圓心角定義

一、教材分析

（一）教材的地位與作用

本節課是在圓的基本概念和性質以及圓心角概念和性質的基礎上，對圓周角

性質的探索，圓周角性質在圓的有關說理、作圖、計算中有著廣泛的應用，在對圓與

其他平面圖形的研究中起著橋梁和紐帶的作用。

（二）目標分析

1、知識目標：

（1）理解圓周角的概念。

（2）經歷探索圓周角與它所對的弧的關系的過程，了解并證明圓周角定理及其推

論。

⑶有機滲透“由特殊到一般”、“分類”、“化歸”等數學思想方法。

2、能力目標：

引導學生從形象思維向理性思維過渡，有意識地強化學生的推理能力，培養學生

的實踐能力與創新能力，提高數學素養。

2、情感、態度與價值觀的目標：

⑴創設生活情境激發學生對數學的好奇心、求知欲，營造“民主”“和諧”的課堂氛

圍，讓學生在愉快的學習中不斷獲得成功的體驗。

（2）培養學生以嚴謹求實的態度思考數學。

（三）教學重點、難點

教學重在過程，重在研究，而不是重在結論。因此，探索并證明圓周角與它所對

的弧的關系是本課時的重點。

九年級的學生雖然已具備一定的說理能力，但邏輯推理能力仍不強，根據數學的認知

規律，數學思想的學習不可能“一步到位”，應當逐步遞進、螺旋上升。因此，用分

類、化歸思想合情推理驗證“圓周角與它所對的弧的關系”是本課時的難點。（“分

類”、“化歸”也是九年級學生的思維難點）。

二、教法、學法分析

（一）教法分析：

《課標》指出“學生是學習的主人，教師是學習的組織者、引導者和合作者?！?/p>

本課以學生的活動為主線，以突出重點、突破難點、發展學生數學素養為目的，以“探

究式教學法”為主，講授法、發現法、分組交流合作法、啟發式教學法等

多種方法相結合。注重數學與生活的聯系，創設一系列有啟發性、挑戰性的問題情境

激發學生學習的興趣，引導學生用數學的眼光思考問題、發現規律、驗證猜想。注重

學生的個體差異，因材施教、分層教學。注重師生互動、生生互動，讓不同層次的學

生動眼、動腦、動口、動手，參與數學思維活動，充分發揮學生的主體作用。善于運

用多元的評價對學生適時、有度的“激勵”，幫助學生認識自我、建立自信，以“我

要學”的主人翁姿態投入學習，不僅“學會”，而且“會學”、“樂學”。

（二）學法分析：

在具體的問題情境下，引導學生采用動手實踐、自主探究、合作交流的學習方法

進行學習，充分發揮其主體的積極作用，使學生在觀察、實踐、問題轉化等數學活動

中充分體驗探索的快樂，發揮潛能，使知識和能力得到內化，體現“主動獲取，落實

雙基，發展能力”的原則。

（三）課前準備：

教師：直尺、圓規、三角板、若干塊小磁鐵等教學用具和課件。

學生：畫有圓的A4紙若干張、直尺、圓規、量角器等學習用具。

三、教學過程分析

（一）情境導入

設計意圖：讓學生感受到生活之中的數學問題，激發學習興趣。

（二）自我探究

1、圓周角的概念

設計意圖：讓學生能形象地感知圓周角，理解圓周角概念。

2、合作交流，動手操作

設計意圖：學生動手畫圓周角，進一步熟悉圓周角，另一方面，預先探究出圓心與圓

周角的三種位置關系，將難點分散，為后面證明圓周角定理作鋪墊，降低證明難度。

3、實驗探究

設計意圖：學生合作交流，探究并猜想同弧所對的圓周角與圓心角的數量關系，教師

再通過電腦測量來驗證，讓學生進一步明確它們之間的關系。

4、證明定理

設計意圖：教師引導，學生證明出圓周角定理及其推論，驗證其猜想的正確性，激發

學生學習數學的興趣與成就感。

（三）應用鞏固

（四）解決問題：

設計意圖：學以致用，數學來源于生活，服務于生活，運用數學解決問題。

（五）總結拓展

1、本節學習的數學知識是圓周角的定義和圓周角定理及其推論。

2、本節學習的數學思想是分類討論和轉化思想。

設計意圖：自我總結反思自己本節課的收獲，養成良好的學習習慣。

（六）作業鞏固

設計意圖：數學是做”出來的，即要學又要練。運用本節課所學知識進行檢測與反饋，

進一步鞏固、掌握所學新識四、評價分析

本節課根據新《課標》的要求和新課程的理念“數學的學習是學生的主動性、能

動性、獨立性不斷生成、張揚、發展、提升的過程”。通過創設富有挑戰性

的問題情景，營造民主和諧的課堂氛圍，讓學生有充分的從事數學活動的時間和空間，

意在使學生經歷探索，體驗成功，感受數學創造的樂趣；增強學好數學的信心，形成

應用意識、創新意識。

圓周角

范湖鄉初級中學崔淺霞教

學目標

1、理解圓周角的概念，掌握圓周角定理及其推論，并會運用它進行論證和計算。2、

經歷圓周角定理的證明，使學生了解分類證明命題的思想和方法，體會類比、分類的

教學方法。

3、通過學生主動探索圓周角定理及其推論，合作交流的學習過程，學習成長的快樂及

數學的應用價值。

教學重點難點

教學重點：圓周角的概念、圓周角定理及其應用。

教學難點：圓周角定理的分類證明。

教學過程

一、情境導入

足球場上的數學：在足球比賽中，甲帶球向對方球門PQ進攻，當他沖到A點時,同伴

乙已經沖到B點。有兩種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，

由乙射門。問哪一種射門方式進球的可能性大？（提示：僅從射門角

