十字相乘法例題

1

十字相乘法⑴

拆分常數項，驗證一次項

教學目標：

1、了解十字相乘法的概念，掌握用十字相乘法把二次項系數為1的二次三項式

分解因式；

2、經歷由舊知發現新知的過程，體驗數學研究的方法；

3、培養學生善于思考、勤于聯想的好習慣，增強學生學習數學的熱情與學好數

學的信心。

教學重點、難點：

重點：用十字相乘法將二次三項式分解因式；

難點：十字相乘法分解因式當中的符號問題。

課堂教學過程設計：

引入方式是由分解因式這個學生熟悉的問題入手，而后改變常數

項引出新問題：如何分解因式。這樣的處理抓住了學生的注意力，也

激發了學生探究新問題的欲望。在評課時，有位老師提出了這樣的引入方案。

計算：分解因式：=

=

=

=

一、復習引入

練習：分解因式

①②③

現將第③小題這個多項式中的常數項4改為3，你能將這個新的二次三項式分解

因式嗎？

二、講授新課

1、由公式得到：

2

用這樣的方法試一試分解因式

為了將以上的分解過程呈現的更加清晰，我們可以運用這樣的小工具

分解為2分解為

-1

-2

∴

這種分解因式的方法我們稱為十字相乘法。（指導學生閱讀課本第50頁）

1、例題1.分解因式①②

練習：分解因式①②

例題2.分解因式①②

練習：分解因式①②

※教師總結做法：①如果常數項是正數，那么它分解成兩個同正或同負的因數；如果常數項是負

數，那么它分解成兩個異號的因數。

②檢驗常數項分解成的兩數因數之和是否是一次項系數

2、練習：分解因式

4、反饋練習：分解因式

3

①②③④

（1）（2）

（3）（4）

(1)x2－7x+12；(2)x2－4x－12；(3)x2+8x+12；

(4)x2－11x－12；(5)x2+13x+12；(6)x2－x－12；

三、小結

本節課中你都有哪些收獲？

①學會用十字相乘法將二次三項式分解因式；

②掌握用十字相乘法將二次三項式分解因式的步驟；

③知道用十字相乘法將二次三項式分解因式的關鍵是要注意符號。

四、布置作業

1、練習冊32頁第3題（作業本），第4題（選作）

2、步步高60頁-62頁1-18（書上）

五、拓展練習

請將下列多項式因式分解：

①

②

③

例5、因式分解。

分析：該題可以將（x+2）看作一個整體來進行因式分解。

因為

-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）

解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、因式分解。

分析：該題可以先將（）看作一個整體進行十字相乘法分解，接著再套用一次

十字相乘。

4

因為

-2

+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a

解：原式=[-2][-12]

=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)

從上面幾個例子可以看出十字相乘法對于二次三項式的分解因式十分方便，大家一定

要熟練掌握。但要注意，并不是所有的二次三項式都能進行因式分解，如在實

數范圍內就不能再進一步因式分解了

十字相乘法2

教學目標

1．使學生掌握運用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解；

2．進一步培養學生的觀察力和思維的敏捷性。

教學重點和難點

重點：正確地運用十字相乘法把某些二次項系數不是1的二次三項式因式分解。

難點：靈活運用十字相乘法因分解式。

教學過程設計

一、導入新課

前一節課我們學習了關于x2+（p+q）x+pq這類二次三項式的因式分解，這類式子的

特點是：二次項系數為1，常數項是兩個數之積，一次項系數是常數項的兩個因數之和。

因此，我們得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q).

