凸函數(shù)的定義

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

題目：凸函數(shù)與極值

院（系）理學(xué)院

專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

年級(jí)2009級(jí)

姓名哦哦學(xué)號(hào)********

指導(dǎo)教師啊啊啊職稱副教授

2013年月日

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）評(píng)語(yǔ)及成績(jī)

論文類型：理論研究型

評(píng)語(yǔ)：

該論文的選題有一定的理論價(jià)值。本文主要觀點(diǎn)正確，選題有一定的新意，論點(diǎn)正確、論據(jù)充分、

結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、文理通順、條理清晰、邏輯性強(qiáng)、寫(xiě)作格式規(guī)范、圖表正確、清晰。所采用的資料可信度、

支撐度高。全文理論結(jié)合實(shí)際，對(duì)應(yīng)用凸函數(shù)的性質(zhì)求解極值問(wèn)題做出了全面而深刻的分析和總結(jié)，反

映了該生較扎實(shí)的理論基礎(chǔ)。本文對(duì)提高學(xué)生解題能力、培養(yǎng)創(chuàng)新能力具有一定的指導(dǎo)作用。符合本科

畢業(yè)論文的規(guī)范要求。

可以提交答辯。

指導(dǎo)教師（簽字）

年月日

評(píng)語(yǔ)及評(píng)分

成績(jī)：答辯委員會(huì)主席（簽字）

年月日

院（系）學(xué)位評(píng)定委員會(huì)意見(jiàn)：

簽字：

年月日

學(xué)校學(xué)位評(píng)定委員會(huì)意見(jiàn)：

簽字：

年月日

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

承諾書(shū)

本人哦哦，哈爾濱學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

專業(yè)09—4班學(xué)生，學(xué)號(hào)：09031432。

本人鄭重承諾：本人撰寫(xiě)的畢業(yè)論文《凸函數(shù)與極值》，

是個(gè)人的研究成果，數(shù)據(jù)來(lái)源真實(shí)可靠，無(wú)剽竊行為。

承諾人：董春

年月日

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

目錄

摘要................................................................................................................................................................1

Abstract.........................................................................................................................................2

前言.............................................................................................................................................3

第一章凸函數(shù)的定義與性質(zhì).......................................................................................................4

1.1一元凸函數(shù)的定義與性質(zhì)...........................................................................................................4

1.1.1一元凸函數(shù)的定義.............................................................................................................4

1.1.2一元凸函數(shù)的性質(zhì).............................................................................................................4

1.1.3一元凸函數(shù)的判定.............................................................................................................7

1.2多元凸函數(shù)的定義與性質(zhì)...........................................................................................................9

1.2.1多元凸函數(shù)的定義.............................................................................................................9

1.2.2多元凸函數(shù)的性質(zhì)...........................................................................................................10

1.2.3多元凸函數(shù)的判定...........................................................................................................10

第二章極值的定義與判別法.......................................................................................................14

2.1一元函數(shù)極值................................................................................................................................14

2.1.1一元函數(shù)極值的定義......................................................................................................14

2.1.2一元函數(shù)極值的判定......................................................................................................14

2.1.3可導(dǎo)凸函數(shù)極值問(wèn)題....................................................................................................15

2.1.4一般凸函數(shù)極值問(wèn)題......................................................................................................17

2.2多元函數(shù)極值..............................................................................................................................18

2.1.1多元函數(shù)極值的定義......................................................................................................18

2.1.2多元函數(shù)極值的判定......................................................................................................19

第三章凸函數(shù)與極值相關(guān)理論...............................................................................................22

第四章利用凸函數(shù)求解極值問(wèn)題...........................................................................................24

4.1將極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)問(wèn)題求解................................................................................24

4.2弓形面積的最值....................................................................................................................26

參考文獻(xiàn).......................................................................................................................................30

后記...........................................................................................................................................31

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1

摘要

本文第一章對(duì)凸函數(shù)的定義及性質(zhì)問(wèn)題作了簡(jiǎn)單的闡述。研究一元凸函數(shù)和多元凸函

數(shù)的定義，性質(zhì)及其判定；刻畫(huà)了凸函數(shù)極值點(diǎn)的分布規(guī)律，并將所得的結(jié)果推廣到可導(dǎo)