度考慮，射門角度越大越好。）

設計意圖：讓學生感受到生活之中的數學問題，激發學習興趣。

二、自我探究

1、圓周角的概念

觀察圖形：/APB的頂點P從圓心O移動到圓周上（電腦動畫）。

教師指出/APB是圓周角。由圓心角順利遷移到圓周角。

學生對比圓心角的定義，嘗試給出圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相

交的角，叫圓周角。

辨析概念：判別下列各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由。

思考特征：圓周角具有什么特征？

明確結論：①頂點在圓上；②兩邊都和圓相交。

設計意圖：讓學生能形象地感知圓周角，理解圓周角概念。

2、合作交流，動手操作

學生先動手畫圓周角，再相互交流、比較，探究圓心與圓周角的位置關系，并請學

生代表上講臺用投影展示交流成果。教師再利用電腦，動畫展示圓心與圓周角可能具

有的不同的位置關系，并由學生歸納出圓心與圓周角具有三種不同的位置關系：

①圓心在圓周角的一邊上；

②圓心在圓周角的內部；

③圓心在圓周角的外部。

設計意圖：學生動手畫圓周角，進一步熟悉圓周角，另一方面，預先探究出圓心

與圓周角的三種位置關系，將難點分散，為后面證明圓周角定理作鋪墊，降低證明難

度。

3、實驗探究

探究問題同弧所對的圓周角與圓心角有什么關系?

試驗操作

學生利用手中學案，當圓心角分別是銳角（45°）、鈍角（1100）和平角（180°）時，

動手測量出弧BC所對的圓周角/BAC和/BDC的度數，比較它們的大小，然后在優弧

BAC上任意取一點E,測量/BEC的度數，探究同弧所對的圓周角與圓心角的關系。

猜想結論同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

電腦驗證教師改變圓心角/BOC的度數，再通過電腦測量弧AB所對的圓周角/BAC

和/BDC的度數，進一步驗證學生的猜想。

設計意圖：學生合作交流，探究并猜想同弧所對的圓周角與圓心角的數量關系，

教師再通過電腦測量來驗證，讓學生進一步明確它們之間的關系。

4、證明定理

命題分析命題：（電腦顯示）同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

學生說出已知、求證。

問題：圓心與圓周角的三種位置關系中，哪一種位置關系最特殊？此時你能不能證

明/A=/BOC?

三種情況：

第一種情況：圓心在圓周角一邊上；

第二種情況：圓心在圓周角的內部；

第三種情況：圓心在圓周角的外部。

定理證明學生證明第一種情形（圓心在圓周角的一邊上的情形）：作直徑ADo

vOA=OC

?二/A=/C

又./BOC=/A+/C

/BOC=2/A

即/A=/BOC

利用基本圖形（小紅旗）及其對應的基本結論，引導學生證明當圓心在圓周

角內部時的情形：

??/BAD=/BOD,/CAD=/COD

?./BAD+/CAD=ZBOD+/COD

即/BAC=/BOC

情形（3）的證明推導，學生自己完成，教師用電腦展示。

電腦動畫展示：等圓中等弧的問題通過移動、旋轉轉化為同圓中中同弧的問題，

從而得到圓周角定理：

圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓

心角的一半。

進一步，由學生分析出，當圓心角是180。時，圓周角為90。，再通過電腦動畫展示，

當圓心角逐漸變為180°時，對應的圓周角變為90°,從而得到圓周角定理的推論：

圓周角定理推論半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑。

設計意圖：教師引導，學生證明出圓周角定理及其推論，驗證其猜想的正確性，激發

學生學習數學的興趣與成就感。

三、應用鞏固

例1如圖，如果/A=60°,則/BOD=°,/BDC=°

例2如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，四邊形ABCD的對角線把4個內角分成8

個角，這些角中哪些是一定相等的角?

拓展若/1=/2=60°,判斷△BCD的形狀并證明你的結論。

設計意圖：及時鞏固本節課所學的核心知識，并注重知識的延伸，拓寬學生思維的深

度和廣度。

四、解決問題：

解決問題情境中的足球問題：過點P、B、Q三點作圓，建立相應數學模型，學生分析

題意，給出問題的答案：

解法1:連結PD。

.?/B=/PDQ,/PDQ>/A

??./B>/A

」?將球傳給乙，讓乙射門好。

解法2:連結CQ。

.?/B=/PCQ,/PCQ>/A

??./B>/A

」?將球傳給乙，讓乙射門好。

設計意圖：學以致用，數學來源于生活，服務于生活，運用數學解決問題。

五、總結拓展

1、本節學習的數學知識是圓周角的定義和圓周角定理及其推論。

2、本節學習的數學思想是分類討論和轉化思想。

設計意圖：自我總結反思自己本節課的收獲，養成良好的學習習慣。

六、作業鞏固

設計意圖：數學是做”出來的，即要學又要練。運用本節課所學知識進行檢測與反饋，

進一步鞏固、掌握所學新識