余弦定理公式推導

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1.1.2余弦定理(1)

一、教學內容分析

《余弦定理》第一課時。通過利用平面幾何法,坐標法(兩點的距離公式),

向量的模,正弦定理等方法推導余弦定理，正確理解余弦定理的結構特征，初步

體會余弦定理解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問題，理解余弦定理是勾

股定理的特例,從多視角思考問題和發現問題，形成良好的思維品質,激發學生

學習數學的積極性和濃厚的興趣，培養學生思維的廣闊性。

二、學生學習情況分析

本課之前，學生已經學習了兩點間的距離公式,三角函數、向量基本知識和

正弦定理有關內容，對于三角形中的邊角關系有了較進一步的認識。在此基礎

上利用多種方法探求余弦定理，學生已有一定的學習基礎和學習興趣。

三、教學目標

繼續探索三角形的邊長與角度間的具體量化關系、掌握余弦定理的兩種表

現形式，體會多種方法特別是向量方法推導余弦定理的思想；通過例題運用余

弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問題；理解余弦定理是勾股定理

的特例，理解余弦定理的本質。

四、教學重點與難點

教學重點：余弦定理的證明過程特別是向量法與坐標法及定理的應用；

教學難點：用正弦定理推導余弦定理的方法

五、教學過程：

1.知識回顧

正弦定理在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

正弦定理可以解什么類型的三角形問題？

(1)已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角(AAS,ASA)；

(2)已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的一邊和另外兩角(SSA)。

2.提出問題

已知三角形兩邊及其夾角如何求第三邊？

(SAS問題)

在三角形ABC中,已知邊a,b,夾角C,求邊c

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

??

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3.解決問題

通過預習由學生給出自己的證明方法。

學生甲：利用和正弦定理證明相似的方法

法一：平面幾何法（作高法）

學生乙：由于涉及邊長問題，可考慮求兩點的距離。利用坐標法來推導余弦定

理：

法二：坐標法

解:以C為原點,BC為x軸建立直角坐標系

學生丙：由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。利用向量

法推導余弦定理：

法三：向量法

解：

C

B

A

c

a

b

A

222

222

:

sin,cos

cos

,

(sin)(cos)

2cos

AADBCBCD

ADbCCDbC

BDBCCDabC

ABC

cbCabC

cababC

?

???

?????

???

????

解過點作交于點

在直角三角形中由勾股定理得

C

B

A

c

a

b

A

D

C

B(a,0)

A(bcosC,bsinC)

c

a

b

A

y

x

22(cos)(sin0)bCabC????

22222cos2cossincbCabCabC?????

2222coscababC???

c

C

B

A

c

a

b

A

,,CAbCBaABc???令

cab??由三角形法則有

2

2||()ccab???

22

2

222

||2

2cos

cabab

cababC

????

????

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教師：由于我們才學習了正弦定理，那么用正弦定理可以證明余弦定理嗎？

法四：

法五：

法六：

4.歸納概括余弦定理：Abccbacos2222???

Baccabcos2222???作用：SAS問題

Cabbaccos2222???

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦

的積的兩倍。

推論：

5．余弦定理的簡單應用

例1：.在三角形ABC中,已知b=8,c=3,A=60

0

sinsin

ac

AC

? 由得

sinsin(1)cAaC?

sinsin(2)BbC?同理c

()(2)BCAB????利用代入消去角得

coscos(3)cAbaC??

22(1)A利用+(3)消去即得證

222:2coscababC???求證

222:(2sin)(2sin)8sinsincosRARBRABC???證明右邊

()CAB????

224sin()RAB??右邊

2sincRC?利用證明

()CAB????由得

2222224(sincoscossin2sincossincos)cRABABAABB???

2222cos1sin,cos1sinAABB????把代入得

2222coscababC???

222

cos

2

abc

C

ab

??

?

222

cos

2

acb

B

ac

??

?

222

cos

2

bca

A

bc

??

?

作用：SSS（已知三邊求三個夾角）

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（1）求a;

(2)求三角形中最大角的余弦值;

(3)判斷三角形的形狀.(用銳角,鈍角,直角三角形回答)

6．余弦定理與勾股定理的關系：

余弦定理是一般三角形中邊與角的平方關系，引導學生聯想到勾股定理。

余弦定理勾股定理

例2：用>,<,=填空

勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三

角形中三邊平方之間的關系。由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理

是余弦定理的特例

7.課堂小結

c

2

=a

2

+b

2

－2abcosC

222

222

:(1)2cos

83283cos6049

7

abcbcA

a

a

???

???????

??

解由得

222

(2)

499641

22737

bac

acb

ac

??

????

????

??

由得角B最大

cosB=

(3)cos0

90

.

B

B

ABC

?

???

?所以為鈍角三角形

2222coscababC???222cab??

有關系嗎?

22,,ABCCab??(1)在中當為銳角時

?2c

22,,ABCCab??(2)在中當為直角時

22,,ABCCab??(3)在中當為鈍角時

2c

2c

?

?

22222

:

(1)090,cos0

2cos

CC

cababCab

?????

??????

例2.解

當時

22222

(2)90,cos0

2cos

CC

cababCab

???

??????

當時

22222

(3)90180,cos0

2cos

CC

cababCab

?????

??????

當時

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一、余弦定理是任意三角形邊和角之間的規律，勾股定理是它的特殊形式。

二、

余弦定理可解決兩類問題：

（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊（SAS）；

（2）已知三邊，求三個角（SSS）。

12.課后作業

P10習題A組3題,4題