極限思想

。

畢業(yè)論文

題目極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展

專業(yè)數(shù)學(xué)教育

院系數(shù)學(xué)系

學(xué)號5

(

姓名

指導(dǎo)教師

二○一三年五月

定西師范高等專科學(xué)校

2010級數(shù)學(xué)系系畢業(yè)論文開題報(bào)告

^

專業(yè)班級：數(shù)學(xué)教育姓名：指導(dǎo)教師：

一.論文題目：極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展

二.選題依據(jù)：

隨著社會的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)并不是自我封閉的學(xué)科，它與其他學(xué)科有著

千絲萬縷的聯(lián)系。數(shù)學(xué)不僅是一種方法，一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要

的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系。在探求極限起源與發(fā)展的過程中，我發(fā)

現(xiàn)數(shù)學(xué)確實(shí)是一個美麗的世界，享受數(shù)學(xué)是一個美妙的過程。

三.相關(guān)理論研究綜述：

本文綜述了極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展歷史。極限思想的產(chǎn)生與完善是社會

實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動力，成為了近代數(shù)學(xué)思想

和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。

四.研究方法：查閱教材、圖書館查相關(guān)資料書。

五.論文結(jié)構(gòu):

-

1摘要2關(guān)鍵詞3引言4內(nèi)容

5小結(jié)6參考文獻(xiàn)

六.撰寫計(jì)劃：

2013年1月10日選題

2013年1月15日搜索材料

2013年3月5日開始撰寫

2013年4月2日修改完稿

目錄

】

內(nèi)容摘要：.......................................................…..4

關(guān)鍵

詞：…......………………….…………………………………………………….…4

引

言：…………………………………………………………………………………....5

一、極限思想的產(chǎn)生……………………………………………………………………6

二、極限思想發(fā)展的分期...............................................6

（一）極限思想的萌芽時期.........................................6

（二）極限思想的發(fā)展時期.........................................8

（三）極限思想的完善時期.........................................8

三、極限思想與微積分.................................................9

（一）微積分的孕育..............................................10

（二）牛頓與微積

分……………………………………………………………..11

（三）萊布尼茨與微積分..........................................12

（四）微積分的進(jìn)一步發(fā)展..............................................13

結(jié)束

語……………………………………………………………………………………………....14

參考文

獻(xiàn)………………………………………………………………………………………..….15

致謝…………………………………………………………………………………………………15

|

【

內(nèi)容摘要本文綜述了極限思想的產(chǎn)生和發(fā)展歷史。極限思想的產(chǎn)生與完善

是社會實(shí)踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動力，成為了近代數(shù)學(xué)思

想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)。

關(guān)鍵詞極限；無窮；微積分

;

·

:

引言

極限思想作為一種哲學(xué)和數(shù)學(xué)思想，由遠(yuǎn)古的思想萌芽，到現(xiàn)在完整的極限

理論，其漫長曲折的演變歷程布滿了眾多哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家們的勤奮、智慧、嚴(yán)謹(jǐn)

認(rèn)真、孜孜以求的奮斗足跡。極限思想的演變歷程，是數(shù)千年來人類認(rèn)識世界和

改造世界的整個過程的一個側(cè)面反應(yīng)，是人類追求真理、追求理想，始終不渝地

求實(shí)、創(chuàng)新的生動寫照。

?

在數(shù)學(xué)的發(fā)展中，數(shù)學(xué)問題的來源和發(fā)展表現(xiàn)為多種多樣的途徑和極其復(fù)雜

的情況。縱觀極限思想的發(fā)展，首先哲學(xué)為其提供了直覺上的發(fā)展方向，數(shù)學(xué)家

們依據(jù)這種直覺或直觀進(jìn)行應(yīng)用和探索；其后悖論一次次地出現(xiàn)，又促使數(shù)學(xué)家

們一次一次地進(jìn)行探究求證，使這一思想不斷得以發(fā)展和完善。而數(shù)學(xué)的求證又

給予了哲學(xué)以實(shí)在的支持，為哲學(xué)更好地描述和論證世界提供了強(qiáng)有力的工具。

從最初時期樸素、直觀的極限觀，經(jīng)過了2000多年的發(fā)展，演變成為近代嚴(yán)格的

極限理論，這其中的思想演變是漸進(jìn)的、螺旋式發(fā)展的、相互推動的。

極限理論是微積分學(xué)的基礎(chǔ)，極限方法為人類認(rèn)識無限提供了強(qiáng)有力的工具，

它從方法論上突出地表現(xiàn)了微積分學(xué)不同于初等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一

