有現成的數學工具當

然好。如果沒有現成的數學工具，就

促使數學家們尋找和發展出新的數學

工具去解決它，這又推動了數學本身

的發展。例如，開普勒由行星運行的

觀測數據總結出開普勒三定律，牛頓

試圖用自己發現的力學定律去解釋

它，但當時已有的數學工具是不夠用

的，這促使了微積分的發明。求解數

學模型，除了用到數學推理以外，通

常還要處理大量數據，進行大量計

算，這在電子計算機發明之前是很難

實現的。因此，很多數學模型，盡管

從數學理論上解決了，但由于計算量

太大而沒法得到有用的結果，還是只

有束之高閣。而電子計算機的出現和

迅速發展，給用數學模型解決實際問

題打開了廣闊的道路。而在現在，要

真正解決一個實際問題，離了計算機

幾乎是不行的。數學模型建立起來

了，也用數學方法或數值方法求出了

解答，是不是就萬事大吉了呢不是。

既然數學模型只能近似地反映實際問

題中的關系和規律，到底反映得好不

好，還需要接受檢驗，如果數學模型

建立得不好，沒有正確地描述所給的

實際問題，數學解答再正確也是沒有

用的。因此，在得出數學解答之后還

要讓所得的結論接受實際的檢驗，看

它是否合理，是否可行，等等。如果

不符合實際，還應設法找出原因，修

改原來的模型，重新求解和檢驗，直

到比較合理可行，才能算是得到了一

個解答，可以先付諸實施。但是，十

全十美的答案是沒有的，已得到的解

答仍有改進的余地，可以根據實際情

況，或者繼續研究和改進；或者暫時

告一段落，待將來有新的情況和要求

后再作改進。

應用數學知識去研究和和解決實

際問題，遇到的第一項工作就是建立

恰當的數學模型。

從這一意義上講，可以說數學建

模是一切科學研究的基礎。沒有一個

較好的數學模型就不可能得到較好的

研究結果，所以，建立一個較好的數

學模型乃是解決實際問題的關鍵之

一。數學建模將各種知識綜合應用于

解決實際問題中，是培養和提高同學

們應用所學知識分析問題、解決問題

的能力的必備手段之一。

建立數學模型的方法并沒有一定的模式，但一個理想的模型應能反映系統

的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性?

建模的一般方法：

數學建模的一般方法

1．機理分析?

機理分析就是根據對現實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機

理的規律，所建立的模型常有明確的物理或現實意義。

（1）比例分析法--建立變量之間函數關系的最基本最常用的方法。

（2）代數方法--求解離散問題（離散的數據、符號、圖形）的主要方法。

（3）邏輯方法--是數學理論研究的重要方法，對社會學和經濟學等領域的實際

問題，在決策，對策等學科中得到廣泛應用。

（4）常微分方程--解決兩個變量之間的變化規律，關鍵是建立"瞬時變化率"

的表達式。

（5）偏微分方程--解決因變量與兩個以上自變量之間的變化規律。

2．測試分析方法?

測試分析方法就是將研究對象視為一個“黑箱”系統，內部機理無法直接尋

求，通過測量系統的輸入輸出數據，并以此為基礎運用統計分析方法，按照事

先確定的準則在某一類模型中選出一個數據擬合得最好的模型。

回歸分析法--用于對函數f（x）的一組觀測值（xi,fi）i=1,2,…,n，確定函

數的表達式，由于處理的是靜態的獨立數據，故稱為數理統計方法。

時序分析法--處理的是動態的相關數據，又稱為過程統計方法。

將這兩種方法結合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結構，用系統測試

方法來確定模型的參數，也是常用的建模方法,在實際過程中用那一種方法建模

主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。

3．仿真和其他方法?

