1
根本初等函數求導公式
(1)
0)(?
?
C
(2)
1)(??
????xx
(3)
xxcos)(sin?
?
(4)
xxsin)(cos??
?
(5)
xx2c)(tan?
?
(6)
xx2csc)(cot??
?
(7)
xxxtanc)(c?
?
(8)
xxxcotcsc)(csc??
?
(9)
aaaxxln)(?
?
(10)
(e)exx?
?
(11)
ax
x
aln
1
)(log?
?
(12)
x
x
1
)(ln?
?
，
(13)
21
1
)(arcsin
x
x
?
?
?
(14)
21
1
)(arccos
x
x
?
??
?
(15)
2
1
(arctan)
1
x
x
?
?
?
(16)
2
1
(arccot)
1
x
x
?
??
?
函數的和、差、積、商的求導法那么
設
)(xuu?
，
)(xvv?
都可導，那么
〔1〕
vuvu
?
?
?
?
?
?)(
〔2〕
uCCu
?
?
?
)(
〔
C
是常數〕
〔3〕
vuvuuv
?
?
?
?
?
)(
〔4〕
2v
vuvu
v
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
反函數求導法那么
假設函數
)(yx??
在某區間
y
I
內可導、單調且
0)(?
?
y?
，那么它的反函數
)(xfy?
在
對應區間x
I
內也可導，且
)(
1
)(
y
xf
??
?
?
或
dy
dx
dx
dy1
?
復合函數求導法那么
2
設
)(ufy?
，而
)(xu??
且
)(uf
及
)(x?
都可導，那么復合函數
)]([xfy??
的導數為
dydydu
dxdudx
?
或
()()yfux????
?
２.雙曲函數與反雙曲函數的導數.
雙曲函數與反雙曲函數都是初等函數，它們的導數都可以用前面的求導公式和求導法那么求
出．
可以推出下表列出的公式：
(sh)chxx
?
?(ch)shxx
?
?
2
1
(th)
ch
x
x
?
?
2
1
(arsh)
1
x
x
?
?
?2
1
(arch)
1
x
x
?
?
?2
1
(arth)
1
x
x
?
?
?
一、一個方程的情形
在第二章第六節中我們已經提出了隱函數的概念，并且指出了不經過顯化直接由方程
),(yxf
=0(1)
求它所確定的隱函數的方法。現在介紹隱函數存在定理，并根據多元復合函數的求導法來導
出隱函數的導數公式.
隱函數存在定理1設函數
),(yxF
在點
),(
00
yxP
的某一鄰域內具有連續的偏導數，
且
0),(
00
?yxF
，,
0),(
00
?yxF
y，那么方程
),(yxF
=0在點
),(
00
yx
的某一鄰域內恒能
唯一確定一個單值連續且具有連續導數的函數
)(xfy?
，它滿足條件
)(
00
xfy?
，并有
y
x
F
F
dx
dy
??
(2)
公式〔2〕就是隱函數的求導公式
這個定理我們不證。現僅就公式(2)作如下推導。
將方程(1)所確定的函數
)(xfy?
代入，得恒等式
3
0))(,(?xfxF
,
其左端可以看作是
x
的一個復合函數，求這個函數的全導數，由于恒等式兩端求導后仍
然恒等，即得
,0?
?
?
?
?
?
dx
dy
y
F
x
F
由于y
F
連續，且
0),(
00
?yxF
y，所以存在(x
0
,y
0
)的一個鄰域，在這個鄰域內
0?
y
F
，于
是得
.
y
x
F
F
dx
dy
??
如果
),(yxF
的二階偏導數也都連續，我們可以把等式(2)的兩端看作
x
的復合函數而再
一次求導，即得
dx
dy
F
F
yF
F
x
dx
yd
y
x
y
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
.
2
3
22
22
y
xyyyxxyyxx
y
x
y
xyyyxy
y
xyzyxx
F
FFFFFFF
F
F
F
FFFF
F
FFFF
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
例1驗證方程
0122???yx
在點(0,1)的某一鄰域內能唯一確定一個單值且有連續導
數、當
x
=0時，
1?y
的隱函數
)(xfy?
，并求這函數的一階和二階導數在
x
=0的值。
解設
?),(yxF
122??yx
，那么
yFxF
yx
2,2??
,
02)1,0(,0)1,0(???
y
FF
.因
此由定理1可知，方程
0122???yx
在點(0,1)的某鄰域內能唯一確定一個單值且有連續導
數、當
x
=0時，
1?y
的隱函數
)(xfy?
。
下面求這函數的一階和二階導數
y
x
F
F
dx
dy
??
=
y
x
?
，
0
0
?
?x
dx
dy
;
2
2
dx
yd
=
,
1
)(
33
22
22yy
xy
y
y
x
xy
y
yxy
??
?
??
??
??
?
?
?
1
0
2
2
??
