xxx000

難點題型拔高練

1．過拋物線y＝

1

4

x2的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在直線y＝－1上,若△ABC為正三角形,

則其邊長為()

A．11B．12

C．13D．14

解析：選B由題意可知,焦點F(0,1),易知過焦點F的直線的斜率存在且不為零,設為k(k≠0),則該直線

方程為y＝kx＋1(k≠0),聯立方程得

?

?

?

?

?

y＝

1

4

x2，

y＝kx＋1，

∴x2＝4(kx＋1),即x2－4kx－4＝0,設A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

),∴x

1

＋x

2

＝4k,x

1

x

2

＝－4,設線段AB的中點為M,則M(2k,2k2＋1),|AB|＝?1＋k2?[?x

1

＋x

2

?2－4x

1

x

2

]＝

?1＋k2??16k2＋16?＝4(1＋k2),設C(m,－1),連接MC,∵△ABC為等邊三角形,∴k

MC

＝

2k2＋2

2k－m

＝－

1

k

,m＝2k3＋

4k,點C(m,－1)到直線y＝kx＋1的距離|MC|＝

|km＋2|

1＋k2

＝

3

2

|AB|,∴

|km＋2|

1＋k2

＝

3

2

×4(1＋k2),∴

2k4＋4k2＋2

1＋k2

＝

23(1＋k2),∴1＋k2＝3,∴k＝±2,∴|AB|＝4(1＋k2)＝12.

2．已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π),f

?

?

?

?

π

8

＝2,f

?

?

?

?

π

2

＝0,且f(x)在(0,π)上單調．下列說法正確的

是()

A．ω＝

1

2

B．f

?

?

?

?

－

π

8

＝

6－2

2

C．函數f(x)在

?

?

?

?

－π，－

π

2

上單調遞增

D．函數f(x)的圖象關于點

?

?

?

?

3π

4

，0

中心對稱

解析：選C由題意得函數f(x)的最小正周期T＝

2π

ω

,

因為f(x)在(0,π)上單調,所以

T

2

＝

π

ω

≥π,得0<ω≤1.

因為f

?

?

?

?

π

8

＝2,f

?

?

?

?

π

2

＝0,所以f(x)在(0,π)上單調遞減,又0<φ<π,0<ω≤1,

所以

?

?

?ωπ

8

＋φ＝

3π

4

，

ωπ

2

＋φ＝π，

解得

?

?

?ω＝

2

3

，

φ＝

2π

3

，

所以f(x)＝2sin

?

?

?

?

2

3

x＋

2π

3

.選項A顯然不正確．

因為f

?

?

?

?

－

π

8

＝2sin－

2

3

×

π

8

＋

2π

3

＝2sin

7π

12

＝

6＋2

2

,所以B不正確．

因為當－π≤x≤－

π

2

時,0≤

2

3

x＋

2π

3

≤

π

3

,所以函數f(x)在

?

?

?

?

－π，－

π

2

上單調遞增,故C正確．

因為f

?

?

?

?

3π

4

＝2sin

?

?

?

?

2

3

×

3π

4

＋

2π

3

＝2sin

7π

6

≠0,所以點

?

?

?

?

3π

4

，0

不是函數f(x)圖象的對稱中心,故D不正確．

3．已知函數f(x)＝

x2－x＋1

x－1

,g(x)＝

lnx

x

,若函數y＝f(g(x))＋a有三個不同的零點x

1

,x

2

,x

3

(其中x

1

2

3

),

則2g(x

1

)＋g(x

2

)＋g(x

3

)的取值范圍為__________．

解析：∵g(x)＝

lnx

x

,∴g′(x)＝

1－lnx

x2

.當00,g(x)

單調遞增；當x>e時,g′(x)<0,g(x)單調遞減．作出函數g(x)的大致圖象如圖所示,

令g(x)＝t,由f(t)＋a＝

t2－t＋1

t－1

＋a＝0,得關于t的一元二次方程t2＋(a－1)t＋1

－a＝0,又f(g(x))＋a＝0有三個根x

1

,x

2

,x

3

,且x

1

2

3

,∴結合g(x)的圖象可知關于t

的一元二次方程有兩個不等實根,不妨設為t

1

,t

2

,且t

1

2

,則0

1

<

1

e

,t

2

＝

1

e

或t

1

<0

2

<

1

e

,t

1

＋t

2

＝1－a,由Δ＝(a－1)2

－4(1－a)>0,得1－a<0或1－a>4.當0

1

<

1

e

,t

2

＝

1

e

時,0

1

＋t

2

<4,不符合題意,舍去．∴t

1

<0

2

<

1

e

,∴g(x

1

)＝t

1

,g(x

2

)