計算機仿真（模擬）--實質上是統計估計方法，等效于抽樣試驗。

離散系統仿真--有一組狀態變量。

連續系統仿真--有解析表達式或系統結構圖。

因子試驗法--在系統上作局部試驗，再根據試驗結果進行不斷分析修改，求得

所需的模型結構。

人工現實法--基于對系統過去行為的了解和對未來希望達到的目標，并考慮到

系統有關因素的可能變化，人為地組成一個系統。

建模的步驟一般分為下列幾步：

1．模型準備。

首先要了解問題的實際背景，明確題目的要求，搜集各種必要的信息。

2．模型假設。

在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，通過對資料的分析計算，找出

起主要作用的因素，經必要的精煉、簡化，提出若干符合客觀實際的假設，使

問題的主要特征凸現出來，忽略問題的次要方面。一般地說，一個實際問題不

經過簡化假設就很難翻譯成數學問題，即使可能，也很難求解。不同的簡化假

設會得到不同的模型。假設作得不合理或過分簡單，會導致模型失敗或部分失

敗，于是應該修改和補充假設；假設作得過分詳細，試圖把復雜對象的各方面

因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續下一步的工作。通常，作假設的

依據，一是出于對問題內在規律的認識。二是來自對數據或現象的分析，也可

以是二者的綜合。作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經濟等

數學建模的一般步驟

方面的知識，又要充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，

果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均勻化，經驗在這

里也常起重要作用。寫出假設時，語言要精確，就象做習題時寫出已知條件那

樣。

3．模型構成。

根據所作的假設以及事物之間的聯系，利用適當的數學工具去刻畫各變量

之間的關系，建立相應的數學結構——即建立數學模型。把問題化為數學問

題。要注意盡量采取簡單的數學工具，因為簡單的數學模型往往更能反映事物

的本質，而且也容易使更多的人掌握和使用。

4．模型求解。

利用已知的數學方法來求解上一步所得到的數學問題，這時往往還要做出

進一步的簡化或假設。在難以得出解析解時，也應當借助計算機求出數值解。

5．模型分析。

對模型解答進行數學上的分析，有時要根據問題的性質分析變量間的依賴

關系或穩定狀況，有時是根據所得結果給出數學上的預報，有時則可能要給出

數學上的最優決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數

據的穩定性或靈敏性分析等。

6．模型檢驗。

分析所得結果的實際意義，與實際情況進行比較，看是否符合實際，如果

結果不夠理想，應該修改、補充假設或重新建模，有些模型需要經過幾次反復,

不斷完善。

7．模型應用。

所建立的模型必須在實際中應用才能產生效益，在應用中不斷改進和完

善。應用的方式自然取決于問題的性質和建模的目的。

1.美國大學生數學建模競賽簡介?

1985年在美國出現了一種叫做

MCM的一年一度的大學生數學模型競

賽（1987年全稱是

MathematicalCompetitionin

Modeling，1988年改全稱為Mathe-

-maticalContestinModeling,其縮寫

均為MCM）。這并不是偶然的，在

1985年以前美國只有一種大學生數學

競賽

（TheWilliamLowellPutnammathemat

icalCompetition,簡稱Putman或普

特南數學競賽），這是由美國數學協

會（MAA--

MathematicalAssociationofAmerica

的縮寫）主持，于每年12月的第一

個星期六分兩試進行，每年一次。在

國際上產生很大影響，現已成為國際

性的大學生的一項著名賽事。該競賽

每年2月或3月進行。

我國自1989年首次參加這

一競賽，歷屆均取得優異成績。經過

數年參加美國賽表明，中國大學生在

數學建模方面是有競爭力和創新聯想

能力的。為使這一賽事更廣泛地展

開，1990年先與“中國工業與應用數

學學會”后與“國家教委”聯合主辦

全國大學生數學建模競賽（簡稱

CMCM），該項賽事每年9月進行。

2.中國大學生數學建模競賽簡介?