種重要思想。極限思想蘊(yùn)含著豐富的辯證法思想，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的極好應(yīng)用。理清極限思想的發(fā)展脈絡(luò)，揭示極限思想的核心內(nèi)容

及其與哲學(xué)思想的內(nèi)在聯(lián)系，對于理解數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)哲學(xué)史上的一些問題將具有

一定的理論意義。對于培養(yǎng)人的思維方法、思維品質(zhì)，提高其分析問題和解決問

題的能力都有極好的促進(jìn)作用。

一、極限思想的產(chǎn)生

限思想的產(chǎn)生和其他科學(xué)思想一樣，是經(jīng)過歷代古人的思考與實(shí)踐一步一步

漸漸積累起來的，因此它也是社會實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉

徽的割圓術(shù)是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘認(rèn)的窮竭

法也蘊(yùn)含了極限思想，但希臘人對“無限的恐懼”，他們避免明顯的“取極限”，

而是借助于間接證法——?dú)w謬法來完成有關(guān)的證明。

到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過程中改進(jìn)了古希臘

人的歸謬法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的

證明。如此，他就在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實(shí)用概念的方向”。

數(shù)學(xué)家拉夫綸捷夫曾說：“數(shù)學(xué)極限法的創(chuàng)造是對那些不能夠用算術(shù)，代數(shù)和初等

幾何的簡單方法來解決的問題進(jìn)行了許多世紀(jì)的頑強(qiáng)探索的結(jié)果”。兩千多年前可

以稱作是極限思想的萌芽階段。其突出特點(diǎn)為人們已經(jīng)開始意識到極限的存在，

并且會運(yùn)用極限思想解決一些實(shí)際問題，但是還不能夠系統(tǒng)而清晰的利用極限思

想解釋現(xiàn)實(shí)問題。極限思想的萌芽階段以希臘的芝諾、中國古代的惠施、劉徽、

祖沖之等為代表。

我國春秋戰(zhàn)國時期的哲學(xué)名著《莊子》記載著惠施的一句名言：“一尺之錘，

日取其半，萬世不竭。”也就是說，從一尺長的竿，每天截取前一天剩下的一半，

隨著時間的流逝竿會越來越短，長度越來越趨于零，但又有緣不會等于零。這更

是從直觀上體現(xiàn)了極限思想。我國古代的劉徽和祖沖之計(jì)算圓周率時所采用的“割

圓術(shù)”則是極限思想的一種基本應(yīng)用。所謂“割圓術(shù)”，就是用半徑為R的圓的內(nèi)

接正多邊形的面積S就越來越接近于圓的面積πR。在有限次的過程中，用正多邊

形的面積來逼近圓的面積，只能到達(dá)近似的程度。但可以想象，如果把這個過程

無限次的繼續(xù)下去，就能得到精確的圓面積。

二、極限思想發(fā)展的分期

（一）極限思想的萌芽時期

,

遠(yuǎn)在2000多年以前，人們在對無窮的萌芽認(rèn)識中，極限的思想和方法就不可

回避的孕育在其中了。在我國，著名的《莊子·天下篇》一書中記有：“一尺之錘，

日取其半，萬世不竭。”墨家著作《墨子·經(jīng)天下》中也有“非半弗，則不動，說

在端。”的論述。從中可體現(xiàn)出我國早期對物質(zhì)的無限可分性與連續(xù)性已有了相當(dāng)

深刻的認(rèn)識，雖然這些認(rèn)識屬于哲學(xué)，但已反映出極限思想的萌芽。將無窮思想

創(chuàng)造性地運(yùn)用到數(shù)學(xué)中的是我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽。劉徽在注釋《九章算術(shù)》