嚴(yán)格凸函數(shù)和一般凸函數(shù)中。第二章介紹了極值的定義與判別法，從一元極值的定義與判

別法推出可導(dǎo)凸函數(shù)的極值問(wèn)題以至推廣到一般凸函數(shù)極值問(wèn)題。第三章介紹了凸函數(shù)與

極值的相關(guān)理論為后續(xù)第四章的利用凸函數(shù)求解極值問(wèn)題作了鋪墊。

關(guān)鍵詞：凸函數(shù)；嚴(yán)格凸函數(shù)；極值；最值

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2

Abstract

Theextremumproblemsandit`scorrespondingmaximumandminimumValue

Problemsofdifferentiableconvexfunctionarestudiedinthispaper，andthedistributionlawof

ainedresultcanbeextendedtothe

differentiablestrictlyconvexfunctionandthegeneralconvexfunction

Keywords:convexfunction;strictlyconvexfunction;extremevalue;maximumand

minimumvalue

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3

前言

函數(shù)的極值不僅在實(shí)際問(wèn)題中占有重要地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的重要特征。在現(xiàn)有

文獻(xiàn)中，對(duì)一般可導(dǎo)函數(shù)的極值問(wèn)題的研究已接近完善，得到了許多極值的充分條件，為

求解函數(shù)的極值與最值問(wèn)題帶來(lái)了極大的便利。但是對(duì)于凸函數(shù)的極值問(wèn)題的討論卻鮮見(jiàn)

報(bào)道。為此，本文從凸函數(shù)的基本定義和性質(zhì)出發(fā)，研究可導(dǎo)凸函數(shù)極值問(wèn)題，探討凸函

數(shù)極值的充分條件，并討論相應(yīng)的最值問(wèn)題，以期揭示可導(dǎo)凸函數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)的分

布規(guī)律。

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見(jiàn)于Jenn著作中，它在純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用

數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)規(guī)劃，對(duì)策論數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)，變分學(xué)和最優(yōu)

控制學(xué)的理論基礎(chǔ)和有力工具。為了理論上的突破，加強(qiáng)他們?cè)趯?shí)踐中的應(yīng)用，產(chǎn)生了廣

義凸函數(shù)。本文由凸函數(shù)的定義出發(fā)，研究了凸函數(shù)的判定及其應(yīng)用，總結(jié)了凸函數(shù)的許

多重要性質(zhì)，應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中，結(jié)合正定矩陣在最優(yōu)化的圖規(guī)劃和函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題的應(yīng)

用，拓寬了凸函數(shù)極值問(wèn)題的新領(lǐng)域。

凸函數(shù)是一類有著廣泛應(yīng)用的特殊函數(shù)，具有許多特殊的性質(zhì)，它的最大值與最小值

有著一些特殊的性質(zhì)，因此，探討和總結(jié)凸函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用能深刻理解和牢固掌握函數(shù)

的概念和性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維和創(chuàng)新意識(shí)具有重要作用。

本文共分四章，包括了凸函數(shù)定義及性質(zhì)與極值的定義與判別法，凸函數(shù)與極值相關(guān)

理論和利用凸函數(shù)求解極值問(wèn)題。

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4

第一章凸函數(shù)的定義與性質(zhì)

1.1一元凸函數(shù)的定義與性質(zhì)

1.1.1一元凸函數(shù)的定義

定義1]1[設(shè)函數(shù)??xf在I上有定義，若??1,0,

2,1

?????Ixx，總有

??????????

2121

11xfxfxxf???????????1

或

??????????

2121

11xfxfxxf???????????2

稱??xf為I上的凸函數(shù)（凹函數(shù)）。

定義2]1[在定義1中，若

12

xx?，且不等式（1）（2）嚴(yán)格成立，則稱??xf為I上嚴(yán)

格凸函數(shù)（嚴(yán)格凹函數(shù)）。

我們給出了凸函數(shù)的定義，要證明它是嚴(yán)格凸函數(shù)唯一的條件是

12

xx?，只要

12

xx?那

么不等式（1）（2）就嚴(yán)格成立。

由定義1，定義2，容易證明：若函數(shù)??xf為I上的凸函數(shù)，則??1,0,

2,1

?????Ixx，

有

??????????

2121

11xfxfxxf?????????

若0,

21

?xx，則有0,

21

???xx

那么??????1,0,

21

???????Ixx，

??????????????

2121

11xfxfxxf?????????????

則

??????????????

2121

11xfxfxxf???????????

有

??????????????

2121

11xfxfxxf?????????

則函數(shù)??-fx為I上的凹函數(shù)。由凸函數(shù)的定義我們很容易證明凹函數(shù)，由凸函數(shù)性

質(zhì)及其相關(guān)問(wèn)題，自然而然的就能推到凹函數(shù)中去。

1.1.2一元凸函數(shù)的性質(zhì)

1.凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)函數(shù)

)(xf

,)(xg在區(qū)間I為凸函數(shù)，則函數(shù)

)(xf

+

)(xg

在區(qū)間I也為凸函數(shù)。

我們?cè)谧C明凸函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，知道函數(shù)

)(xf

,)(xg在區(qū)間I為凸函數(shù)，根據(jù)定義

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5

寫(xiě)出它的運(yùn)算公式，函數(shù)

)(xf

+

)(xg

的和就是兩個(gè)運(yùn)算公式的和，在區(qū)間I上也是成立的，

證明過(guò)程如下：

證明：

Ixx??