全國大學生數學建模競賽（以下

簡稱競賽）是國家教委高教司和中國

工業與應用數學學會共同主辦的面向

全國大學生的群眾性科技活動，目的

在于激勵學生學習數學的積極性，提

高學生建立數學模型和運用計算機技

術解決實際問題的綜合能力，鼓勵廣

大學生踴躍參加課外科技活動，開拓

知識面，培養創造精神及合作意識，

推動大學數學教學體系、教學內容和

方法的改革。競賽題目一般來源于工

程技術和管理科學等方面經過適當簡

化加工的實際問題，不要求參賽者預

先掌握深入的專門知識，只需要學過

普通高校的數學課程。題目有較大的

靈活性供參賽者發揮其創造能力。參

賽者應根據題目要求，完成一篇包括

模型的假設、建立和求解、計算方法

的設計和計算機實現、結果的分析和

檢驗、模型的改進等方面的論文（即

答卷）。競賽評獎以假設的合理性、

建模的創造性、結果的正確性和文字

表述的清晰程度為主要標準。競

賽一般在每年9月末的三天內舉行。

大學生以隊為單位參賽，每隊3人，

專業不限。研究生不得參加。每隊可

設一名指導教師（或教師組），從事

賽前輔導和參賽的組織工作，但在競

賽期間必須回避參賽隊員，不得進行

指導或參與討論，否則按違反紀律處

理。競賽期間參賽隊員可以使用各種

圖書資料、計算機和軟件，在國際互

聯網上瀏覽，但不得與隊外任何人

（包括在網上）討論。工作人員將密

封的賽題按時啟封發給參賽隊員，參

賽隊在規定時間內完成答卷，并準時

交卷。各賽區組委會聘請專家組

成評閱委員會，評選本賽區的一等、

二等獎（也可增設三等獎），獲獎比

例一般不超過三分之一，其余凡完成

合格答卷者獲得成功參賽獎。各賽區

組委會按規定的比例將本賽區的優秀

答卷送全國競賽組委會。全國競賽組

委會聘請專家組成全國評委會，按統

一標準從各賽區送交的優秀答卷中評

選出全國一等、二等獎，獲獎比例為

全國參賽隊數的百分之十左右。全國

與各賽區的一、二等獎均頒發獲獎證

書。競賽成績記入學生檔案，對成績

優秀的參賽學生，各院校在評優秀

生、獎學金及報考（或免試直升）研

究生時應予以適當考慮。

3.競賽過程簡介?

數學模型競賽與通常的數學競賽不同，它來自實際問題或有明確的實際背

景。它的宗旨是培養大學生用數學方法解決實際問題的意識和能力，整個賽事

是完成一篇包括問題的闡述分析，模型的假設和建立，計算結果及討論的論

文。通過訓練和比賽，同學們不僅用數學方法解決實際問題的意識和能力有很

大提高，而且在團結合作發揮集體力量攻關，以及撰寫科技論文等方面將都會

得到十分有益的鍛煉。

.題型:

賽題題型結構形式有三個基本組成部分：

實際問題背景

1.涉及面寬--有社會，經濟，管理，生活，環境，自然現象，工程技術，

現代科學中出現的新問題等。

2.一般都有一個比較確切的現實問題。

若干假設條件?有如下幾種情況：

（1）.只有過程、規則等定性假設，無具體定量數據；

（2）.給出若干實測或統計數據；

（3）.給出若干參數或圖形；

（4）.蘊涵著某些機動、可發揮的補充假設條件，或參賽者可以根據自

己收集或模擬產生數據。

要求回答的問題往往有幾個問題（一般不是唯一答案）:

（1）.比較確定性的答案（基本答案）；

（2）.

更細致或更高層次的討論結果（往往是討論最優方案的提法和結果）。

.競賽答卷:

提交一篇論文，基本內容和格式大致分三大部分：

標題、摘要部分：

（1）．題目--寫出較確切的題目（不能只寫A題、B題）。

（2）．摘要--200-300字，包括模型的主要特點、建模方法和主

要結果。

（3）．內容較多時最好有個目錄。

中心部分：

（1）．問題提出，問題分析。

（2）．模型建立：

①補充假設條件，明確概念，引進參數；②模型形式（可有多個形式

的模型）；

③模型求解；④模型性質；

（3）．計算方法設計和計算機實現。

（4）．結果分析與檢驗。

（5）．討論--模型的優缺點，改進方向，推廣新思想。

（6）．參考文獻--注意格式。

附錄部分：

（1）．計算程序，框圖。

（2）．各種求解演算過程，計算中間結果。

（3）．各種圖形、表格。