中多次用到極限思想處理問題，運(yùn)用的比較熟練，說明當(dāng)時他已經(jīng)對極限思想有

了相當(dāng)深刻的認(rèn)識。對極限的觀念和方法已經(jīng)有了直觀基礎(chǔ)上的運(yùn)用。正是以“割

圓術(shù)”為理論基礎(chǔ)，劉徽得出徽率。到公元五世紀(jì)，南北朝時期的大數(shù)學(xué)家、科

學(xué)家祖沖之（429—500年）的《綴術(shù)》中，同樣運(yùn)用“割圓術(shù)”推算出24576邊

形得到：<π<。祖沖之這一成果領(lǐng)先世界近千年。

在國外，古希臘的巧辯學(xué)派—幾何三大問題。安提芬在研究畫圓為方的問題

時想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接正多邊形來接近圓面積，當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷加倍

時內(nèi)接正多邊形與圓周之間存在的空隙就被逐漸“窮竭”,而布萊森（約公元前450

年）則從相反的方向，提出通過圓的外切正多邊形的面積來逼近圓的面積的思想。

公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯創(chuàng)立了較嚴(yán)格的確定面積和體積的一般方

法—“窮竭法”，這種方法假定量的無限可分性，并且以及下面命題為基礎(chǔ)：“如

果從任何量中減去一個不小于它的一半部的部分，從剩余部分中再減去不小于它

的一半的另一部分，繼續(xù)下去，則最后將留下一個小于任何給定的同類量的量”。

應(yīng)用窮竭法，歐多克斯(約公元前400—前347年）正確地證明了“圓面積與直徑

的平方成正比例”以及“球的體積與直徑的立方成正比例等結(jié)論”。他的窮竭法也

已經(jīng)體現(xiàn)出了極限論思想。繼歐多克索斯之后，阿基米德使用窮竭法求出了一系

列幾何圖形的面積。他用足夠“內(nèi)接”和“外切”扇形逼近螺線所圍成的平面圖

形，這和我國的“割圓術(shù)”理論大相徑庭，實(shí)質(zhì)上是一種極限思想。阿基米德

（Archimedes，公元前287—前212年）生于敘拉古（現(xiàn)意大利西西里島）。他才

智過人、成果卓著，被譽(yù)為古代最偉大的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家。他的傳世名著有《圓

的測量》、《論球體和圓柱體》、《論劈錐曲面體與球體》、《拋物線弓形求積》、《論

螺線》、《砂粒計(jì)算》等。他巧妙地把歐克多索斯與人的窮竭法與德·謨克利特的

原子論觀點(diǎn)結(jié)合起來通過嚴(yán)密的計(jì)算，解決了求幾何圖形的面積、體積、曲線場，

計(jì)算大量的計(jì)算問題。他突破了傳統(tǒng)的有限運(yùn)算，采用了無限逼近的思想，將需

要求積的量分成許多微小單元，再來用另一組容易計(jì)算總和的微小單元來進(jìn)行比

較，他的無窮小概念到17世紀(jì)被牛頓作為微積分的基礎(chǔ)。阿基米德的杰出成就豐

富了古代數(shù)學(xué)內(nèi)容，其思想的深度和論述的嚴(yán)密性在當(dāng)時是極為罕見的，因而被

人們稱為“數(shù)學(xué)之神”,并與高斯、歐拉和牛頓并稱為19世紀(jì)以前的“數(shù)學(xué)四杰”。

由此，我們可以看到數(shù)學(xué)無窮思想發(fā)展之初，古人已經(jīng)在極限領(lǐng)域開創(chuàng)了光

輝的起點(diǎn)。

（二）極限思想的發(fā)展時期

14世紀(jì)末，歐洲開始有了資本主義的萌芽，到15世紀(jì)中期，封建制度的解

體，歐洲的生產(chǎn)力得到了迅速地發(fā)展，開始了“文藝復(fù)興”時代。由于生產(chǎn)力的

發(fā)展，也推動了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，當(dāng)時，圍繞著力學(xué)為中心，在天文學(xué)、物理學(xué)、