21

,

,

)1,0(???,因函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間I為凸函數(shù)，

從而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf?????????

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg?????????

從而

)]()()[1()]()([)])1(())1(([

22112121

xgxfxgxfxxgxxf????????????????

因此

)(xf

+

)(xg

在區(qū)間I也為凸函數(shù)。

推論1設(shè)函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間I為凸函數(shù)，

21

,kk為非負(fù)實(shí)數(shù),則)()(

21

xgkxfk?也

為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

根據(jù)性質(zhì)1的證明：我們同樣可以證明出推論1的結(jié)論。證明如下：

Ixx??

21

,

,

)1,0(???,因函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間I為凸函數(shù)，

從而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf?????????

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg?????????

又因?yàn)?/p>

21

,kk為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以有

)()(

21

xgkxfk?=????

211

1xxfk????+????

212

1xxgk????

?????????

211

1xfxfk????+????????

212

1xgxgk????

因此)()(

21

xgkxfk?在區(qū)間I也為凸函數(shù)。

性質(zhì)2設(shè)函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間I為凸函數(shù)，則

)}(),(max{xgxf

在區(qū)間I也為凸函數(shù)。

分析：利用凸函數(shù)的定義和兩個(gè)函數(shù)最大值的性質(zhì)可以證明)}(),(max{xgxf在區(qū)間I

也為凸函數(shù)。

證明：

Ixx??

21

,

,

)1,0(???,因函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間I為凸函數(shù)，從而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf?????????

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg?????????

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6

令

)(xF

=

)}(),(max{xgxf

,則

)})1((),)1((max{))1((

212121

xxgxxfxxF?????????????

1212

1122

12

max{()(1)(),()(1)()}

max{(),()}(1)max{(),()}

()(1)()

fxfxgxgx

fxgxfxgx

FxFx

????

??

??

?????

???

???

因此

)}(),(max{xgxf

在區(qū)間I也為凸函數(shù)。

性質(zhì)3設(shè)函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間

),(ba

為遞增的非負(fù)凸函數(shù)，則

)()(xgxf

在區(qū)間

),(ba

也為凸函數(shù)。

分析：利用凸函數(shù)的定義和函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性可以證明

)()(xgxf

在區(qū)間

),(ba

也為凸

函數(shù)。

證明：

Ixx??

21

,

,

)1,0(???,因函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間I為凸函數(shù)，從而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf?????????

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg?????????

從而

1212

22

11122122

22

1122

1122

((1))((1))

()()(1)[()()()()](1)()()

()()(1)()()

()()(1)()()

fxxgxx

fxgxfxgxfxgxfxgx

fxgxfxgx

fxgxfxgx

????

????

??

??

????

??????

???

???

可得，)()(xgxf在區(qū)間),(ba也為凸函數(shù)。

推論2

)(xf

為區(qū)間I上的凸函數(shù)，

k

為非負(fù)實(shí)數(shù)，則

)(xkf

也為區(qū)間I上的凸函數(shù)。

性質(zhì)4設(shè)函數(shù)

)(xf

在

),(ba

區(qū)間為非負(fù)凸函數(shù)，則)(xfn在區(qū)間

),(ba

上也為凸函數(shù)。

利用不等式的性質(zhì)和函數(shù)的連續(xù)可以證明)(xfn在區(qū)間

),(ba

上也為凸函數(shù)。

證明：

),(,

21

baxx??

，因函數(shù)

)(xf

為非負(fù)凸函數(shù)，可知

)(xf

在x連續(xù)，且

0?)

2

(21

xx

f

?

?12

()()

2

fxfx?

從而)(xfn在區(qū)間

),(ba

連續(xù)，

因Nn??,0,??ba有

()

2

n

ab?

?()

2

nnab?

，

因此

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7

)

2

(21

xx

fn

?

?[12

()()

2

fxfx?

]n?12

()()

2

nnfxfx?

可知)(xfn在區(qū)間

),(ba

上也為凸函數(shù)。

性質(zhì)5設(shè)函數(shù)

)(xf

在區(qū)間

),(ba

為凸函數(shù)，設(shè)函數(shù)

)(xg

在區(qū)間

),(dc

為單調(diào)增加凸函

數(shù)，且

)(xf

的值域A=),()},()({dcbaxxf??，則

)]([xfg

在

),(ba

為凸函數(shù)。

證明：

Ixx??

21

,

,

)1,0(???,因函數(shù)

)(xf

,

)(xg

在區(qū)間I為凸函數(shù)，從而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf?????????

且

)()1()())1((

2121

xgxgxxg?????????

