胡克定律內(nèi)容

胡克定律

摘要：關(guān)于胡克定律的發(fā)展歷史，推導(dǎo)過(guò)程以及歷史地位。

正文：胡克定律（Hooke'slaw），又譯為虎克定律，是力學(xué)彈性理論中的一條基本定律，

表述為：固體材料受力之后，材料中的應(yīng)力與應(yīng)變（單位變形量）之間成線性關(guān)系。滿足胡

克定律的材料稱為線彈性或胡克型（英文Hookean）材料。從物理的角度看，胡克定律源于

多數(shù)固體（或孤立分子）內(nèi)部的原子在無(wú)外載作用下處于穩(wěn)定平衡的狀態(tài)。

胡克證明了彈簧震動(dòng)是等時(shí)的，還把彈簧應(yīng)用于鐘表制造。在物理學(xué)中主要用于研究與

彈簧有關(guān)的問(wèn)題。測(cè)力計(jì)(有時(shí)叫彈簧秤):利用金屬的彈性體制成標(biāo)有刻度用以測(cè)量力的大

小的儀器，謂之“測(cè)力計(jì)”。測(cè)力計(jì)有各種不同的構(gòu)造形式，但它們的主要部分都是彎曲有彈

性的鋼片或螺旋形彈簧。當(dāng)外力使彈性鋼片或彈簧簧發(fā)生形變時(shí)，通過(guò)杠桿等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)帶動(dòng)

指針轉(zhuǎn)動(dòng)，指針停在刻度盤上的位置，即為外力的數(shù)值。有握力計(jì)等種類，而彈簧秤則是測(cè)

力計(jì)的最簡(jiǎn)單的一種。

關(guān)于胡克定律的推導(dǎo)過(guò)程：

許多實(shí)際材料，如一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)、橫截面積A的棱柱形棒，在力學(xué)上都可以用胡克定

律來(lái)模擬——其單位伸長(zhǎng)（或縮減）量ε（應(yīng)變）在常系數(shù)E（稱為彈性模量）下，與拉（或

壓）應(yīng)力σ成正比例，即：

σ=Eε

或

其中ΔL為總伸長(zhǎng)（或縮減）量。胡克定律用17世紀(jì)英國(guó)物理學(xué)家羅伯特·胡克的名字

命名。胡克提出該定律的過(guò)程頗有趣味，他于1676年發(fā)表了一句拉丁語(yǔ)字謎，謎面是：

ceiiinosssttuv。兩年后他公布了謎底是：uttensiosicvis，意思是“力如伸長(zhǎng)（那樣變化）”，

這正是胡克定律的中心內(nèi)容。胡克定律僅適用于特定加載條件下的部分材料。鋼材在多數(shù)工

程應(yīng)用中都可視為線彈性材料，在其彈性范圍內(nèi)（即應(yīng)力低于屈服強(qiáng)度時(shí)）胡克定律都適用。

另外一些材料（如鋁材）則只在彈性范圍內(nèi)的一部分區(qū)域行為符合胡克定律。對(duì)于這些材料

需要定義一個(gè)應(yīng)力線性極限，在應(yīng)力低于該極限時(shí)線性描述帶來(lái)的誤差可以忽略不計(jì)。還有

一些材料在任何情況下都不滿足胡克定律（如橡膠），這種材料稱為“非胡克型”

（non-hookean）材料。橡膠的剛度不僅和應(yīng)力水平相關(guān)，還對(duì)溫度和加載速率十分敏感。

胡克定律在磅秤制造、應(yīng)力分析和材料模擬等方面有廣泛的應(yīng)用。

胡克定律應(yīng)用的一個(gè)常見例子是彈簧。在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力F和彈簧的長(zhǎng)度變

化量x成線性關(guān)系，即：

F=?kx

式中k是彈簧的勁度系數(shù)（或稱為倔強(qiáng)系數(shù)），它由彈簧材料的性質(zhì)和幾何外形所決定，負(fù)