地理學(xué)等方面都提出了大量的新問題，對這些問題的探究促進(jìn)了相關(guān)科學(xué)的發(fā)展。

如哥白尼“日心說”的誕生帶來了一場自然科學(xué)的革命；由于對天體力學(xué)的研究，

涌現(xiàn)出了一批科學(xué)家，如斯蒂文、伽利略、開普勒等，他們在數(shù)學(xué)方面也做了大

量的研究工作，為微積分的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，為極限思想和方法的發(fā)展及運(yùn)用帶

來了機(jī)遇。16世紀(jì)以后，歐洲處于資本主義的萌芽時期，生產(chǎn)力得到了極大的發(fā)

展。生產(chǎn)力和科學(xué)技術(shù)中發(fā)生了大量的變量問題，如曲線切線問題、最值問題、

力學(xué)中速度問題、受力做功問題等，初等數(shù)學(xué)方法對此越來越無能為力，需要的

是新的數(shù)學(xué)思想，新的數(shù)學(xué)方法，突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，提供能夠用以描

述和研究運(yùn)動，變化過程的新工具，這極大的促進(jìn)了極限思想的發(fā)展。

眾多數(shù)學(xué)家為解決上述問題做了不懈的努力，如笛卡爾、費(fèi)馬、巴羅、卡瓦

列里、沃利斯等，并取得了一定成果，尤其是牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分的工作，

他們都以不同的角度運(yùn)用了極限的思想和方法，雖然他們的工作過多的依賴于直

觀，缺乏嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，但在他們的努力和成就為極限思想的進(jìn)一步完善奠定

了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（三）極限思想的完善時期

·

18世紀(jì)微積分富有成果然而欠缺嚴(yán)密的基礎(chǔ)，因而受到了人們的懷疑和攻擊。

英國哲學(xué)家大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導(dǎo)是“分明

的詭辯”。正因?yàn)楫?dāng)時缺乏嚴(yán)密的極限定義，微積分理論才受到嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。弄清

極限概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，不但是數(shù)學(xué)本身的需要，而且還有著認(rèn)

識論上的重大意義。

柯西的貢獻(xiàn)幾乎遍及所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在他的7本專著和800篇論文中，可以

看出他在微積分學(xué)、級數(shù)理論、微分方程、復(fù)變函數(shù)論、數(shù)論、行列式論、群論

等方面都有研究和貢獻(xiàn)。

1821年至1826年他的《無窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用》和《無窮小分析講義》

等3部專著給出了分析學(xué)的一系列基本理論的嚴(yán)格定義，從而形成了現(xiàn)代微積分

體系，他是近代微積分的奠基著。在復(fù)變函數(shù)方面，柯西在《關(guān)于定積分理論的

報(bào)告》中，從可交換積分順序的二重積分著手，導(dǎo)出來積分于路徑無關(guān)的柯西理

論。他證明了函數(shù)

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在極點(diǎn)

1

z的留數(shù)為：

1

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2c

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1

z的圓）。

并且他還證明了：如果曲線C包圍著函數(shù)

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的一些極點(diǎn)，則

()fz

沿曲線C的積

分就是該函數(shù)在這些極點(diǎn)上留數(shù)之和的2i?倍。在微積分方程理論中，柯西探討了

微分方程的存在性問題，證明了微分方程在不包含奇點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)存在著滿足給定

條件的解這一事實(shí)，從而使微分方程的理論得以進(jìn)一步深化。在研究微分方程的

解法時，他成功地提出了優(yōu)勢函數(shù)法，柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托

爾各自經(jīng)過獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于19世紀(jì)70年

代各自建立了完整的實(shí)數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸納為遞增有界數(shù)列極限