因此

121212

[((1))][()(1)()][()](1)[()]gfxxgfxfxgfxgfx??????????????

可知

)]([xfg

在

),(ba

為凸函數(shù)。

性質(zhì)6設(shè)

)(xfy?

在區(qū)間I為嚴(yán)格減少的凸函數(shù)，則反函數(shù))(1yfx??也為凸函數(shù)。

分析:根據(jù)凸函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)

)(xfy?

在區(qū)間I上的單調(diào)性

可以證明反函數(shù))(1yfx??也為凸函數(shù)。

證明：因

)(xfy?

在區(qū)間I上嚴(yán)格減少，從而存在反函數(shù))(1yfx??，設(shè)

A=})({Ixxfyy??，

)1,0(???.Ayy??

21

,,則Ixx??

21

,，使

)(),(

2211

xfyxfy??

即

)(),(

2

1

21

1

1

yfxyfx????

則

)(xfy?

為凸函數(shù)，從而

)()1()())1((

2121

xfxfxxf?????????

=)]}()1()([{

21

1xfxfff?????

因?yàn)?/p>

)(xfy?

嚴(yán)格減少。因此，

2121

1)1()]()1()([xxxfxff??????????

即

)()1()(])1([

2

1

1

1

21

1yfyfyyf????????????

因此，由定義知)(1yfx??在A=})({Ixxfyy??也為凸函數(shù)。

2.凸函數(shù)的積分性質(zhì)

將凸性與函數(shù)的連續(xù)性（甚至單側(cè)連續(xù)性）、單調(diào)性等聯(lián)系起來(lái),應(yīng)用到積分學(xué)中可以

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8

得到許多好的結(jié)論。

性質(zhì)7設(shè)

()fx

是

[0,)??

上的凸函數(shù),則

0

1

()()xFxftdt

x

??為

(0,)??

上的凸函數(shù).

分析：利用凸函數(shù)的定義和求導(dǎo)公式可以證明

0

1

()()xFxftdt

x

??為

(0,)??

上的凸函

數(shù)。

證明：

()fx

為

[0,)??

上的凸函數(shù),因此它在

(0,)??

內(nèi)連續(xù),

()fx

在

[0,]x

上有界.由此知

0

1

()()xFxftdt

x

??有意義.

0x??

,令

t

u

x

?

時(shí)

1

000

1

()()()xxtt

Fxftdtfxdfxudu

xxx

??

???

??

??

???

12

(0,1),,0xx?????，恒有

1

1212

0

[(1)]{[(1)]}Fxxfxxudu??????????

=

1

12

0

[(1)]fxuxudu?????

1

12

0

[()(1)()]fxufxudu??????（因

f

的凸性）

12

()(1)()FxFx?????

所以F是

(0,)??

上的凸函數(shù).

性質(zhì)8設(shè)函數(shù)()gx在[,]ab上遞增,則(,),cab??函數(shù)()()

x

c

fxgx??為凸函數(shù).

分析：利用函數(shù)的增減性不等式的性質(zhì)可以證明函數(shù)

()()

x

c

fxgx??為凸函數(shù)。

證明：因

()gx

遞增,積分有意義.且?

123

xxx??。

2

1

21

2

2121

()()

1

()()x

x

fxfx

gxdxgx

xxxx

?

??

??

?

3

2

32

3232

()()

1

()x

x

fxfx

gxdx

xxxx

?

??

??

?

故()fx為凸函數(shù).

1.1.3一元凸函數(shù)的判定

定理1]1[設(shè)函數(shù)??xf為I上可導(dǎo)，則??xf為I凸函數(shù)的充要條件是：

12

,,xxI??總有

????????

12112

xxxfxfxf?

?

????3

且當(dāng)??xf為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，不等式（3）嚴(yán)格成立。

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9

定理

??22

函數(shù)??xf為I上的凸函數(shù)的充要條件是：總有,,,

2121

xxxIxx????

????????

xx

xfxf

xx

xfxf

?

?

?

?

?

2

2

1

1??4

且當(dāng)??xf為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，不等式（4）嚴(yán)格成立。

定理

??23

函數(shù)??xf為I上的凸函數(shù)的充要條件是：總有,,,

2121

xxxIxx????

??????

2

12

1

1

12

2xf

xx

xx

xf

xx

xx

xf

?

?

?

?

?

???5

且當(dāng)??xf為I上的嚴(yán)格凸函數(shù)時(shí)，不等式（5）嚴(yán)格成立。

定理4[11]設(shè)函數(shù)

)(xf

在開(kāi)區(qū)間I可導(dǎo)，函數(shù)

)(xf

在區(qū)間I是凸函數(shù)（凹函數(shù)）

?Ixx??

21

,，且

21

xx?,有

)()(

2

'

1

'xfxf?（)()(

2

'

1

'xfxf?）.