課前練習：下列各式因式分解

1．-x2+2x+152．（x+y）2-8（x+y）+48；

3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。

答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）；

3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。

我們已經學習了把形如x2+px+q的某些二次三項式因式分解，也學習了通過設輔助元的

方法把能轉化為形如x2+px+q型的某些多項式因式分解。

對于二次項系數不是1的二次三項式如何因式分解呢？這節課就來討論這個問題，即把

某些形如ax2+bx+c的二次三項式因式分解。

5

二、新課

例1把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分

別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數。

分解二次項系數（只取正因數）：

2=1×2=2×1；

分解常數項：

3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。

用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：

11131-11-3

2×32×12×-32×-1

1×3+2×1

1×1+2×31×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3）

=5=7=-5=-7

經過觀察，第四種情況是正確有。這是因為交叉相乘后，兩項代數和恰等于一次項系數

-7。

解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。

一般地，對于二次三項式ax2+bx+c（a≠0），如果二次項系數a可以分解成兩個因數之

積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：

a1c1

a2×c2

a1c2+a2c1

按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數

b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即

ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。

像這種借助開十字交叉線分解系數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常

叫做十字相乘法。

例2把6x2-7x-5分解因式。

分析：按照例1的方法，分解二次項系數6及常數項-5，把它們分別排列，可有8種不

同的排列方法，其中的一種

21

3×-5

2×（-5）+3×1=-7

是正確的，因此原多項式可以用直字相乘法分解因式。

解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）。

指出：通過例1和例2可以看到，運用十字相乘法把一個二次項系數不是1的二次三項

式因式分解，往往要經過多次觀察，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式。

對于二次項系數是1的二次三項式，也可以用十字相乘法分解因式，這時只需考慮如何

把常數項分解因數。例如把x2+2x-15分解因式，十字相乘法是

1-3

1×5

1×5+1×（-3）=2

6

所以x2+2x-15=（x-3）（x+5）。

例3把5x2+6xy-8y2分解因式。

分析：這個多項式可以看作是關于x的二次三項式，把-8y2看作常數項，在分解二次項

及常數項系數時，只需分解5與-8，用十字交叉線分解后，經過觀察，選取合適的一組，即

12

5×-4

1×（-4）+5×2=6

解5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）。

指出：原式分解為兩個關于x，y的一次式。

例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式。

分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式，只有先化簡，進行多項式

的乘法運算，把變形后的多項式再因式分解。

問：兩個乘積的式子有什么特點，用什么方法進行多項式的乘法運算最簡便？

答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變為2（x-y），它是第一個因式的二

倍，然后把（x-y）看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關于（x-y）的二次三

項式，就可以用址字相乘法分解因式了。

解（x-y）（2x-2y-3）-2

=（x-y）［2（x-y）-3］-21-2

=2（x-y）2-3（x-y）-22×+1

=［（x-y）-2］［2（x-y）+1］1×1+2×（-2）

=-3

=（x-y-2）（2x-2y+1）。

指出：把（x-y）看作一個整體進行因式分解，這又是運用了數學中的“整體”思想方

法。

三、課堂練習

1．用十字相乘法因式分解：

（1）2x2-5x-12；（2）3x2-5x-2；（3）6x2-13x+5；

（4）7x2-19x-6；（5）12x2-13x+3；（6）4x2+24x+27。

2．把下列各式因式分解：

（1）6x2-13x+6y2；（2）8x2y2+6xy-35；

（3）18x2-21xy+5y2；（4）2（a+b）2+（a+b）（a-b）-6（a-b）2。

答案：1．（1）（x-4）（2x+3）；（2）（x-2）（3x+1）；

（3）（2x-1）（3x-5）；（4）（x-3）（7x+2）；

（5）（3x-1）（4x-3）；（6）（2x+3）（2x+9）。

2．（1）（2x-3y）（3x-2y）；（2）（2xy+5）（4xy-7）；

（3）（3x-y）（6x-5y）；（4）（3a-b）（5b-a）。

四、小結

1．用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三項式分解因式時，應注意以下問題：

（1）正確的十字相乘必須滿足以下條件：

a1c1

7

在式子中，豎向的兩個數必須滿足關系a1a2=a，c1c2=c；在上式中，斜

a2c2

向的兩個數必須滿足關系a1c2+a2c1=b，分解思路為“看兩端，湊中間。”

（2）由十字相乘的圖中的四個數寫出分解后的兩個一次因式時，圖的上一行兩個數中，

a1是第一個因式中的一次項系數，c1是常數項；在下一行的兩個數中，a2是第二個因式中的

一次項的系數，c2是常數項。

（3）二次項系數a一般都把它看作是正數（如果是負數，則應提出負號，利用恒等變

形把它轉化為正數），只需把經分解在兩個正的因數。

2．形如x2+px+q的某些二次三項式也可以用十字相乘法分解因式。

3．凡是可用代換的方法轉化為二次三項式ax2+bx+c的多項式，有些也可以用十字相

乘法分解因式，如例4。

五、作業

1．用十字相乘法分解因式：

（1）2x2+3x+1；（2）2y2+y-6；（3）6x2-13x+6；（4）3a2-7a-6；

（5）6x2-11xy+3y2；（6）4m2+8mn+3n2；（7）10x2-21xy+2y2；

（8）8m2-22mn+15n2。

2．把下列各式分解因式：

（1）4n2+4n-15；（2）6a2+a-35；（3）5x2-8x-13；

（4）4x2+15x+9；（5）15x2+x-2；（6）6y2+19y+10；

（7）20-9y-20y2；（8）7（x-1）2+4（x-1）（y+2）-20（y+2）2。

答案：

1．（1）（2x+1）（x+1）；（2）（y+2）（2y-3）；

（3）（2x-3）（3x-2）；（4）（a-3）（3a+2）；

（5）（2x-3y）（3x-y）；（6）（2m+n）（2m+3n）；

（7）（x-2y）（10x-y）；（8）（2m-3n）（4m-5n）。

2．（1）（2n-3）（2n+5）；（2）（2a+5）（3a-7）；

（3）（x+1）（5x-13）；（4）（x+3）（4x+3）；

（5）（3x-1）（5x+2）；（6）（2y+5）（3y+2）；

（7）-（4y+5）（5y-4）；（8）（x+2y+3）（7x-10y-27）。

補充練習

5、223xx??（2）2257xx??（3）2321aa??（4）23145bb??

6．分解因式：

（1）x2????__________187???x（2）x2????_____________82???x

（3）x2????___________20???x（4）x2????___________365???x

（5）x2????__________149???x

8

7．填空：

（1）x2????__________2410???x（2）x2????________1213???x

（3）x2????__________242???x（4）x2????__________183???x

8．分解因式：

（1）a2????__________158???a（2）m2????__________1610???m

（3）p2????_________283???p（4）y2????_________124???y

9．把下列各式分解因式：

（1）8624??xx=????862

2

2??xx=????4222??xx

（2）28324??xx（3）18724??xx（4）15824??xx

10．把下列各式分解因式：

（1）????342????baba=????????31????baba=????31????baba

（2）????302????nmnm（3）????4032????yxyx

（4）????2222????yxyx

11．分解因式：

（1）22223yxyx??（2）221811yxyx??（3）22127yxyx??

（4）22152baba??（5）22124nmnm??

12．分解因式：

（1）234283xxx??=??28322??xxx=????742??xxx

（2）2341615ttt??M（3）2234acabcab??4）xyyxyx8623???

（5）222265yxyyx???

（2）2x2????31235?????xxx（3）????35123102?????xxxx