存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康拓爾提出用有理基本序列的極限

來定義無理數(shù)。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理

論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實(shí)數(shù)論的無

矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠地基

礎(chǔ)之上。

三、極限思想與微積分

極限思想的發(fā)展與微積分的建立有著密不可分的聯(lián)系。16世紀(jì)的歐洲由于

資本主義的興起，資本主義手工業(yè)迅速發(fā)展，使得力學(xué)在科學(xué)中的地位越來越重

要。以力學(xué)為中心地一系列實(shí)際問題擺在可科學(xué)家面前，歸納起來有大致有以下

四個方面：第一，由距離和時間的函數(shù)關(guān)系求物體在任意時刻的速度和加速度；

反之，由物體的加速度和時間的函數(shù)關(guān)系求速度和距離；第二，確定運(yùn)動物體在

其軌道上任一點(diǎn)處的運(yùn)動方向，以及通過研究光線透鏡的途徑而提出求曲線的切

線問題；第三，求函數(shù)的最大值和最小值，這是普遍存在的實(shí)際問題；例如求行

星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離；第四，尋找曲線長度、曲線圍成的面積和體積、

物體的重心等的一般方法。從這四類問題的出現(xiàn)可以看出，以常對量為主要研究

對象的數(shù)學(xué)已經(jīng)不能滿足社會發(fā)展的需求，因而科學(xué)家門開始由對以常量為主要

研究對象的研究轉(zhuǎn)移到以變量為主要研究對象的研究上來，自然科學(xué)開始邁入綜

合與突破

的階段。

（一）微積分的孕育

微積分的誕生是數(shù)學(xué)史上的偉大事件。然而它是經(jīng)過長期醞釀和孕育的產(chǎn)物，

其根源可以追溯到古希臘時代，例如歐多克索斯的窮竭法，阿基米得的圓、球、

拋物線圖形求積法。此外，我國古代數(shù)學(xué)家對此也做過有益探索，劉徽的割圓術(shù)、

祖恒之的截面原理都可以說明這一點(diǎn)。但是，這些工作由于時代限制，在數(shù)學(xué)史

上僅是一些孤立的技巧。17世紀(jì)，許多數(shù)學(xué)家圍繞著前述四個方面問題做了大量

研究工作，他們?yōu)槲⒎e分的孕育做出了重大貢獻(xiàn)。

求復(fù)雜面積、體積和線段長度的工作開始于得國科學(xué)家開普勒（年）。1615

年，開普勒發(fā)表《酒桶的建立體幾何學(xué)》，集中研究了求旋轉(zhuǎn)體體積問題。其基本

方法是--首先，把給定得幾何圖形分成無窮多個無窮小得圖形，用某種特定的方

法把這些圖形的面積或體積加起來，變得到給定的圖形的面積和體積；其次，幾

何圖形是由同樣維數(shù)的不可分離量即無窮小面積或體積組成的。雖然這些計(jì)算都

是不嚴(yán)格的，但是他得出的結(jié)果卻是正確的。這些簡單易行的方法，同今天常采

用的“微元法”有著相似之處。開普勒是第一個在求積中運(yùn)用無窮小的數(shù)學(xué)家，

這就是他對積分學(xué)的最大貢獻(xiàn)。

1635年，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦利里（1598-1647年）的《用新方法促進(jìn)的連續(xù)

不可分幾何學(xué)》的正式出版標(biāo)志著積分學(xué)的一個重要進(jìn)展。他認(rèn)為，幾何圖形是

由無數(shù)多個維為數(shù)較低的不可分量組成的，即面積是由條數(shù)不定的等距離平行線

構(gòu)成的，體積是由等距離的平行平面構(gòu)成的，他把這些元素分別稱之為面積和體

積的不可分量。這一方法所依據(jù)的一個重要原理就是“祖恒原理”（國外數(shù)學(xué)家

稱為卡瓦利里原理，實(shí)際上發(fā)展這一原理我國數(shù)學(xué)家祖沖之、祖恒之父子比卡瓦

利里要早1100多年）。他用他“重新發(fā)現(xiàn)”的這一原理證明：圓錐的體積是外接

圓柱體積的

3

1

，拋物線弓形面積是外接矩形面積的

3

2

。卡瓦利里不可分求和原理，

實(shí)際上就是后來定積分概念的雛形。同時，他還證明了：對于1到9的正整數(shù)n，

有

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?。在《用新方法促進(jìn)的連續(xù)不可分幾何學(xué)》一書中，還有應(yīng)用微