證明：只給出凸函數(shù)情況的證明，同法可證凹函數(shù)的情況。

必要性

)(?

若函數(shù)

)(xf

在區(qū)間I是下凸函數(shù)，Ixx??

21

,，且

21

xx?，

21

:xxxx???

由

1

1

)()(

xx

xfxf

?

?

?2

2

()()fxfx

xx

?

?

（6）

有

1

1

)()(

xx

xfxf

?

?

?

2

2

)()(

xx

xfxf

?

?

已知函數(shù)在

1

x與

2

x都可導(dǎo)（當(dāng)然也連續(xù)）。根據(jù)極限保號(hào)性定理分別有

lim

1

xx?

1

1

)()(

xx

xfxf

?

?

?lim

1

xx?

2

2

)()(

xx

xfxf

?

?

即

'

1

()fx?

21

21

)()(

xx

xfxf

?

?

與

1

1

)()(

lim

2xx

xfxf

xx?

?

?

?

2

2

)()(

lim

2xx

xfxf

xx?

?

?

即

12

12

)()(

xx

xfxf

?

?

?)(

2

'xf

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

10

于是

)(

1

'xf?

21

21

)()(

xx

xfxf

?

?

=

12

12

)()(

xx

xfxf

?

?

)(

2

'xf?

充分性

)(?

Ixxx??

21

,,,且

21

xxx??.

根據(jù)微分中值定理,

221121

:,xxx?????????,

有

1

1

)()(

xx

xfxf

?

?

=)(

1

'?f

與

2

2

)()(

xx

xfxf

?

?

=)(

2

'?f

已知)(

1

'?f?)(

2

'?f，即

1

1

)()(

xx

xfxf

?

?

?2

2

()()fxfx

xx

?

?

由（6）式知，函數(shù)在區(qū)間I是凸函數(shù)。

定理5[11]若函數(shù)

)(xf

在開(kāi)區(qū)間I存在二階導(dǎo)數(shù)，且

（1）

Ix??

,有0)(''?xf,則函數(shù)

)(xf

在區(qū)間I嚴(yán)格凸函數(shù)。

（2）Ix??,有0)(''?xf,則函數(shù)

)(xf

在區(qū)間I嚴(yán)格凹函數(shù)。

1.2多元凸函數(shù)的定義及性質(zhì)

凸函數(shù)的概念可以從一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)，但是，這需要多元函數(shù)的定義域是凸

的。

1.2.1多元凸函數(shù)的定義

定義3[12]設(shè)集合nSR?，若對(duì)于任意的

12

,xxS?以及任意的(0,1)??，有

12

(1)

a

xxxS??????

則稱集合

S

是凸集。

由定義易知，S是凸集，當(dāng)且僅當(dāng)連接S中任意兩點(diǎn)的線段在S中。

性質(zhì)9[12]集合nSR?是凸集的充要條件是對(duì)于任意自然數(shù)2n?，若點(diǎn)

12

,,,

n

xxxS?，則其非負(fù)線性組合

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

11

1

n

kk

k

xS?

?

??

其中0,

k

??且

1

1

n

k

k

?

?

??.

性質(zhì)10[12]任意兩個(gè)凸集的交集是凸集。

注1兩個(gè)凸集的并集未必是凸集。

定義4[12]設(shè),nABR?，定義

},,{BbAabaccBA??????????

性質(zhì)11[12]設(shè),()nABR?是凸集，

,??是實(shí)數(shù)，則

AB???

是凸集。

定義5[12]設(shè)nSR?是一非空凸集，

:fSR?

，若對(duì)于任意的

12

,xxS?及任意的

(0,1)??

，有

1212

((1))()(1)()fxxfxfx?????????

則稱

)(xf

在集合

S

上是凸函數(shù)；若

1212

((1))()(1)()fxxfxfx?????????

則稱

)(xf

在集合

S

上是凹函數(shù)。

1.2.2多元凸函數(shù)的性質(zhì)

定理6[12]設(shè)nSR?是凸集，

:fSR?

，則

)(xf

是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的自然數(shù)

2,,1,2,,,

k

nxSkn???有

11

()()

nn

kkkk

kk

fxfx??

??

???

其中

1

0,1

n

kk

k

??

?

???.

定理7[12]設(shè)()

i

fx是凸集

S

上的凸函數(shù)，

1,2,,,in?

又0,1,2,,

i

in???，則

1

()()

n

ii

i

fxfx?

?

??是凸函數(shù)。

定理8[12]設(shè):nfRR?是凸函數(shù)，:RR??是非減凸函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)[()]fx?是nR

上的凸函數(shù)。

1.2.3多元凸函數(shù)的判定

如果可行域是凸集，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)，則所論的最優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)凸規(guī)劃問(wèn)題。那

么哪些函數(shù)是凸函數(shù)呢?最常見(jiàn)也是最簡(jiǎn)單的凸函數(shù)是變量)(

1

?

