圓的有關性質

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如果別人思考數學的真理像我一樣深入持久，他也會找到我的發現?！咚?/p>

圓的有關性質

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垂徑定理

弧、弦、圓心角的關系

圓的有關性質

圓周角定理及推論

圓內接四邊形的性質

知識點1垂徑定理

①弦和直徑：

(1)弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦.

(2)直徑：經過圓心的弦叫做直徑。直徑等于半徑的兩倍。

②弧：

(1)弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號⌒表示，以A,B為端點的的弧記

作AB

⌒

,讀作弧AB.

(2)半圓、優弧、劣弧：

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

大于半圓的弧叫做優弧，優弧大于180o用三個字母表示，如

ACB

.

小于半圓的弧叫做劣弧，如AB。

（3）等?。涸谕瑘A或者等圓中能夠相互重合的弧是等弧，度數或者長度相等的弧不一定是

等弧。

③弦心距：

（1）圓心到弦的距離叫做弦心距。

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（2）圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧

相等，所對的弦相等，所對的圓心角也相等，所對弦的弦心距也相等。四者有一個相等，則

其他三個都相等。圓心到弦的垂線段的長度稱為這條弦的弦心距。

④圓的性質：

(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對

稱圖形，對稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，

那么它所對應的其他各組分別相等．

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，直徑所在的直線是它的對稱軸。

⑤垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

(2)平分弦（此弦不能是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

(3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．

(5)平行弦夾的弧相等．

⑥同心圓與等圓

（1）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。如圖一，半徑為r

1

與半徑為r

2

的⊙O叫做同心圓。

（圖一）

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（2）等圓：圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓。如圖二中的⊙O

1

與⊙O

2

的半徑都是

r,它們是等圓。同圓或者等圓的半徑相同。

（圖二）

（3）同圓是指同一個圓；等圓、同心圓是指兩個及兩個以上的圓。

【典例】

例1（2020?泰興市模擬）如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A為圓心AB為半

徑作圓A，延長BC交圓A于點D，則CD長為（）

A．5B．4C．D．2

【方法總結】

本題考查了垂徑定理，解決本題的關鍵是掌握垂徑定理．

例2據史料記載，雎水太平橋建于清嘉慶年間，已有200余年歷史．橋身為一巨型單孔圓

弧，既沒有用鋼筋，也沒有用水泥，全部由石塊砌成，猶如一道彩虹橫臥河面上，橋拱半徑

OC為13m，河面寬AB為24m，則橋高CD為__________.

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【方法總結】

1、在遇有求弦長或半徑長的問題時，常添加的輔助線是弦心距。

2、在運用垂徑定理解決線段長度問題時，一般都與勾股定理復合運用。

【隨堂練習】

1．（2019?廬陽區二模）如圖，

AC

是

O

的直徑，弦

BDAC?

于點E，連接

BC

過點

O

作

OFBC?

于點F，若

12BDcm?

，

4AEcm?

，則

OF

的長度是

()

A．13cmB．213cmC．10cmD．

3cm

2．（2019?濱州模擬）如圖，某下水道的橫截面是圓形的，水面

CD

的寬度為

2m

，F是線段

CD

的中點，EF經過圓心

O

交

O

與點E，

3EFm?

，則

O

直徑的長是

()

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A．

2

3

m

B．

5

3

m

C．

4

3

m

D．

10

3

m

3．（2019?黔東南州一模）如圖，

O

的直徑為

10cm

，弦AB為

8cm

，P是弦AB上一點且

不與點A、B重合．若

OP

的長為整數，則符合條件的點P有

()

A．2個B．3個C．4個D．5個

4．（2019?黃岡）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧()AB，點

O

是這段弧所在圓的圓心，

40ABm?

，點

C

是

AB

的中點，且

10CDm?

，則這段彎路所在圓的半徑為

()

A．

25m

B．

24m

C．

30m

D．

60m

5．（2019?濱湖區一模）如圖，在

O

中，已知弦AB長為

16cm

，

C

為

AB

的中點，

OC

交AB

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于點M，且

:3:2OMMC?

，則

CM

長為

()

A．

2cm

B．

4cm

C．

6cm

D．

8cm

6．（2019?陽谷縣一模）已知在半徑為5的

O

中，AB，

CD

是互相垂直且相等的兩條弦，

垂足為點P，且

32OP?

，則弦AB的長為

()

A．4B．6C．8D．10

知識點2弧、弦、圓心角、圓周角的關系

與圓有關的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對弧的度數．

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

圓周角的性質：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半。

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在同圓或等圓中，相等的圓心角或圓周角所對的弧相等，弦也相等。

（3）直徑所對的圓周角是直角。

【典例】

例1如圖，矩形ABCD的頂點A，B在圓上，BC，AD分別與該圓相交于點E，F，G是

的三等分點（＞），BG交AF于點H，若的度數為30°，則∠GHF等于_________.

例2如圖，AB是⊙O的直徑，==，∠COD=38°，則∠AEO的度數是

例3如圖，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，則∠OBA的度數是

【方法總結】

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1、注意利用同圓中同弧或等弧所對的圓心角相等圓周角也相等，可進行角度轉換。

2、注意利用同圓中同弧或等弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可進行角度倍數轉換。

【隨堂練習】

1．（2019?東臺市模擬）如圖，AB是

O

的弦，半徑

OCAB?

，D為圓周上一點，若

BC

的

度數為

50?

，則

ADC?

的度數為

()

A．

20?

B．

25?

C．

30?

D．

50?