號(hào)表示彈簧所產(chǎn)生的彈力與其伸長(zhǎng)（或壓縮）的方向相反，這種彈力稱為回復(fù)力，表示它有

使系統(tǒng)回復(fù)平衡的趨勢(shì)。滿足上式的彈簧稱為線性彈簧。通過(guò)變形儲(chǔ)存在彈簧中的彈性勢(shì)能

為：

該式可以理解為彈簧在壓縮過(guò)程中逐小段做負(fù)功的極限累加，數(shù)學(xué)上就是作用力對(duì)作用距離

的定積分（注意勢(shì)能恒為正值）。

勢(shì)能函數(shù)在U?x平面內(nèi)是一段拋物線。隨著彈簧沿x方向變形（無(wú)論拉伸還是壓縮），

勢(shì)能相應(yīng)增加。非平衡狀態(tài)時(shí)的勢(shì)能總是高于平衡狀態(tài)（x=0）時(shí)的勢(shì)能。所以彈簧力的

作用總是使系統(tǒng)向勢(shì)能減少的方向運(yùn)動(dòng)，正如在半山上的球在重力的作用下總是要往山下

（重力勢(shì)能小的地方）滾一樣。

如果將一塊質(zhì)量懸掛在這樣一個(gè)彈簧的末端，然后對(duì)它施加一個(gè)軸向擾動(dòng)（可以是敲打

或拉開一段距離突然松手），質(zhì)量和彈簧組成的系統(tǒng)將會(huì)以下列固有角頻率（又稱共振角頻

率）開始振動(dòng)：

若要對(duì)處于三維應(yīng)力狀態(tài)下的材料進(jìn)行描述，需要定義一個(gè)包含81個(gè)彈性常數(shù)的四階

張量cijkl以聯(lián)系二階應(yīng)力張量σij和應(yīng)變張量（又稱格林張量）εkl。

由于應(yīng)力張量、應(yīng)變張量和彈性系數(shù)張量存在對(duì)稱性（應(yīng)力張量的對(duì)稱性就是材料力學(xué)

