重要極限公式

?資料.

2.5.1兩個重要極限(第一課時)

一一新浪微博：月牙LHZ

一、教學(xué)目標(biāo)

1?復(fù)習(xí)該章的重點內(nèi)容。

2.理解重要極限公式。

3?運(yùn)用重要極限公式求解函數(shù)的極限。

二、教學(xué)重點和難點

重點：公式的熟記與理解。

難點：多種變形的應(yīng)用。

三、教學(xué)過程

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入

(1)極限存在性定理:liinf(x)=AOlimf(x)=limf(x)=A?Tf"YTX,YTxJ

(2)無窮大量與無窮小量互為倒數(shù)，若/(X)TS(XTX。)，則

------―>0(A'―>X

()

)

fW

(3)極限的四則運(yùn)算：

Iim[/(x)±g(x)]=liinf(x)±limg(x)liin[/(A)?g(x)]=limf(x)?limg(x)

liin

/(x)

=

lim/(x)g(x)

limg(x)

(4)limcf(x)]=climf(x)(加法推論)

(5)lim[/(x)]A=[lim/(x)P(乘法推論)

(6)lim[無窮小量x有界變量]=0(無窮小量的性質(zhì))

r

sinx..1

eg?lim--------=lim—-sinx

YTOO牙%

(4)

?資料.

那么，問沁=?呢，這是我們本節(jié)課要學(xué)的重要極限

5X

2、掌握重要極限公式

v

sinx’

lun------=1

XTOX

公式的特征：(1)詈型極限；

(2)分子是正弦函數(shù)；

(3)sin后而的變量與分母的變量相同。

3、典型例題

【例1】求lim沁(“0)

3kx

hjisinx1..sinx1.1

W：lini-------=-lun--------=-xl=-

XTOkxkxkk

【例2】求lim如

sinx

1]

Xcosxj

=lim'"人?lim—!—=

1x1=1

(推導(dǎo)公式：lim竺=1)

5X

【例3】求lim沁

"TOX

i)x5xe5x

4、強(qiáng)化練習(xí)

(1)lim血*

(2)

sinkxInn

("0)

(3)

sin5xlim

33A?3X

so3

X

解：(1)limSinX=

Isinx-lim:

11

=-X1=

1

XTO

3x3ex33

—、sillkx

sinkxsinkx

(L)lim

—=limk----------

=k?

=k-=k

"TOxgOkxXTOkx

lim沁=lim

TT()3XIO5x

5..sin5x5‘5

=—?lim-----=—?1

=—

A-MJXXT()

sin2x

xcos2x丿

“?lim沁伽丄

j2xs°cos2x

=2xlxl=l

解:limm'=lim

XTO%XT()

解：恤泌J亦5?沁"lim泌匚5?1=5

(4)lim沁

KTOX

sin5x5

(4)

?資料.

四、小結(jié):

?資料.

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個重要的極限，并運(yùn)用這個公式求解一些函數(shù)的

極限。在運(yùn)用這個公式時，要注意兩點：一是分子中的三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為正

弦函數(shù)，二是分子sin后而的變量與分母的變量相同。

五、布置作業(yè)：

(1)Urn沁(2)亦沁(3)lim沁⑷亦沁

XTO5XXTOXNT。2XXTOX

?資料.

2.5.2兩個重要極限（第二課時）

-------新浪微博：月牙LHZ

一、教學(xué)目標(biāo)

1?理解重要極限公式。

2.運(yùn)用重要極限公式求解函數(shù)的極限。

二、教學(xué)重點和難點

重點：公式的熟記與理解。

難點：多種變形的應(yīng)用。

三、教學(xué)過程

1、復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)一個重要的極限公式。首先我們一起復(fù)習(xí)一下指數(shù)運(yùn)

算。

⑴仙）"=啓”

2、掌握重要極限公式

lim(1+丄)v=e

3、典型例題

【例1】lim(l+-)x

XT*x

解:lim(l+-/=lim[(l+l)2]2=[lim(l+丄)嚀=e2(構(gòu)造法)

X->XXXTXXKfXX

22

丄

n/n

?資料.

【例2]lim(l+x)x

?資料.

解：lim(l+x)；=lim(l+丄)；=e(換兀法)

.r->0二fRz

(推導(dǎo)公式:lim(l+^=e)

x->()

【例3】limd-lr

XTOCX

解：lim(l-l)x=lim[(l+—rvF，=[Um(l+—)^r，="=L(構(gòu)造法)

XYXv->x—X'TOC—xe

【例4】lim(—)x

ix+1

解:lim(A)'=lim(—)'=lim---------------!---=-(構(gòu)造法)

.V->OCx+]1X->X1Ae

l+—1+-

xX)

4、強(qiáng)化練習(xí)

(1)lim(l+-)x(2)lim(l+x)7(3)lim(l--)x(4)lim(—)T

XY

x

.1°—X

x

X+X+1

解：(1)lim(l+-)v=lim[(l+丄盧F=[iim(l+丄)叩=云

.YTX>%XXT8X

~55

2「1

(2)lim(l+x)x=lim(l+x)x

x->()XTO

四、小結(jié):

木節(jié)課我們學(xué)習(xí)了另一個重要的極限，并運(yùn)用這個公式求解一些函

lim(l+x)-*=|~lim(l+丄

『

XT()」LwZ

?1x—

(3)lim(l--)x=Iim[(l+—)刁『=[lim(l+丄)=e

Xf

2

.V—>X

A->X

?2=丄

0

1+

2

r

.71

lim(—)r=lim(一Y=V-^X

X+1V-^X

1+—

X

Y+2

lim(—

/

2、X

lim1+-

X)

(

i、X

lim1+-

X)

11.

[lim(l+—

尸]2

—xX

二

1i,

YTHX

e

?資料.

數(shù)的極限。學(xué)會巧妙地運(yùn)用換元法和構(gòu)造法把它轉(zhuǎn)化為公式的形式，從

?資料.

1i.a

(2)lim(1+2x)x(3)lini(1——)2a(4)lim(:——)vA—%

A->XX+]

而求得極限。

五、布置作業(yè):

(1)lim(l+—)A