?x
dx
yd
。
4
隱函數存在定理還可以推廣到多元函數.既然一個二元方程(1)可以確定一個一元隱函
數，那末一個三元方程
F
(
zyx,,
)=0(3)
就有可能確定一個二元隱函數。
與定理1一樣，我們同樣可以由三元函數
F
(
zyx,,
)的性質來斷定由方程
F
(
zyx,,
)=0
所確定的二元函數
z
=
),(yx
的存在，以及這個函數的性質。這就是下面的定理。
隱函數存在定理2設函數
F
(
zyx,,
)在點
),,(
000
zyxP
的某一鄰域內具有連續的偏
導數，且
0),,(
000
?zyxF
，
0),,(
000
?zyxF
z，那么方程
F
(
zyx,,
)=0在點
),,(
000
zyx
的
某一鄰域內恒能唯一確定一個單值連續且具有連續偏導數的函數
),(yxfz?
，它滿足條件
),(
000
yxfz?
，并有
x
z
?
?
=z
x
F
F
?
,
y
z
?
?
=z
y
F
F
?
.(4)
這個定理我們不證.與定理1類似，僅就公式(4)作如下推導.
由于
F
(
yx,
,
f),(yx
)≡0,
將上式兩端分別對
x
和
y
求導，應用復合函數求導法那么得
x
F
+z
F
x
z
?
?
=0,y
F
+z
F
y
z
?
?
=0。
因為z
F
連續，且
0),,(
000
?zyxF
z,所以存在點
),,(
000
zyx
的一個鄰域，在這個鄰域內z
F
≠0，于是得
x
z
?
?
=z
x
F
F
?
,
y
z
?
?
=z
y
F
F
?
。
例2設
04222????zzyx
，求
.
2
2
x
z
?
?
解設
F
(
zyx,,
)=
zzyx4222???
，那么x
F
=2
x
,z
F
=
42?z
.應用公式(4)，得
x
z
?
?
=
z
x
?2
。
再一次
x
對求偏導數，得
2
2
x
z
?
?
2)2(
)2(
z
x
z
xz
?
?
?
??
?
5
.
)2(
)2(
)2(
2
)2(
3
22
2z
xz
z
z
x
xz
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
二、方程組的情形
下面我們將隱函數存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個數。而且
增加方程的個數，例如，考慮方程組
?
?
?
?
?
.0),,,(
,0),,,(
zuyxG
vuyxF
(5)
這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立變化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二
元函數。在這種情形下，我們可以由函數
F
、
G
的性質來斷定由方程組(5)所確定的兩個二
元函數的存在，以及它們的性質。我們有下面的定理。
隱函數存在定理3設函數
),,,(vuyxF
、
),,,(vuyxG
在點
),,,(
00000
vuyxP
的某一鄰
域內具有對各個變量的連續偏導數，又
0),,,(
0000
?vuyxF
，
0),,,(
0000
?vuyxG
,且偏導
數所組成的函數行列式(或稱雅可比(Jacobi)式):
?J
),(
),(
vu
GF
?
?
=
v
G
u
G
v
F
u
F
?
?
?
?
?
?
?
?
在點
),,,(
00000
vuyxP
不等于零，那么方程組
0),,,(?vuyxF
，
0),,,(?vuyxG
在點
),,,(
0000
vuyx
的某一鄰域內恒能唯一確定一組單值連續且具有連續偏導數的函數
),(),,(yxvvyxuu??
，它滿足條件
),(),,(
000000
uxvvyxuu??
，并有
x
u
?
?
??
),(
),(1
vx
GF
J?
?
??
,
vu
vu
vx
vx
GG
FF
GG
FF
x
v
?
?
??
),(
),(1
xu
GF
J?
?
??
,
vu
vu
xu
xu
GG
FF
GG
FF
(6)
6
y
u
?
?
??
),(
),(1
vy
GF
J?
?
??
,
vv
vu
vy
vy
GG
FF
GG
FF
y
v
?
?
??
J
1
),(
),(
yu
GF
?
?
??
.
uy
uy
uv
uv
FF
GG
FF
GG
這個定理我們不證.
例3設
1,0????xvyuyvxu
，求
x
u
?
?
,
y
u
?
?
,
x
v
?
?
和
y
v
?
?
.
解此題可直接利用公式(6)，但也可依照推導公式(6)的方法來求解。下面我們利用后
一種方法來做。
將所給方程的兩邊對
x
求導并移項，得
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
.
,
v
x
v
x
x
u
y
u
x
v
y
x
u
x
在
022???
?
?yx
xy
yx
J
的條件下，
.
,
22
22
yx
xvyu
xy
yx
vy
ux
x
v
yx
yvxu
xy
yx
xv
yu
x
u
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
將所給方程的兩邊對
y
求導，用同樣方法在
022???yxJ
的條件下可得
,
22yx
yuxv
y
u
?
?
?
?
?
.
22yx
yvxu
y
v
?
?
??
?
?
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