2．（2019?資中縣一模）如圖，

AB

，CD是O的直徑，

AEBD?

，若32AOE???，

則COE?的度數是

()

A．32?B．60?C．68?D．64?

3．（2020?眉山）如圖，四邊形ABCD的外接圓為⊙O，BC＝CD，∠DAC＝35°，∠ACD

＝45°，則∠ADB的度數為（）

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A．55°B．60°C．65°D．70°

4．（2020?武漢）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是的中點，AC

與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是（）

A．B．3C．3D．4

知識點3圓周角定理及推論

圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質：

圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半．

圓周角的推論：

①同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．

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②90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角．

③如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．

④圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角．

【典例】

例1如圖所示，A、B、C、D四個點均在⊙O上，∠AOD=50°，AO∥DC，則∠B的度數

為

【方法總結】

1、在圓中利用圓的半徑處處相等，可迅速構造等腰三角形.

2、利用直徑所對的圓周角是直角，可便捷構造直角三角形.

例2（2020?淮安）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，則∠ABO的度數是（）

A．54°B．27°C．36°D．108°

【方法總結】

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本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，等腰三角形的性質和三角

形的內角和定理等知識點，能求出圓心角∠AOB的度數是解此題的關鍵．

【隨堂練習】

1．（2019?溫州三模）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠ACB＝112°，則∠α＝（）

A．68°B．112°C．136°D．134°

2．（2019?吉林）如圖，在⊙O中，所對的圓周角∠ACB＝50°，若P為上一點，∠AOP

＝55°，則∠POB的度數為（）

A．30°B．45°C．55°D．60°

3．（2019?宜昌）如圖，點A，B，C均在⊙O上，當∠OBC＝40°時，∠A的度數是（）

A．50°B．55°C．60°D．65°

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4．（2019?眉山）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是點E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，

則CD的長為（）

A．6B．3C．6D．12

5．（2020春?沙坪壩區校級月考）如圖，⊙O中，若OA⊥BC、∠AOB＝66°，則∠ADC的

度數為（）

A．33°B．56°C．57°D．66°

知識點4圓內接四邊形的性質

1.圓內接四邊形的對角互補

2.外角等于它的內對角

【典例】

例1如圖，點A、B、C、D、E在⊙O上，且的度數為50°，則∠B+∠D的度數為．

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例2如圖，已知⊙O的內接四邊形ABCD兩組對邊的延長線分別交于點E、F，若∠E+∠

F=70°，則∠A的度數是

【方法總結】

證明四點共圓的一般方法：

1、逆用同弦所對圓周角相等

2、逆用圓的內接四邊形對角互補

【隨堂練習】

1．（2019?蘭州）如圖，四邊形

ABCD

內接于

O

，若

40A???

，則

(C??)

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A．

110?

B．

120?

C．

135?

D．

140?

2．（2019?富順縣三模）四邊形

ABCD

內接于圓，A?、B?、

C?

、D?的度數比可能是

(

)

A．

1:3:2:4

B．

7:5:10:8

C．

13:1:5:17

D．

1:2:3:4

3．（2019?海淀區校級三模）如圖，點A，B，

C

，D是

O

上的四個點，點B是弧

AC

的

中點，如果

70ABC???

，那ADB??___________．

4．（2019?臺州）如圖，

AC

是圓內接四邊形

ABCD

的一條對角線，點D關于

AC

的對稱點E

在邊

BC

上，連接AE．若

64ABC???

，則BAE?的度數為_________．

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綜合運用：圓的有關性質

1.把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4cm，求

球的半徑。

2.如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是半圓上一點，D是弧AC中點，OD交弦AC于

E，連接BE，若AC=8，DE=2，求

（1）求半圓的半徑長；

（2）BE的長度。

3.如圖，小明將一塊三角板放在⊙O上，三角板的一直角邊經過圓心O，測得AC=5cm，

AB=3cm，求⊙O的半徑。

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4.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，以BC為斜邊在矩形外部作直角三角形BEC，

F為CD的中點，求EF的最大值。

5.如圖，已知四邊形ADBC是⊙O的內接四邊形，AB是直徑，AB=10cm，BC=8cm，CD

平分∠ACB．

（1）求AC與BD的長；

（2）求四邊形ADBC的面積．

6.如圖，A、P、B、C是⊙O上四點，∠APC=∠CPB=60°．

（1）判斷△ABC的形狀并證明你的結論；

（2）當點P位于什么位置時，四邊形PBOA是菱形？并說明理由．

（3）求證：PA+PB=PC．

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一天，畢達哥拉斯應邀到朋友家做客。這位習慣觀察思考的人，突然，對主人家地面上一塊

塊漂亮的正方形大理石感興趣。他沒有心思聽別人閑聊，沉思于腳下排列規則，大小如一的大理

石彼此間產生的數的關系中。

他越想越興奮，完全被自己的思考迷住，索性蹲到地上，拿出筆尺。在4塊大理石拼成的大

正方上，均以每塊大理石的對角線為邊，畫出一個新的正方形，他發現這個正方形的面積正好等

于2塊大理石的面積;他又以2塊大理石組成的矩形對角線為邊，畫成一個更大的正方形，而這

個正方形正好等于5塊大理石的面積。于是，畢達哥拉斯根據自己的推算得出結果：直角三角形

斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

著名的畢達哥拉斯定理就這樣產生了。

清除頁眉橫線的步驟：點擊--插入--頁眉頁腳--頁眉頁腳選項，把顯示奇數頁頁眉橫線（B)

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