????

n

xxx的線性函數(shù)，例

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

12

如線性規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)

nn

xcxcxcxcxcxc????????

?

44332211

，其中)......(

,1

?

?

n

ccc。需要指

出的是線性函數(shù)既是凸函數(shù)也是凹函數(shù)。

另一類常見(jiàn)的二次函數(shù)

cxbGxxxqTT???

2

1

)(

cxbxgx

j

n

i

i

n

ji

jiji

?????

??11,

2

1

其中

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

nnnn

n

n

ggg

ggg

ggg

G

?

????

?

?

21

22221

11211

是n×n階對(duì)稱陣，即)(jigg

jiij

???，),,(

1

?

?

n

xxx?。Rcbbb

n

?

?

?,),,(

1

?。

G

為

??xq的Hes矩陣。xxT?

?表示向量x的轉(zhuǎn)置。

當(dāng)矩陣G半正定時(shí)??xq是凸函數(shù)；當(dāng)G正定??xq是嚴(yán)格凸函數(shù)；當(dāng)G半負(fù)定時(shí)??xq是

凹函數(shù)；當(dāng)

G

是不定矩陣時(shí)，??xq即不是凸函數(shù)也不是凹函數(shù)。

定理9設(shè)??xf是定義在凸函數(shù)集D上的一階可微連續(xù)函數(shù)，則??xf是D上嚴(yán)格凸函

數(shù)的充分必要條件是：

)()()()(xyxfxfyfT????，

yxDyx???,,

。

利用凸函數(shù)的定義和泰勒展開(kāi)式即可證明。

證明必要性：設(shè)??xf是凸集D上的嚴(yán)格凸函數(shù)，則對(duì)任意的

Dyx?,

和任意的

)1,0(??，有

)()1()()1((xfyfxyf?????????

由此得

)()(

)())((

xfyf

xfxyxf

??

???

?

?

（7）

由泰勒展開(kāi)式有

)()()()())((xyoxyxfxfxyxfT???????????

代入（7）式得

)()(

)(

)()(xfyf

xyo

xyxfT??

?

???

?

?

兩邊也關(guān)于0??取極限即

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

13

)()()()(xyxfxfyfT????

充分性：設(shè)??xf滿足條件

)()()()(xyxfxfyfT????，

對(duì)任意的

Dyx?,

，取yxx)1(?????，

)1,0(??由D是凸集知Dx?，由條件得到：

DxxfxxxfxfT??????),()()()(（8）

DxxfxyxfxfT??????),()()()((9)

用?乘以(7)式，用??1

乘以(8)式后兩式相加,得

)()1()())1(()()(yfxfxyxxfxfT????????????.

由于yxx)1(?????，由上式即可得對(duì)

Dyx??,

以及??1,0???有

)()1()())1((yfxfyxf?????????

由嚴(yán)格凸函數(shù)是定義知，??xf是凸集D上的嚴(yán)格凸函數(shù)。

定理10設(shè)??xf是非空凸集nRD?上的二階連續(xù)可微函數(shù)，則若??xf的Hes

矩陣)(2xf?在D上正定，則??xf是D上的嚴(yán)格凸函數(shù)。

證明：設(shè)??xf的Hes矩陣)(2xf?在D上正定，任取兩不同點(diǎn)x,y∈D，

將??xf在點(diǎn)x處展開(kāi)，有

????))(()(

2

1

)()(2xyfxyxyxfxfyfT

T?????????（10）

其中??Dxyx??????，

)1,0(??，

由)(2xf?在D上的正定性以及

xx?

，yxx)1(?????，

)1,0(??有

0))(()(2????xxfxxT?

代入(9)式即可得到：

????)()(xyxfxfyfT????

對(duì)任意不同的

Dyx?,

成立，知??xf是D上的嚴(yán)格凸函數(shù)。

根據(jù)這個(gè)定理就可以明白為什么前面所述的二次函數(shù)??xq在nxn階對(duì)稱矩陣G正

定時(shí)是嚴(yán)格凸的，在G半正定時(shí)是凸的，在G負(fù)定時(shí)是嚴(yán)格凹的，在G半負(fù)定時(shí)是凹的。

例1判斷122)(

121

2

2

2

1

?????xxxxxxf是否為凸函數(shù)。

解：方法一

由條件知，

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

14

??1),()0,1(,

22

24

),(

2

1

)(

212121

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?xxxxxxxfTT

從而得到：在該二次函數(shù)??xf中，

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

22

24

G

是正定的。所以??xf是嚴(yán)格凸函數(shù)。

方法二

由條件得??xf的Hes矩陣??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

22

24

2xf

是正定的，由定理，知??xf是嚴(yán)格凸

函數(shù)。

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

15

第二章極值的定義及判別法

2.1一元函數(shù)極值

2.1.1一元函數(shù)極值的定義

定義1[2]一般地，設(shè)函數(shù)

)(xf

在點(diǎn)

0

x附近有定義，如果對(duì)

0

x附近的所有的點(diǎn)，都有

)()(

0

xfxf?

