數(shù)列公式總結(jié)

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第1頁(yè)

數(shù)列通項(xiàng)公式方法總結(jié):數(shù)列的通項(xiàng)公式

[模版僅供參考，切勿通篇使用]

導(dǎo)語(yǔ)：數(shù)列既是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的

基礎(chǔ)，因此，每年高考對(duì)本章內(nèi)容均作較全面的考查，而且經(jīng)常

是以綜合題、主觀題的形式出現(xiàn)，難度較大，以下是X整理數(shù)列

通項(xiàng)公式方法總結(jié)的資料，歡迎閱讀參考。

不過(guò)一般分小題、有梯度設(shè)問(wèn)，往往是第1小題就是求數(shù)列

的通項(xiàng)公式，難度適中，一般考生可突破，爭(zhēng)取分?jǐn)?shù)，而且是做

第2小題的基礎(chǔ)，因此，求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題方法、技巧，每

一位考生都必須熟練掌握。求數(shù)列通項(xiàng)公式的題型很多，不同的

題型有不同的解決方法。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公

式的解題思路。

一、已知數(shù)列的前幾項(xiàng)

已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求通項(xiàng)公式。通過(guò)觀察找規(guī)律，分析出

數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，從而求出通項(xiàng)公式。這種方法稱為

觀察法，也即是歸納推理。

例1、求數(shù)列的通項(xiàng)公式

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第2頁(yè)

（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……

（2）9，99，999，……

分析：（1）0=12——1/2，每一項(xiàng)的分子是項(xiàng)數(shù)的平方減去

1，分母是項(xiàng)數(shù)加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實(shí)，該數(shù)列

各項(xiàng)可化簡(jiǎn)為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。

（2）各項(xiàng)可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n—

—1。

此題型主要通過(guò)讓學(xué)生觀察、試驗(yàn)、歸納推理等活動(dòng)，且在

此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過(guò)比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，

從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn

已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，求通項(xiàng)公式an，主要通過(guò)an與

Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化，即an-{S1（n＝1）Sn-Sn——1（n≥2）

例2、已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+3，求an

分析：Sn=a1+a2+……+an——1+an

Sn——1＝a1+a2+……+an——1

上兩式相減得Sn-Sn——1=an

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第3頁(yè)

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=5

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——

1

∵n=1不適合上式

∴an={5（n=1）2n——1（n≥2）

三、已知an與Sn關(guān)系

已知數(shù)列的第n項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn間的關(guān)系：Sn=f（an），

求an。一般的思路是先將Sn與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an——1

的關(guān)系，再根據(jù)與的關(guān)系特征分為如下幾種類型。不同的類型，

要用不同的方法解決。

（1）an=an——1+k。數(shù)列屬等差數(shù)列，直接代公式可求通

項(xiàng)公式。

例3、已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。

分析：由已知條件可知數(shù)列是以3為首項(xiàng)，8為公差的等差

數(shù)列，直接代公式可求得an=8n-5。

（2）an=kan——1（k為常數(shù)）。數(shù)列屬等比數(shù)列，直接代

公式可求通項(xiàng)公式。

例4、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第4頁(yè)

求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

分析：根據(jù)an與Sn的關(guān)系，將an+1=2Sn+1轉(zhuǎn)化為an與

an+1的關(guān)系。

解：由an+1=2Sn+1

得an=2Sn-1+1（n≥2）

兩式相減，得an+1-an=2an

∴an+1=3an（n≥2）

∵a2=2Sn+1=3

∴a2=3a1

∴{an}是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列

∴an=3n-1

（3）an+1=an+f（n），用疊加法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

得a2=a1+f（1）

a3=a2+f（2）

a4=a3+f（3）

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第5頁(yè)

……

+）an=an——1+f（n-1）

an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）

例5、若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n

則{an}的通項(xiàng)公式=（）

解：∵an+1=an+2n

∴a2=a1+2×1

a3=a2+2×2

a4=a3+2×3

……

+）an=an——1+2（n-1）

an=a1+2（1+2+3+…+n-1）

=2+2×（1+n-1）（n-1）

=n2-n+2

（4）an+1=f（n）an，用累積法

思路：令n=1，2，3，……，n-1

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第6頁(yè)