＝g(x

3

)＝t

2

,∴2g(x

1

)＋g(x

2

)＋g(x

3

)＝2t

1

＋2t

2

＝2(t

1

＋t

2

)＝2(1－a)．

令λ＝1－a,φ(t)＝t2＋(a－1)t＋1－a＝t2－λt＋λ,

由t

1

<0

2

<

1

e

可知,

?

?

?

?

?

φ?0?<0，

φ

?

?

?

?

1

e

>0，

即

?

?

?

?

?

λ<0，

1

e2

－λ×

1

e

＋λ>0，

解得

1

e－e2

<λ<0.

綜上,2g(x

1

)＋g(x

2

)＋g(x

3

)的取值范圍為

?

?

?

?

2

e－e2

，0

.

答案：

?

?

?

?

2

e－e2

，0

4．已知橢圓C：

x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F

1

,F

2

,且離心率為

2

2

,M為橢圓上任意一點,當∠

F

1

MF

2

＝90°時,△F

1

MF

2

的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知A是橢圓C上異于橢圓頂點的一點,連接并延長AF

1

,AF

2

,分別與橢圓交于點B,D,設直線BD的

斜率為k

1

,直線OA的斜率為k

2

(O為坐標原點),求證：k

1

·k

2

為定值．

解：(1)設|MF

1

|＝r

1

,|MF

2

|＝r

2

,

由題意,得

?

?

?

?

?e＝

c

a

＝

2

2

，

r

1

＋r

2

＝2a，

r2

1

＋r2

2

＝4c2，

1

2

r

1

·r

2

＝1，

∴a＝2,c＝1,則b2＝a2－c2＝1,

∴橢圓C的方程為

x2

2

＋y2＝1.

(2)證明：易知直線AF

1

,AF

2

的斜率均不為0.設B(x

1

,y

1

),D(x

2

,y

2

),

當直線AF

1

的斜率不存在時,不妨令A

?

?

?

?

－1，

2

2

,則B

?

?

?

?

－1，－

2

2

,又F

1

(－1,0),F

2

(1,0),

∴直線AF

2

的方程為y＝－

2

4

(x－1),將其代入

x2

2

＋y2＝1,整理可得5x2－2x－7＝0,

∴x

2

＝

7

5

,y

2

＝－

2

10

,則D

?

?

?

?7

5

，－

2

10

,

∴直線BD的斜率k

1

＝

－

2

10

－

?

?

?

?

－

2

2

7

5

－?－1?

＝

2

6

,

直線OA的斜率k

2

＝－

2

2

,

∴k

1

·k

2

＝

2

6

×

?

?

?

?

－

2

2

＝－

1

6

.

當直線AF

2

的斜率不存在時,同理可得k

1

·k

2

＝－

1

6

.

當直線AF

1

,AF

2

的斜率都存在且不為0時,設A(x

0

,y

0

),則x

0

y

0

≠0,

則直線AF

1

的方程為y＝

y

0

x

0

＋1

(x＋1),

聯立,得

?

?

?y＝

y

0

x

0

＋1

?x＋1?，

x2

2

＋y2＝1，

消去y可得,

[(x

0

＋1)2＋2y2

0

]x2＋4y2

0

x＋2y2

0

－2(x

0

＋1)2＝0,

又

x2

0

2

＋y2

0

＝1,∴2y2

0

＝2－x2

0

,

∴(3＋2x

0

)x2＋2(2－x2

0

)x－3x2

0

－4x

0

＝0,

∴x

1

·x

0

＝

－3x2

0

－4x

0

3＋2x

0

,

∴x

1

＝

－3x

0

－4

3＋2x

0

,

則y

1

＝

y

0

x

0

＋1?

?

?

?

?

?－3x

0

－4

3＋2x

0

＋1

＝－

y

0

3＋2x

0

,

∴B

?

?

?

?

?

?

－

3x

0

＋4

2x

0

＋3

，－

y

0

2x

0

＋3

.