積分概念求極值的某些定理，第一個命題就包含著與羅爾定理等價的推斷。

意大利物理學(xué)家伽利略對微積分的孕育也做了重大貢獻(xiàn)。微積分概念形

成于切線、極值及運(yùn)動速度問題的處理。伽利略在《兩種新科學(xué)的對話》一書中，

給出了自由落體運(yùn)動距離和時間的關(guān)系式2st??。他在處理迅速運(yùn)動問題時，證

明了在速度－時間曲線下的面積就是距離，他把面積看成是由無窮多個不可分的

單位堆積而成的。在他的著作中，他描述了無窮大和無窮小的某些性質(zhì)，還求援

出了擺線一個拱尺面的面積和擺線切線的做法。

法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬對微積分的孕育也有重要的影響。1629年，他首次獲得了

求函數(shù)極值的法則，即運(yùn)用上了微分學(xué)思想；用類似方法他還求出了平面曲線

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的切線，拋物線體積的重心和拐點(diǎn)；他還用極限

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求出了拋物線2yx?的面積等。

此外，英國數(shù)學(xué)家沃利斯（john年）和巴羅（Isaac年）微積分萌芽中

也做了大量工作。1655年沃利斯在其名著《無窮算術(shù)》中運(yùn)用分析法和不可分原

理，得到了一些更為廣泛有用的結(jié)果。他首次把圓錐曲線看作二次曲線，從而使

得笛卡兒和卡瓦利里的方法得到系統(tǒng)化和推廣。同時他還把

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dxxn推廣到n

維分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)（除-1外）。

綜上所述，這些數(shù)學(xué)家的先驅(qū)性工作均為微積分的創(chuàng)立奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。為

微積分的創(chuàng)立積累了大量的資料，而這些堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)和大量的資料，無一不是以極

限的思想為基石一步一步堆積起來的。

（二）牛頓與微積分

牛頓（IsaacNewton，1643—1727），英國物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。1643年出

生于英格蘭北部林肯郡的一個農(nóng)民家庭。為躲避鼠疫回鄉(xiāng)，兩年間他提出了“流

數(shù)法”，發(fā)現(xiàn)萬有引力定律并得到了太陽光譜。牛頓發(fā)現(xiàn)微積分首先得助于其老師

巴羅，巴羅關(guān)于“微分三角形”的深刻思想給他影響極大；另外，費(fèi)馬的切線方

法和沃利斯的《無窮算術(shù)》也給了他很大啟發(fā)。

1666年，牛頓寫出第一篇關(guān)于微積分的論文《流數(shù)短論》，在該文中首先提

出了流數(shù)概念。而于1669年完成到1711年才發(fā)表的《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的分析

學(xué)》，則給出了一個求變量對另一個變量的瞬時變化率的普遍方法，并且證明了面

積可以求變化率的逆過程得到。

【

1671年，牛頓完成了《流數(shù)法與無窮級數(shù)》（1736年出版），進(jìn)一步對自己的思

想做了更廣泛更明確的說明，系統(tǒng)的引進(jìn)了他所獨(dú)創(chuàng)的概念和記法。他將變量稱

作“流”，將變量的變化率稱作“流數(shù)”。

1676年牛頓完成了另一部著作《求曲邊形的面積》（1704年出版），提出了“最

初比”和“最后比”兩個新概念，并且明確的表現(xiàn)出將導(dǎo)數(shù)作為增量比的極限思

想。

在牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程中，可以看到牛頓始終不渝地努力改進(jìn)、完善

自己的微積分學(xué)說，經(jīng)過20年左右的時間，他的微積分從以無窮小為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)變