就說(shuō))(

0

xf是函數(shù)

)(xf

的一個(gè)極大值，記作)(

0max

xfy?，

0

x是極大值點(diǎn)。

定義2[2]一般地，設(shè)函數(shù)

)(xf

在點(diǎn)

0

x附近有定義，如果對(duì)

0

x附近的所有的點(diǎn)，都有

)()(

0

xfxf?

就說(shuō))(

0

xf是函數(shù)

)(xf

的一個(gè)極小值，記作

min

y=)(

0

xf，

0

x是極小值點(diǎn)。

極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn);極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。

注1

（1）極值是一個(gè)局部概念。由定義，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值

比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小。

（2）函數(shù)的極值不是唯一的。即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可

以不止一個(gè)。

（3）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值。

（4）若

)(xf

在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么

)(xf

在某區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上

單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值。

（5）函數(shù)

)(xf

在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)

之間必有一個(gè)極小值點(diǎn),同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)。一般地,當(dāng)函數(shù)

)(xf

在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí),函數(shù)

)(xf

在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是

交替出現(xiàn)的。

（6）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)。而使函數(shù)

取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)。

2.1.2一元函數(shù)極值的判定

定理1[2]（必要條件）設(shè)函數(shù))(

0

xfy?在點(diǎn)

0

x處可導(dǎo)，且在點(diǎn)

0

x處取得極值，則函

數(shù)

)(xf

在點(diǎn)

0

x的導(dǎo)數(shù))(

0

'xf=0.

使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)（即方程0)('?xf的實(shí)根），叫做

)(xf

的駐點(diǎn)。

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

16

注2

（1）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但是反過(guò)來(lái)，函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是它的

極值點(diǎn)。

例如，3xy?,

0

'

?x

y=0,但

0x?

不是極值點(diǎn)。

（2）如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒(méi)有駐點(diǎn)則此函數(shù)沒(méi)有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變

符號(hào)。

（3）不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。

當(dāng)我們求得函數(shù)的駐點(diǎn)后，還需要判定求得的駐點(diǎn)是不是極值。如果是，就要判定函

數(shù)在該點(diǎn)取得極大值還是極小值。

定理2[2]（第一判別法）設(shè)函數(shù))(

0

xfy?在點(diǎn)

0

x的近旁可導(dǎo)且)(

0

'xf=0.

（1）如果當(dāng)

0

xx?時(shí)，0)('?xf；當(dāng)

0

xx?時(shí)，0)('?xf；則

)(xf

在點(diǎn)

0

x取得極大

值。

（2）如果當(dāng)

0

xx?時(shí)，0)('?xf；當(dāng)

0

xx?時(shí)，0)('?xf；則

)(xf

在點(diǎn)

0

x取得極小

值。

定理3[2]（第二判別法）設(shè)函數(shù)

)(xf

在a存在n階導(dǎo)數(shù)，且

0)()()()1('''?????afafafn?,0)()(?afn

（1）n是奇數(shù)，則a不是函數(shù)

)(xf

的極值點(diǎn)；

（2）

n

是偶數(shù)，則

a

是函數(shù)

)(xf

的極值點(diǎn)；

當(dāng)0)()(?afn時(shí)，

a

是函數(shù)

)(xf

極小點(diǎn)，

)(af

是極小值；

當(dāng)0)()(?afn時(shí)，

a

是函數(shù)

)(xf

極大點(diǎn)，

)(af

是極大值。

2.1.3可導(dǎo)凸函數(shù)的極值問(wèn)題

定理4]1[設(shè)函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則??bax,

0

?為??xf的極小值的充

要條件是??0

0

?

?

xf

利用函數(shù)的最值得定義和費(fèi)馬定理可以得出此結(jié)論。

證明：必要性.設(shè)??bax,

0

?是??xf的極小值點(diǎn)，又因?yàn)??xf在點(diǎn)??bax,

0

?上是處處可

導(dǎo)的，可以根據(jù)費(fèi)馬定理知，??0

0

?

?

xf

充分性.因?yàn)??0

0

?

?

xf，則??bax,??，又因?yàn)?/p>

0

xx?，根據(jù)定理1，知

??????????

0000

xfxxxfxfxf??

?

??

