解二元一次方程的方法

二元一次方程組解法（一）--代入法（基礎）

【學習目標】

1.理解消元的思想；

2.會用代入法解二元一次方程組.

【要點梳理】

要點一、消元法

1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，那么就把二

元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數，然后再求出

另一個未知數.這種將未知數由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知數由多變少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉化為一元一次方程.

要點二、代入消元法

通過“代入”消去一個未知數，將方程組轉化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元

法，簡稱代入法．

要點詮釋：

(1)代入消元法的關鍵是先把系數較簡單的方程變形為：用含一個未知數的式子表示另一個

未知數的形式，再代入另一個方程中達到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①當方程組中含有一個未知數表示另一個未知數的代數式時，可以直接利用代入法求解；

②若方程組中有未知數的系數為1(或-1)的方程．則選擇系數為1(或-1)的方程進行變形

比較簡便；

③若方程組中所有方程里的未知數的系數都不是1或-1，選系數絕對值較小的方程變形比

較簡便．

【典型例題】

類型一、用代入法解二元一次方程組

1．用代入法解方程組：

5

341

xy

xy

??

?

?

??

?

.

【思路點撥】直接將上面的式子代入下面的式子，化簡整理即可.

【答案與解析】

解：

5

341

xy

xy

??

?

?

??

?

①

②

將①代入②得：3(5)41yy???③

去括號，移項，合并，系數化1得：2y??④

把④代入①得：3x?

∴原方程組的解為：

3

2

x

y

?

?

?

??

?

【總結升華】當方程組中出現一個未知量代替另一個未知量的方程時，一般用直接代入法解

方程組.

舉一反三：

【變式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，則x＝____，y＝____.

【答案】3，﹣2.

2.用代入法解二元一次方程組：

5240

50

xy

xy

???

?

?

???

?

①

②

【思路點撥】觀察兩個方程的系數特點，可以發現方程②中x的系數為1，所以把方程②中

的x用y來表示，再代入①中即可.

【答案與解析】

解：由②得x＝5-y③

將③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，

解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2

所以原方程組的解為

2

3

x

y

?

?

?

?

?

．

【總結升華】代入法是解二元一次方程組的一種重要方法，也是同學們最先學習到的解二元

一次方程組的方法，用代入法解二元一次方程組的步驟可概括為：一“變”、二“消”、三“解”、

四“代”、五“寫”．

舉一反三：

【高清課堂：二元一次方程組的解法369939例3】

【變式1】與方程組

20

20

xy

xy

???

?

?

??

?

有完全相同的解的是（）

A．x+y－2=0

B．x+2y=0

C．(x+y－2)(x+2y)=0

D．22(2)0xyxy?????

【答案】D

【變式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，則x=，y=.

【答案】3,2

類型二、由解確定方程組中的相關量

3.方程組

43

235

xyk

xy

??

?

?

??

?

的解xy與的值相等，則k的值是.

【思路點撥】將xy?代入上式，可得,xy的值，再代入下面的方程可得k值.

【答案】1

【解析】

解：

43

235

xyk

xy

??

?

?

??

?

①

②

將xy?代入②得1xy??，再代入①得1k?.

【總結升華】一般地，先將k看作常數，解關于x，y的二元一次方程組再令x=m或y=m，

得到關于m的方程，解方程即可．

【高清課堂：二元一次方程組的解法369939例8（4）】

舉一反三：

【變式】若方程組

231

(1)(1)4

xy

kxky

??

?

?

????

?

的解x與y相等，求k.

【答案】將xy?代入上式得

1

5

xy??，再代入下式得10k?.

4.若方程組

ax+by=11

(5-a)x-2by+14=0

?

?

?

的解為

1

4

x

y

?

?

?

?

?

，試求ab、的值.

【答案與解析】

解：將

1

4

x

y

?

?

?

?

?

代入得

a+4b=11

(5-a)-2b4+14=0

?

?

?

?

，即

a+4b=11

a+8b=19

?

?

?

，

解得

a=3

b=2

?

?

?

.

【總結升華】將已知解代入原方程組得關于ab、的方程組，再解關于ab、方程組得ab、的

值.

【鞏固練習】

一、選擇題

1．用代入消元法解方程組

32

3211

xy

xy

??

?

?

??

?

①

②

代入消元法正確的是（）.

A．由①②得y＝3x+2，代入②，得3x＝11-2(3x+2)

B．由②得

112

3

y

x

?

?，代入①，得

112

3112

3

y

y

?

??

C．由①得

2

3

y

x

?

?，代入②，得2-y＝11-2y

D．由②得3x＝11-2y，代入①，得11-2y-y＝2

2．用代入法解方程組

342

25

xy

xy

??

?

?

??

?

①

②

使得代入后化簡比較容易的變形是（）.

A．由①得

24

3

y

x

?

?B．由①得

23

4

x

y

?

?C．由②得

5

2

y

x

?

