三角函數周期

三角函數·函數的周期性

三角函數·函數的周期性

教學目標

1．使學生理解函數周期性的概念，并運用它來判斷一些簡單、常見的三角

函數的周期性．

2．使學生掌握簡單三角函數的周期的求法．

3．培養學生根據定義進行推理的邏輯思維能力，提高學生的判斷能力和論

證能力．

教學重點與難點

函數周期性的概念．

教學過程設計

師：上節課我們學習了利用單位圓中的正弦線作正弦函數的圖象．今天我

們將利用正弦函數圖象，研究三角函數的一個重要性質．請同學們觀察y=sinx，

x∈R的圖象：

（老師把圖畫在黑板左上方．）

師：通過觀察，同學們有什么發現？

生：正弦函數的定義域是全體實數，值域是［-1，1］．圖象有規律地不斷

重復出現．

師：規律是什么？

生：當自變量每隔2π時，函數值都相等．

師：正弦函數的這種性質叫周期性．我們將會發現，不但正弦函數具有這

種性質，其它的三角函數和不少的函數也都具有這樣的性質，因此我們就把它

作為今天研究的課題：函數的周期性．（老師在黑板左上方寫出課題）

師：我們先看函數周期性的定義．（老師板書）

定義對于函數y=f（x），如果存在一個不為零的常數T，使得當x取定

義域內的每一個值時，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數y=f（x）叫做周

期函數，不為零的常數T叫做這個函數的周期．

師：請同學們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點．

生：首先T是非零常數，第二是自變量x取定義域內的每一個值時都有f

（x+T）=f（x）．

師：找得準！那么為什么要這樣規定呢？

師：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函數值當然不變，沒有研究

價值；如果T為變數，就失去了“周期”的意義了．“每一個值”的含義是無

一例外．

師：除這兩條外，定義中還有一個隱含的條件是什么？

生：如果x屬于y=f（x）的定義域，則T+x也應屬于此定義域．

師：對．否則f（x+T）就沒有意義．

師：函數周期性的定義有什么用途？

生：它為我們提供判定函數是否具有周期性的理論依據．

師：下面我們看例題．

（老師板書）

例1證明y=sinx是周期函數．

生：因為由誘導公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一個周

期．故它就是周期函數．

例2

師：要想判斷T是不是函數y=f（x）的周期有什么方法？我們現有的理論

依據只有定義，如何使用定義？

對于定義域內的每一個x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在著）某

一個x，使f（x+T）=f（x）成立．要想證明T不是周期，只要找到一個x0，使

得f（x0+T）≠f（x0）即可．所以乙是正確的．

師：分析得好！同學對概念的學習應該做到真正能弄清每句話的含義，而

不能只停留在字面的意思讀懂了．這樣才可能透徹地理解概念，為進一步的學

習打下牢固的基礎．

例3已知f（x+T）=f（x）（T≠0），求證f（x+2T）=f（x）．

師：此題用文字如何敘述？誰能給予證明？

生：若不等于零的常數T是f（x）的一個周期，證明2T仍是f（x）的周

期．

因為T是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f［（x+T）+T］=f（x+T），

即f（x+2T）=f（x）．

因此2T是f（x）的周期．

師：這個命題推廣可得到什么結論？

生：如果T是f（x）的周期，那么2T，3T，…，nT（n∈Z）也都是f（x）

的周期．

師：這說明如果一個函數是周期函數，所有的周期就構成一個無窮集合．這

無數個周期中，我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期．這是為什

么？

生甲：如果發現一個函數存在最小正周期，就可以確定這個函數的所有周

期．

生乙：更具有實用性．如果找到最小正周期，就可以在其定義域的一個長

度為最小正周期的范圍內對函數進行研究．

師：這位同學思考問題有一定的深刻性．他不但弄清最小正周期的實質，

還進一步想到我們研究函數周期性的目的，那就是要研究一個周期函數在整個

定義域上的性質，只要研究它在一個周期內的性質，然后經過周期延拓即可．如

果能夠確定最小正周期，可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內．這無疑

給我們研究周期函數的性質帶來方便．

（老師在函數的周期性定義下板書）

如果在所有的周期中存在著一個最小正周期，就把它叫做最小正周期．

例4證明f（x）=sinx（x∈R）的最小正周期是2π．

師：例1證明了y=sinx是周期函數，并且找到了一個周期T=2π．例

是2π．要想證明這個命題，只要證明什么？

生：只要證明任何比2π小的正數都不是它的周期．

師：如何證？能否逐一證明比2π小的正數都不行呢？當然不行．因為比2

π小的正數是無限的．那這樣的命題應如何證？

生：反證法．假設存在T∈（0，2π）使得y=sinx對于任意的x∈R都成立．推

出矛盾即可．

師：你能具體的給予證明嗎？

生：假設T是y=sinx，x∈R的最小正周期，且0＜T＜2π，那么根據周期

函數的定義，當x為任意值時都有

sin（x+T）=sinx．

即cosT=1

．

這與T∈（0，2π）時，cosT＜1矛盾．這個矛盾證明了y=sinx，x∈R的

最小正周期是2π．

師：請同學們在課堂練習本上證明y=cosx的最小正周期是2π．

師：通過上面的例題和練習我們得出這樣的結論，正弦函數y=sinx（x∈R）

和余弦函數y=cosx（x∈R）都是周期函數，2πk（k∈Z且k≠0）都是它的周期，