得a2=f（1）a1a3=f（2）a2a4=f（3）a3

……

×）an=f（n-1）an-1

an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）

例6、若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（）

解：∵an+1=2nan∴a2=21a1

a3=22a2a4=23a3

……

×）an=2n——1·an——1

an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2

（5）an=pan——1+q，an=pan——1+f（n）

an+1=an+p·qn（pq≠0）。

an=p（an——1）q，an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）

（p、q、r為常數(shù)）

這些類型均可用構(gòu)造法或迭代法。

①an=pan——1+q（p、q為常數(shù)）

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第7頁(yè)

構(gòu)造法：將原數(shù)列的各項(xiàng)均加上一個(gè)常數(shù)，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)

列，然后，求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再還原為所求數(shù)列的通

項(xiàng)公式。

將關(guān)系式兩邊都加上x

得an+x=Pan——1+q+x

=P（an——1+q+x/p）

令x=q+x/p，得x=q/p-1

∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）

∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項(xiàng)，P為公比的等比數(shù)列。

∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1

∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1

迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q

=p2（（pan-3+q）+pq+q……

例7、數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求

an

解析：由Sn=2an-n得Sn-1=2an-1-（n-1）（n≥2,n∈N+）

兩式相減得an=2an-1+1

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第8頁(yè)

兩邊加1得an+1=2（an-1+1）（n≥2，n∈N+）

構(gòu)造成以2為公比的等比數(shù)列{an+1}

②an=Pan-1+f（n）

例8、數(shù)列{an}中，a1為常數(shù)，且an=-2an-1+3n-1（≥2，

n∈N）

證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5

分析：這道題是證明題，最簡(jiǎn)單的方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)歸納法，

現(xiàn)用構(gòu)造法和迭代法來(lái)證明。

方法一：構(gòu)造公比為-2的等比數(shù)列{an+λ·3n}

用比較系數(shù)法可求得λ=-1/5

方法二：構(gòu)造等差型數(shù)列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）

n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處

理。

方法三：迭代法。

an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1

=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1

=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第9頁(yè)

=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1

=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+

（-2）·3n-2+3n-1

=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5

③an+1=λan+p·qn（pq≠0）

（ⅰ）當(dāng)λ=qn+1時(shí)，等式兩邊同除以，就可構(gòu)造出一個(gè)等

差數(shù)列{an/qn}。

例9、在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。

分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得

an+1/2n+1=an/2n+1

∴{an/2n}是以a1/2=2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列。

（ⅱ）當(dāng)λ≠q時(shí)，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，

得bn+1=λ/qbn+p，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。

例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an

分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n。

得an/2n=3/2an-1/2n-1+1/2

令an/2n=bn

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第10頁(yè)

則bn=3/2bn-1+1/2

④an=p（an——1）q（p、q為常數(shù)）

例11、已知an=1/aan——12，首項(xiàng)a1，求an。

方法一：將已知兩邊取對(duì)數(shù)

得lgan=2lgan——1-lga

令bn=lgan

得bn=2bn-1-lga，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。

方法二：迭代法

an=1/aa2n——1=1/a（1/aa2n——2）2=1/a3a4n——2

=1/a3（1/aa2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）

23

=……=a·（a1/a）2n——1

⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r為常數(shù)，pr≠0，q≠r）

將等式兩邊取倒數(shù)，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構(gòu)造成

等比數(shù)列求an。

例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an

解：∵an+1=an/an+2

精選優(yōu)質(zhì)文檔----傾情為你奉上

第11頁(yè)

∴1/an+1=2·1/an+1

兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）

∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

∴1/an+1=2×2n-1=2n

∴an=1/2n-1

以上羅列出求數(shù)列通項(xiàng)公式的解題思路雖然很清晰，但是一

般考生對(duì)第三項(xiàng)中的5種類型題用構(gòu)選法和迭代法都比較困難

的。遇到此情況，可轉(zhuǎn)化為第一種類型解決，即從an與Sn的關(guān)

系式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，用觀察法求an。