?D．由②得y＝2x-5

3．對于方程3x-2y-1＝0，用含y的代數式表示x，應是（）.

A．

1

(31)

2

yx??B．

31

2

x

y

?

?C．

1

(21)

3

xy??D．

21

3

y

x

?

?

4．已知x+3y＝0，則

32

32

yx

yx

?

?

的值為（）.

A．

1

3

B．

1

3

?C．3D．-3

5.

一副三角板按如圖擺放，∠

1

的度數比∠

2

的度數大

50

°，若設，，則

可得到方程組為

().

A.B.C.D.

6．已知

2

1

x

y

?

?

?

?

?

是二元一次方程組

7

1

axby

axby

??

?

?

??

?

的解．則a-b的值為（）.

A．-1B．1C．2D．3

二、填空題

7．解方程組

523,

61,

xy

xy

??

?

?

??

?

①

②

若用代入法解，最好是對方程________變形，用含_______

的代數式表示________．

8．如果-x+3y＝5，那么7+x-3y＝________．

9．方程組

5

25

xy

xy

??

?

?

??

?

的解滿足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．

10.若方程3x-13y＝12的解也是x-3y＝2的解，則x＝________，y＝_______．

11.小剛解出了方程組

33

2

xy

xy

??

?

?

??

?

▲

的解為

4x

y

?

?

?

?

?

▉

，因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住了

方程組中的一個數和解中的一個數，則▲＝________，▇＝________.

12.三年前父親的年齡是兒子年齡的4倍，三年后父親的年齡是兒子年齡的3倍，則父親現

在的年齡是________歲，兒子現在的年齡是________歲．

三、解答題

13．用代入法解下列方程組：

(1)

522

33

xy

xy

???

?

?

??

?

①

②

(2)

23

3511

xy

xy

??

?

?

??

?

①

②

14．小明在解方程組時，遇到了困難，你能根據他的解題過程，幫他找出原因嗎？并求出原

方程組的解．

解方程組

1237

61

xy

xy

??

?

?

??

?

①

②

解：由②，得y＝1-6x③

將③代入②，得6x+(1-6x)＝1（由于x消元，無法繼續）

15．m為何值時，方程組

52

2312

xym

xym

??

?

?

???

?

的解互為相反數？

【答案與解析】

一、選擇題

1.【答案】D；

2.【答案】D；

3.【答案】D；

【解析】移項，得321xy??，系數化1得

21

3

y

x

?

?.

4.【答案】B；

【解析】由x+3y＝0得3y＝﹣x，代入

3221

3223

yxxx

yxxx

???

???

???

.

5.【答案】D；

6.【答案】A；

【解析】將

2

1

x

y

?

?

?

?

?

代入

7

1

axby

axby

??

?

?

??

?

得

27

21

ab

ab

??

?

?

??

?

，解得

2

3

a

b

?

?

?

?

?

.

二、填空題

7.【答案】②；x，y；

8.【答案】2；

【解析】由-x+3y＝5得x－3y＝﹣5，代入7+x-3y=7+（﹣5）＝2.

9.【答案】-5；

【解析】由

5

25

xy

xy

??

?

?

??

?

解得

0

5

x

y

?

?

?

??

?

，代入x+y-a＝0，得a＝-5.

10．【答案】﹣2.5，﹣1.5；

【解析】聯立方程組

31312

32

xy

xy

??

?

?

??

?

，解得

2.5

1.5

x

y

??

?

?

??

?

.

11.【答案】17，9；

【解析】將4x?代入

33xy??

得

9y?

，即▇＝9，再將4x?，

9y?

代入

2xy??▲

，

得▲＝

17.

12.【答案】51，15；

【解析】設父親現在的年齡是

x

歲，兒子現在的年齡是y．由題意得：

34(3)

33(3)

xy

xy

???

?

?

???

?

，解得

51

15

x

y

?

?

?

?

?

.

三、解答題

13.【解析】

解：(1)由②得x＝3-3y③，將③代入①得，5(3-3y)-2y＝-2，解得y＝1，將y＝1代入③

得x＝0，故

0

1

x

y

?

?

?

?

?

．

(2)由①得y＝3-2x③，將③代入②得，3x-5(3-2x)＝11，解得x＝2，將x＝2代入③得

y＝-1，故

2

1

x

y

?

?

?

??

?

．

14.【解析】

解：無法繼續的原因是變形所得的③應該代入①，不可代入②．

由②，得y＝1-6x③，將③代入①，得12x-3(1-6x)＝7．

解得

1

3

x?，將

1

3

x?代入③，得y＝-1．所以原方程組的解為

1

3

1

x

y

?

?

?

?

?

??

?

．

15.【解析】

解：由題意得x＝-y，把x＝-y代入方程得

52

2312

yym

yym

???

?

?

????

?

，

整理得

3

12

my

ym

??

?

?

??

?

①

②

．把②代入①，得m＝9．

所以m為9時，原方程組的解互為相反數．