最小正周期是2π．

例5求y=3cosx的周期．

師：以后求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期

生：因為y=cosx的周期是2π，所以y=3cosx的周期也是2π．

師：好．好在他能利用我們總結出的結論，也就是新知識歸結到舊知識上

去．你能再具體的證明嗎？

生：可以從數和形兩個角度來證明．

解（一）因為對一切x∈R，3cos（x+2π）=3cosx，所以y=3cosx的周

期是2π．

解（二）因為y=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點的橫坐標不變，

縱坐標擴大3倍得到的，當自變量x（x∈R）增加到x+2π且必須增加到x+2π

時，函數cosx的值才重復出現，因而函數3cosx的值也才重復出現，因此y=3cosx

的周期是2π．

師：數和形是我們研究數學問題的兩個方面，他都想到了，并且能完整的

敘述清楚，若把此題推廣，能得到什么結論？

生：y=Asinx，y=Acosx（A≠0，是常數）的周期都是2π，也就是說函數周

期的變化與系數A無關．

例6求y=sin2x的周期．

（請不同解法的三位同學在黑板上板演）

生甲：

解因為y=sin（2x＋2π）=sin2x，對于任意x∈R都成立．所以y=sin2x

的周期是2π．

生乙：

解因為y＝sin（2x＋2π）＝sin2（x＋π）＝sin2x，所以y＝sin2x的

周期是π．

生?。?/p>

解設2x＝u，因為y＝sinu的周期是2π，所以

y＝sin（u＋2π）=sinu，

即sin（2x+2π）＝sin2（x+π）＝sin2x，

所以y=sin2x的周期是π．

師：我們一起來分析三個同學的解法．解法一是錯誤的，錯誤在對于周期

函數定義中任意x都有f（x＋T）=f（x）的本質沒弄清楚，要證明y=sin2x是

周期函數，應證明對于任意x∈R，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin

（2x+T）．解法（二），（三）是正確的．區別在于解法（三）經過換元，把

要研究的新問題y＝sin2x的周期轉化為已有的舊知識y＝sinu的周期．這種轉

換的意識、換元的思想是很重要的．

師：其實這個問題也可以從圖象的變換來考慮．我們先看如何由y＝sinx

的圖象得到y＝sin2x的圖象．使y=sinx的圖象上的每點的縱坐標

當自變量每增加2π且必須增加2π時，函數值重復出現，現在就是當

sin2x的周期是π．

師：通過這個例題我們看到，誰對函數的周期有影響？是x的系數．有怎

樣的影響？帶著這個問題同學們做下面的題目．

例7

y＝2sin（u＋2π）=2sinu，

師：通過這個例題，進一步驗證了我們的猜想，函數的周期的變化僅與自

變量x的系數有關．我們把例7寫成一般式．

例8求y=Asin（ωx+）的周期．（其中A，ω，為常數，且A≠0，

ω＞0，x∈R）

解設u＝ωx＋．因為y＝sinu的周期是2π，所以

sin（u＋2π）=sinu，

師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數的周期僅與自變量的系數

（老師板書）

師：以后再求正弦函數或余弦函數的周期，可由上面的結論直接寫出它的

周期．

師：（總結）通過今天的課，同學們應明確以下幾個問題．

（一）研究函數周期的意義是什么？

周期函數是反映現實世界中具有周期現象的數學模型．如果能找到函數的

最小正周期T，那么只要在以T為氏度的區間內．就可以研究函數的圖象與性質，

然后推斷出函數在整個定義域的圖象和性質．這給我們研究函數帶來了方便．

（二）對于函數周期的定義應注意：

1．f（x＋T）=f（x）是反映周期函數本質屬性的條件．對于任意常數T（T

≠0），如果在函數定義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立，

我們就斷言y=f（x）不是周期函數．對于某個確定的常救T≠0．如果在函數定

義域中至少能找到一個x，使f（x＋T）＝f（x）不成立．我們能斷言T不是函

數y=f（x）的周期，但不能說明y＝f（x）不是周期函數．

2．定義中的“每一個值”是關鍵詞．

此函數對于任意確定的常數T≠0，盡管f（x＋T）=f（x）對函數定義域（-

∞，+∞）中幾乎所有x都成立．但僅僅由于x的個別值x=0，x=-T時，等式不

成立．因此函數f（x）不是周期函數．

（三）周期函數的周期與最小正周期的區別與聯系．

1．周期函數的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果

存在必定唯一．周期函數的周期有無數個．

如：f（x）=c（常數），任意非零實數都是它的周期，但由于不存在不等

于零的最小正實數，所以f（x）=c沒有最小正周期．這個例子也同時說明不是

只有三角函數才具有周期性．

2．周期函數的最小正周期一定是這個函數的周期，反之不然．

例如，2π是y=sinx的最小正周期，也是函數的周期；4π是函數的周期，

但不是最小正周期．

作業：課本P178第6題，P132第4題．

課堂教學設計說明

此教學方案是按照“教師為主導，學生為主體，課本為主線．”的原則而

設計的．教師的主導作用在于激發學生的求知欲，為學生創設探索的情境，指

引探索的途徑，引導學生不斷地提出新問題，解決新問題．

函數周期性概念的教學是本節課的重點．概念教學是中學數學教學的一項

重要內容，不能因其易而輕視．也不能因其難而回避．概念教學應面向全體學

生，但由于函數的周期的概念比較抽象，所以學生對它的認識不可能一下子就

十分深刻．因此，進行概念教學時，除了逐字逐句分析，還要通過不同的例題，

讓學生暴露出問題，通過老師的引導，使學生對概念的理解逐步深入．