直線AF

2

的方程為y＝

y

0

x

0

－1

(x－1),

同理可得D

3x

0

－4

2x

0

－3

,

y

0

2x

0

－3

,

∴直線BD的斜率

k

1

＝

y

0

2x

0

－3

＋

y

0

2x

0

＋3

3x

0

－4

2x

0

－3

＋

3x

0

＋4

2x

0

＋3

＝

4x

0

y

0

12x2

0

－24

＝

x

0

y

0

3x2

0

－6

,

∵直線OA的斜率k

2

＝

y

0

x

0

,

∴k

1

·k

2

＝

x

0

y

0

3x2

0

－6

·

y

0

x

0

＝

y2

0

3x2

0

－6

＝

1－

x2

0

2

3x2

0

－6

＝－

1

6

.

綜上,k

1

·k

2

為定值,且定值為－

1

6

.

5.已知函數f(x)＝(x＋b)(ex－a)(b>0)的圖象在點(－1,f(－1))處的切線方程為(e－1)x＋ey＋e－1＝0.

(1)求a,b；

(2)若方程f(x)＝m有兩個實數根x

1

,x

2

,且x

1

2

,證明：x

2

－x

1

≤1＋

m?1－2e?

1－e

.

解：(1)由題意得f(－1)＝0,所以f(－1)＝(－1＋b)

?

?

?

?

1

e

－a

＝0,所以a＝

1

e

或b＝1.

又f′(x)＝(x＋b＋1)ex－a,

所以f′(－1)＝

b

e

－a＝－1＋

1

e

,

若a＝

1

e

,則b＝2－e<0,與b>0矛盾,故a＝1,b＝1.

(2)證明：由(1)可知f(x)＝(x＋1)(ex－1),f(0)＝0,f(－1)＝0,

設曲線y＝f(x)在點(－1,0)處的切線方程為y＝h(x),

則h(x)＝

?

?

?

?

1

e

－1

(x＋1),

令F(x)＝f(x)－h(x),

則F(x)＝(x＋1)(ex－1)－

?

?

?

?

1

e

－1

(x＋1),

F′(x)＝(x＋2)ex－

1

e

,

當x≤－2時,F′(x)＝(x＋2)ex－

1

e

≤－

1

e

<0,

當x>－2時,設G(x)＝F′(x)＝(x＋2)ex－

1

e

,則G′(x)＝(x＋3)ex>0,

故函數F′(x)在(－2,＋∞)上單調遞增,又F′(－1)＝0,

所以當x∈(－∞,－1)時,F′(x)<0,當x∈(－1,＋∞)時,F′(x)>0,

所以函數F(x)在區間(－∞,－1)上單調遞減,在區間(－1,＋∞)上單調遞增,

故F(x)≥F(－1)＝0,所以f(x)≥h(x),

所以f(x

1

)≥h(x

1

)．

設h(x)＝m的根為x

1

′,則x

1

′＝－1＋

me

1－e

,

又函數h(x)單調遞減,且h(x

1

′)＝f(x

1

)≥h(x

1

),所以x

1

′≤x

1

,

設曲線y＝f(x)在點(0,0)處的切線方程為y＝t(x),易得t(x)＝x,

令T(x)＝f(x)－t(x)＝(x＋1)(ex－1)－x,T′(x)＝(x＋2)ex－2,

當x≤－2時,T′(x)＝(x＋2)ex－2≤－2<0,

當x>－2時,設H(x)＝T′(x)＝(x＋2)ex－2,則H′(x)＝(x＋3)ex>0,

故函數T′(x)在(－2,＋∞)上單調遞增,又T′(0)＝0,

所以當x∈(－∞,0)時,T′(x)<0,當x∈(0,＋∞)時,T′(x)>0,

所以函數T(x)在區間(－∞,0)上單調遞減,在區間(0,＋∞)上單調遞增,

所以T(x)≥T(0)＝0,所以f(x)≥t(x),

所以f(x

2

)≥t(x

2

)．

設t(x)＝m的根為x

2

′,則x

2

′＝m,

又函數t(x)單調遞增,且t(x

2

′)＝f(x

2

)≥t(x

2

),

所以x

2

′≥x

2

.

又x

1

′≤x

1

,

所以x

2

－x

1

≤x

2

′－x

1

′＝m－

?

?

?

?

－1＋

me

1－e

＝1＋

m?1－2e?

1－e

.