整除特征

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第十一講數的整除特征

[教學重難點]

了解數的整除特征并學會根據數的整除特征來解決相應的問題。

數的整除特征

1.末位系：2,5；4,25；8,125

〔1〕能否被2和5整除是看末一位；

〔2〕能否被4和25整除是看末兩位；

〔3〕能否被8和125整除是看末三位。

2.和系：3,9，99

〔1〕能否被3,9整除是看數字之和是不是3,9的倍數；

〔2〕除以3,9的余數和這個數數字之和除以3,9的余數相同；

〔3〕能否被99整除是把多位數從個位開始兩位一段，看所有的

數段和能否被99整除。

3.差系：7,11,13

〔1〕判斷一個多于4位的整數能否被7,11,13整除：規律是把數

從末三位斷開，用末三位與末三位之前的數做差，看這個差是否

為7,11,13的倍數；

〔2〕能否被11整除：規律是從右開始數奇數位數字之和與偶數

位數字之和的差是否為11的倍數，這個差除以11余幾就代表這

個數除以11余幾。

4.拆分系：

72=8×912=3×41001=7×11×13

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一、特征應用

[例1](★★)

在□里填上適當的數字，使得七位數□7358□□能被9，25和8

整除。

[例2](★★)

兩個四位數A275和275B相乘，要使它們的乘積能被72整除，求

A和B.

[例3](★★★)

設六位數N=x1527y，又N是4的倍數，且被11除余5，那么x+y

等于多少？

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[例4](★★★)

在所有各位數字互不相同的五位數中，能被45整除的數最小是多

少？

[例5]

⑴(★★)(希望杯試題)

六位數20□□08能被99整除，□□是________。

⑵(★★)(迎春杯試題)

已知九位數2007□12□2既是9的倍數，又是11的倍數；那么，

這個九位數是多少？

⑶(★★★)

除以99的余數是多少？

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[例6](★★★)

請從1、2、3、4、5、6、7這7個數字中選出5個組成一個五位數，

使它是99的倍數。這個五位數最大是多少？

二、綜合考察

[例7]

〔1〕(★★★)

已知2ab2ab2ab能被91整除，那么ab是多少？

〔2〕(★★★★)

將三位數3ab連續重復地寫下去，共寫2005個3ab，所得的數

3ab3ab……3ab〔2005個3ab〕正好是91的倍數，那么ab=。

[例8](★★★)

如果六位數1992□□能被105整除，那么它的最后兩位數是多少？

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[拓展](★★★)

有一個六位數，前四位是2857，即2857□□，這六位數能被11和13

整除。求出后兩位數。

自我檢測

1.一個三位數等于它的各位數字之和的42倍，這個三位數是多少？

2.將1996加一個整數，使所得的和能被9與11整除，加的整數

要盡可能小，那么所加整數是多少？

3.一個五位數恰好等于它各位數字之和的2009倍，則這個五位數是

多少？

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4.一個非零自然數是99的倍數，但各位數字之和不是18的倍數，

求這樣的數中最小的是幾？

5.如果一個六位數a2000b能被26整除，所有這樣的六位數是?

6.某個七位數1993□□□能夠同時被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么

它的最后三位數字依次是多少?

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易錯題

一．填空

〔1〕當字母乘以字母的時候，乘號要用一個〔〕表示，舉例：〔〕；

當字母除以字母的時候，除號要用〔〕表示，舉例：〔〕；當數與字

母相乘的時候，〔〕寫在前面，舉例：〔N×2=〕。

〔2〕發車間隔問題分為〔〕和〔〕?！沧⒁鈐i的書寫〕

〔3〕在解方程的時候，要注意格式。要寫〔〕字，而且〔〕要對齊；

解的過程中要移項，移項時要注意把未知項放在一邊，把常數項放

在另一邊。移項時要注意改變符號。如把等號左邊的“+〞變到另

一邊就變成了〔〕。

〔4〕在解方程組的時候，我們會遇到很多去小括號的情況。去小括

號的規則是：當小括號的括號左邊使用“+〞連接，去掉小括號后，

括號里面的式子符號〔〕，舉例：〔〕；當小括號的括號左邊使用“—〞

連接，去掉小括號后，括號里面的式子符號〔〕，舉例：

〔〕。

二.一個長方形的三條邊的長度和為64m，這個長方形的面積最大為

多少？〔提示：最值問題中，長度和一定，差小積大?！?/p>