中的剪應(yīng)力互等定理），81個(gè)彈性常數(shù)中對(duì)于最一般的材料也只有21個(gè)是獨(dú)立的。

由于應(yīng)力的單位量綱（力/面積）與壓強(qiáng)相同，而應(yīng)變是無(wú)量綱的，所以彈性常數(shù)張量cijkl中

每一個(gè)元素（分量）都具有壓強(qiáng)的量綱。

對(duì)于固體材料大變形力學(xué)行為的描述需要用到新胡克型固體模型（neo-Hookeansolids）

和Mooney-Rivlin型固體模型。

各向同性材料（isotropicmaterials，也譯作等向性材料）顧名思義就是（力學(xué)）性能沿

空間中不同方向不發(fā)生變化的材料。顯然描述這種材料的物理方程的形式不應(yīng)隨坐標(biāo)系的旋

轉(zhuǎn)而改變。材料內(nèi)部的應(yīng)變張量也應(yīng)該是對(duì)稱的。由于任何張量的跡都是一個(gè)與所選坐標(biāo)系

無(wú)關(guān)的量，所以可以完備地將一個(gè)對(duì)稱張量分解為一個(gè)常張量（即除主對(duì)角線上的分量以外

均為0的張量）和一個(gè)跡為0的對(duì)稱張量之和。即：

其中δij是一個(gè)二階單位張量（通過(guò)克羅內(nèi)克δ記號(hào)來(lái)定義）。上式右邊第一項(xiàng)是一個(gè)常

張量，稱為應(yīng)變張量的靜水壓分量；右邊第二項(xiàng)是一個(gè)跡為0的對(duì)稱張量，稱為剪應(yīng)變分量。

對(duì)于各向同性材料，胡克定律最普遍的形式是將應(yīng)力張量寫成上述兩個(gè)應(yīng)變張量分量的線性

組合：

式中K稱為體積模量（bulkmodulus），G是材料的剪切模量。利用彈性力學(xué)理論中的

彈性常數(shù)和實(shí)際工程應(yīng)用中使用的彈性模量之間的關(guān)系，以上的關(guān)系還可寫成其他形式，譬

如下面這組方程用應(yīng)力張量來(lái)表示了應(yīng)變張量：

式中Y稱為楊氏模量，ν為泊松比。

正交各向異性材料

正交各向異性材料是非常常見的一種材料模型，這種材料有三個(gè)互相正交的材料對(duì)稱

面；其三維胡克定理可以用矩陣表示為

此式中獨(dú)立的材料常數(shù)為9個(gè)。注意式中三個(gè)剪切應(yīng)力和三個(gè)剪切應(yīng)變的順序，不同

教科書可能會(huì)不同的選擇。

各向同性材料也是正交各向異性材料的一種特例，即有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱平面的情況。這時(shí)獨(dú)

立材料常數(shù)只有2個(gè)，即楊氏模量和泊松比。

雖然現(xiàn)在看來(lái)，胡克定律只是一個(gè)簡(jiǎn)單而基礎(chǔ)的定律，

人類從很早時(shí)就已經(jīng)知道利用物體的彈性性質(zhì)了，比如古代弓箭就是利用物體彈性的例

子。當(dāng)時(shí)人們還是不自覺的運(yùn)用彈性原理，而人們有系統(tǒng)、定量地研究彈性力學(xué)，是從

17世紀(jì)開始的。

彈性力學(xué)的發(fā)展初期主要是通過(guò)實(shí)踐，尤其是通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探索彈性力學(xué)的基本規(guī)

律。英國(guó)的胡克和法國(guó)的馬略特于1680年分別獨(dú)立地提出了彈性體的變形和所受外力

成正比的定律，后被稱為胡克定律。牛頓于1687年確立了力學(xué)三定律。

同時(shí)，數(shù)學(xué)的發(fā)展，使得建立彈性力學(xué)數(shù)學(xué)理論的條件已大體具備，從而推動(dòng)彈性

力學(xué)進(jìn)入第二個(gè)時(shí)期。在這個(gè)階段除實(shí)驗(yàn)外，人們還用最粗糙的、不完備的理論來(lái)處理

一些簡(jiǎn)單構(gòu)件的力學(xué)問(wèn)題。這些理論在后來(lái)都被指出有或多或少的缺點(diǎn)，有些甚至是完

全錯(cuò)誤的。

在17世紀(jì)末第二個(gè)時(shí)期開始時(shí)，人們主要研究梁的理論。到19世紀(jì)20年代法國(guó)

的納維和柯西才基本上建立了彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)理論。柯西在1822～1828年間發(fā)表的一

系列論文中，明確地提出了應(yīng)變、應(yīng)變分量、應(yīng)力和應(yīng)力分量的概念，建立了彈性力學(xué)

的幾何方程、運(yùn)動(dòng)(平衡)方程、各向同性以及各向異性材料的廣義胡克定律，從而奠定

了彈性力學(xué)的理論基礎(chǔ)，打開了彈性力學(xué)向縱深發(fā)展的突破口。

第三個(gè)時(shí)期是線性各向同性彈性力學(xué)大發(fā)展的時(shí)期。這一時(shí)期的主要標(biāo)志是彈性力

學(xué)廣泛應(yīng)用于解決工程問(wèn)題。同時(shí)在理論方面建立了許多重要的定理或原理，并提出了

許多有效的計(jì)算方法。

結(jié)論：雖然現(xiàn)在看來(lái)，胡克定律只是一個(gè)簡(jiǎn)單而基礎(chǔ)的定律，但是，顯然它在彈性力學(xué)

發(fā)展的歷史中依然有著重要的地位。彈性力學(xué)初期的發(fā)展幾乎就是以胡克定律為標(biāo)志的。百

尺高樓平地起，大約可以說(shuō)明胡克定律的作用。

參考文獻(xiàn)

?[1]（馮元楨）,FoundationsofSolidMechanics,Prentice-HallInc.,

EnglewoodCliffs,NewJery,1965

?[2],r,AdvancedStrengthandAppliedElasticity,4thed