為以極限為基礎(chǔ)。但由于時代或認(rèn)識的問題，牛頓始終沒能給出無窮小和極限的

嚴(yán)格定義，但瑕不掩瑜，他將自古以來求解無窮小問題的各種方法和特殊技巧有

機(jī)地統(tǒng)一起來。正是在這種意義下，我們說牛頓創(chuàng)立了微積分。

（三）．萊布尼茨與微積分

德國自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨生于萊比錫。在惠更斯的激勵和

引導(dǎo)下，萊布尼茨步入數(shù)學(xué)和物理之門。他深入研究了笛卡爾，法國數(shù)學(xué)家帕斯

卡，巴羅等人的數(shù)學(xué)論著并做了大量筆記。在這段時間，他引進(jìn)了常量、變量，

和參考變量概念，從研究幾何問題入手完成了微積分的基本計(jì)算理論。他創(chuàng)作了

微積分的符號dx、

dy

及積分符號?，并提出了函數(shù)的和、差、積、商的微分法則

和在積分量下對參變量求微分的方法以及旋轉(zhuǎn)體體積公式。1684年，他在博學(xué)文

摘上發(fā)表第一篇論文，文中提出了切線、極大值、極小值和拐點(diǎn)的方法。

牛頓和萊布尼茨同是微積分的創(chuàng)始人—牛頓和萊布尼茨在創(chuàng)立微積分過程中

都采用了一些新的方法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都有創(chuàng)造性作用。他們都把求面積和體

積以及其他以往作為求和處理的問題都?xì)w于反微分，從而為積分運(yùn)算開辟了一個

簡單途徑。

然而，他們的創(chuàng)造性工作也有所不同。牛頓較多的注重于創(chuàng)立微積分的體系

和基本方法，從考慮變化率出發(fā)解決面積和體積問題。而萊布尼茨更多地關(guān)心微

積分運(yùn)算公式的建立和推廣，從而建立了微積分法則和公式。

綜上所述，眾多數(shù)學(xué)家在解決問題時都不同程度地使用了無窮小，進(jìn)而是極

限的思想和方法，但都沒有給出明確的定義，包括被譽(yù)為微積分的創(chuàng)始人牛頓和

萊布尼茲，他們在創(chuàng)立微積分的過程中也沒有給出無窮小和極限的數(shù)學(xué)定義。但

這些絲毫也無損于這些科學(xué)偉人的歷史功績，因?yàn)槿魏慰茖W(xué)理論的創(chuàng)立，都不是

某個數(shù)學(xué)家憑空臆想出來的，而是社會發(fā)展的需要。從認(rèn)識論的角度看，人的認(rèn)

識規(guī)律是由具體到抽象，那么人類對極限理論的認(rèn)識和發(fā)展也不應(yīng)例外。

]

（四）、微積分的進(jìn)一步發(fā)展

繼牛頓和萊布尼茨之后，17—18世紀(jì)初產(chǎn)生了不少微積分成果。這些成果主

要包括兩方面：一是對微積分的可靠性進(jìn)行研究，指出不足、做出修正；二是增

補(bǔ)具體成果。

歐拉（LeonhardEuler，1707—1783年），瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。在發(fā)展

微積分方面，他整理了萊布尼茨的支持者——大陸派的微積分內(nèi)容，先后發(fā)表了

《無窮小分析應(yīng)論》、《微分學(xué)》、《積分學(xué)》等著作。在這些著作與一系列論文中，

歐拉對微積分的發(fā)展做出了偉大的貢獻(xiàn)。1、他對函數(shù)概念進(jìn)行了系統(tǒng)的探討，定

義了多元函數(shù)和超越函數(shù)概念，區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)，單值函數(shù)和多值函數(shù)；2、

他給出了用累次積分計(jì)算有界區(qū)域的二重積分方法；3、他研究了數(shù)列

1

1

n

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極限的存在性，并把該極限記為e;對于發(fā)散級數(shù)??

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1

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，他給出了下面的結(jié)果（歐

拉常數(shù)?）:

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2

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他把實(shí)函數(shù)的許多結(jié)果都

推廣到復(fù)數(shù)域，從而推動了復(fù)變函數(shù)的理論發(fā)展；5、通過對函數(shù)極值問題的研究，

他解決了一般函數(shù)問題的極值問題，并成功的找到了極值函數(shù)必須滿足的微分方

程——?dú)W拉方程;6、歐拉通過對積分

(1)

0

nx

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他在微分方程、幾何、數(shù)論以及力學(xué)、光學(xué)和天文學(xué)等方面做出了極大的貢獻(xiàn)，

難怪人們稱他是：“一個多才的科學(xué)家，一個方法的發(fā)明家，一個熟練的巨匠”。

拉格朗日（JophLouislagrange,1736—1813年），法國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家

