圓周角定理

24.1.4圓周角

第1課時圓周角定理及推論

教學內容

1．圓周角的概念．

2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條弦所對

的圓心角的一半．

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的

應用．

教學目標

1．了解圓周角的概念．

2．理解圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都等于這條

弧所對的圓心角的一半．

3．理解圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90?°的圓周角所對

的弦是直徑．

4．熟練掌握圓周角的定理及其推理的靈活運用．

設置情景，給出圓周角概念，探究這些圓周角與圓心角的關系，運用數學分類思想給予

邏輯證明定理，得出推導，讓學生活動證明定理推論的正確性，最后運用定理及其推導解決

一些實際問題．

重難點、關鍵

1．重點：圓周角的定理、圓周角的定理的推導及運用它們解題．

2．難點：運用數學分類思想證明圓周角的定理．

3．關鍵：探究圓周角的定理的存在．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們口答下面兩個問題．

1．什么叫圓心角？

2．圓心角、弦、弧之間有什么內在聯系呢？

老師點評：（1）我們把頂點在圓心的角叫圓心角．

（2）在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，?那么它們

所對的其余各組量都分別相等．

剛才講的，頂點在圓心上的角，有一組等量的關系，如果頂點不在圓心上，它在其它的

位置上？如在圓周上，是否還存在一些等量關系呢？這就是我們今天要探討，要研究，要解

決的問題．

二、探索新知

問題：如圖所示的⊙O，我們在射門游戲中，設E、F是球門，?設球員們只能在所在的⊙O

其它位置射門，如圖所示的A、B、C點．通過觀察，我們可以發現像∠EAF、∠EBF、∠ECF

這樣的角，它們的頂點在圓上，?并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

現在通過圓周角的概念和度量的方法回答下面的問題．

1．一個弧上所對的圓周角的個數有多少個？

2．同弧所對的圓周角的度數是否發生變化？

3．同弧上的圓周角與圓心角有什么關系？

（學生分組討論）提問二、三位同學代表發言．

老師點評：

1．一個弧上所對的圓周角的個數有無數多個．

2．通過度量，我們可以發現，同弧所對的圓周角是沒有變化的．

3．通過度量，我們可以得出，同弧上的圓周角是圓心角的一半．

下面，我們通過邏輯證明來說明“同弧所對的圓周角的度數沒有變化，?并且它的度數

恰好等于這條弧所對的圓心角的度數的一半．”

（1）設圓周角∠ABC的一邊BC是⊙O的直徑，如圖所示

∵∠AOC是△ABO的外角

∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

∵OA=OB

∴∠ABO=∠BAO

∴∠AOC=∠ABO

∴∠ABC=∠AOC

（2）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的兩側，那么∠ABC=∠AOC嗎？

請同學們獨立完成這道題的說明過程．

老師點評：連結BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，

?那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．

（3）如圖，圓周角∠ABC的兩邊AB、AC在一條直徑OD的同側，那么∠ABC=∠AOC嗎？

請同學們獨立完成證明．

老師點評：連結OA、OC，連結BO并延長交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2

∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=∠AOD-∠COD=∠AOC

現在，我如果在畫一個任意的圓周角∠AB′C，?同樣可證得它等于同弧上圓心角一半，

因此，同弧上的圓周角是相等的．

從（1）、（2）、（3），我們可以總結歸納出圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

進一步，我們還可以得到下面的推導：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

下面，我們通過這個定理和推論來解一些題目．

例1．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到C，使AC=AB，BD與CD的

大小有什么關系？為什么？

分析：BD=CD，因為AB=AC，所以這個△ABC是等腰，要證明D是BC的中點，?只要連

結AD證明AD是高或是∠BAC的平分線即可．

解：BD=CD

理由是：如圖24-30，連接AD

∵AB是⊙O的直徑

∴∠ADB=90°即AD⊥BC

又∵AC=AB

∴BD=CD

三、鞏固練習

1．教材P92思考題．

2．教材P93練習．

四、應用拓展

例2．如圖，已知△ABC內接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對邊分別設為a，b，c，⊙O半徑為

R，求證：===2R．

分析：要證明===2R，只要證明=2R，=2R，=2R，即sinA=，sinB=，sinC=，因此，十分明

顯要在直角三角形中進行．

證明：連接CO并延長交⊙O于D，連接DB

∵CD是直徑

∴∠DBC=90°

又∵∠A=∠D

在Rt△DBC中，sinD=，即2R=

同理可證：=2R，=2R

∴===2R

五、歸納小結（學生歸納，老師點評）

本節課應掌握：

1．圓周角的概念；

2．圓周角的定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，?都相等這條弧所

對的圓心角的一半；

3．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．