和天文學(xué)家。從1766年起，由歐拉推薦任柏林科學(xué)院院長長達(dá)21年。在柏林科

學(xué)院工作期間，他對代數(shù)、數(shù)論、微分方程、變分法、力學(xué)、天文學(xué)等進(jìn)行了廣

泛深入的研究，并取得了豐碩成果。關(guān)于微積分他試圖徹底的拋棄模糊不清的無

窮小概念，在其名著《解析函數(shù)論》（1797年發(fā)表）中。他曾經(jīng)嘗試把微分、無窮

小和極限與概念，從微積分中排除。他用代數(shù)方法證明了泰勒展開式。他對無窮

小級數(shù)的收斂問題仍無法回避極限，因而他的“純代數(shù)的微分學(xué)”嘗試并未成功。

但他對函數(shù)的抽象處理卻可以說是實(shí)變函數(shù)的起點(diǎn)。此外，還給出了泰勒級數(shù)的

余項(xiàng)公式，研究了二元函數(shù)極值，闡明了條件極值的理論，并研究了三重積分的

變量代數(shù)式。

結(jié)束語

極限思想作為人類思想寶庫中的一種重要思想，它的發(fā)展歷程與哲學(xué)和數(shù)學(xué)

的發(fā)展有著密不可分的關(guān)系。本文從哲學(xué)和數(shù)學(xué)史的視角，闡述了極限思想的產(chǎn)

生、發(fā)展和完善歷程以及極限理論所蘊(yùn)含的豐富的辯證法思想，從中讓我們看到

了哲學(xué)思想和微積分在極限理論發(fā)展中所起的作用。一方面，哲學(xué)思想與極限思

想同為人類認(rèn)識世界的思維成果，其發(fā)展并不是相互獨(dú)立的，而是相互交織，相

互推進(jìn)，共同螺旋式上升發(fā)展的過程；同時也讓我們看到哲學(xué)思想的探究與發(fā)展

對于極限思想發(fā)展的指導(dǎo)作用，而極限思想的建立與完善又使得哲學(xué)思想得到了

完美的科學(xué)體現(xiàn)。

{

另一方面，現(xiàn)代極限理論作為一種數(shù)學(xué)方法，不可能完全歸于或依賴于哲學(xué)

理論而發(fā)展，它有著自身的發(fā)展規(guī)律。從早期萌芽的感性認(rèn)識，及起初片面的、

零碎的、甚至是含糊不清的描述，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的去偽存真、去粗存精、由此

及彼、由表及里的理性認(rèn)識，逐漸形成了科學(xué)的定義。其過程經(jīng)歷了由具體到抽

象、由簡單到復(fù)雜、由特殊到一般、由低級到高級的多種形式的發(fā)展過程。

；

參考文獻(xiàn)

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[3]周述崎.《數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)哲學(xué)》，中國人民大學(xué)出版社，1993年。

[4](美)莫里斯.克萊因.《古今數(shù)學(xué)思想》（第2冊）.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻

譯組翻譯,上海科學(xué)技術(shù)出版社,2007年。

致謝

行文至此，我的論文已接近尾聲；歲月如梭，我三年的大學(xué)時光也即將敲響

結(jié)束的鐘聲。離別在即，我站在人生的又一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)上，心中難免思緒萬千，心

中一種感恩之情油然而生。育我成才者是老師。感謝我的指導(dǎo)老師，這篇論文是

在老師的的悉心指導(dǎo)與鼓勵下完成的。老師以其嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的治學(xué)態(tài)度、高度的敬

業(yè)精神、兢兢業(yè)業(yè)、孜孜以求的工作作風(fēng)和大膽創(chuàng)新的進(jìn)取精神對我產(chǎn)生重要影

響尤其是老師淵博的學(xué)識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、精益求精的工作作風(fēng)和誨人不倦的

高尚師德，都將深深地感染和激勵著我。在此謹(jǐn)向老師致以誠摯的感謝！

寫作畢業(yè)論文是一次再系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過程，畢業(yè)論文的完成，同樣也意味著新

的學(xué)習(xí)生活的開始。