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

17

我們根據(jù)函數(shù)最值的定義，??xf在

0

x處取得最小值。那么??bax,

0

?是內(nèi)點(diǎn)，所以??xf在

0

x

處取得極小值，且

0

x是??xf的極小值點(diǎn)。

推論1設(shè)函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，若

0

x是??xf的穩(wěn)定點(diǎn)，即存在

??bax,

0

?，使得

??0

0

?

?

xf

則??xf在

0

x處取得極小值，

0

x是??xf的極小值點(diǎn)，進(jìn)而??xf在

0

x處取得最小值，

0

x是??xf

的最小值點(diǎn)。

證明：因?yàn)楹瘮?shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，所以存在??bax,

0

?上處處可導(dǎo)，

使

??0

0

?

?

xf

那么??bax,??，xx?，根據(jù)引理1有

??????????

0000

xfxxxfxfxf??

?

??

根據(jù)函數(shù)最值的定義：??xf在

0

x處取得最小值，又因?yàn)?/p>

0

x是??xf的穩(wěn)定點(diǎn)，所以??xf在

0

x

處取得極小值，進(jìn)而??xf在

0

x處取得最小值，

0

x是??xf的最小值點(diǎn)。

推論2設(shè)函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則??bax,

0

??，??xf在

0

x處不取

得極大值。

證明：假設(shè)??xf在??bax,

0

?處取得極大值，則由費(fèi)馬定理，??0

0

?

?

xf。因?yàn)??0

0

?

?

xf

所以??xf在

0

x處取得極小值，

0

x是??xf的極小值點(diǎn)與??xf在??bax,

0

?處取得極大值矛盾，

所以函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則??bax,

0

??，??xf在

0

x處不取得極大值。

推論3設(shè)函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則??bax,

0

??，??xf在

0

x處不

取得最大值，即??xf在??ba,內(nèi)不取得最大值。

證明：假設(shè)??xf在??bax,

0

?處取得最大值，則由于??bax,

0

?是內(nèi)點(diǎn)，所以??xf在

0

x處

取得最大值，與推論2中函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，則??bax,

0

??，??xf在

0

x處不取得極大值矛盾，所以推論3成立。

推論4設(shè)凸函數(shù)??xf

為閉區(qū)間??ba,

上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間??ba,

上可導(dǎo)，則??xf

在??ba,

的端點(diǎn)ax?或bx?處取得最大值，且??xf在??ba,上的最大值

??????bfafM,max?

證明：由于??xf為閉區(qū)間??ba,上連續(xù)，所以??xf為閉區(qū)間??ba,上可導(dǎo)，因此??xf

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

18

為閉區(qū)間??ba,上存在最值問(wèn)題，根據(jù)最值性定理，??xf在??ba,上取得最大值。又根據(jù)推

理3，??xf在??ba,內(nèi)不取得最大值，所以??xf的最大值只能在ax?或

bx?

處取得，且??xf

在??ba,上的最大值為

??????bfafM,max?

通過(guò)以上我們知：可導(dǎo)凸函數(shù)??xf的穩(wěn)定點(diǎn)即是??xf的極小值點(diǎn)與最小值點(diǎn)。與此

同時(shí)，可導(dǎo)凸函數(shù)??xf在??ba,內(nèi)部沒(méi)有極大值點(diǎn)，從而在??ba,內(nèi)不取得最大值。

接下來(lái)我們討論可導(dǎo)嚴(yán)格凸函數(shù)極值問(wèn)題。有以下定理：

定理5設(shè)函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)，若

0

x是??xf的穩(wěn)定點(diǎn)，則

0

x

是??xf在??ba,上的唯一極小值點(diǎn)。

證明：函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的凸函數(shù)，若

0

x是??xf的穩(wěn)定點(diǎn)。即存在

??bax,

0

?使得

??0

0

?

?

xf

則??xf在

0

x處不取得極小值，

0

x是??xf的極小值點(diǎn)，

0

x必是??xf在??ba,上的唯一極小值

點(diǎn)。如果不是的話，假設(shè)??xf在??ba,上另有一個(gè)極小值點(diǎn)

x

?

，不妨設(shè)xx

?

?

0

。則由函數(shù)極

值的定義，存在

2

0:0

xx?

?

????，當(dāng)???,

0

xx??時(shí)，????

0

xfxf?；當(dāng)???,xx

?

??時(shí)，

????xfxf

?

?

現(xiàn)任取???,

0

0

1

xx???

，

???,0

2

xx

?

???，則有

????

01

xfxf?，????xfxf

?

?

2

從而

????

0

01

01?

?

?

xx

xfxf

，

????

0

2

2?

?

?

?

?

xx

xfxf

注意到xxxx

?

???

210

，且??xf嚴(yán)格凸函數(shù)，因此由定理2，有

????

????????

00

2

2

12

12

01

01?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xfxf

產(chǎn)生矛盾。所以不存在另一個(gè)極小值x

?

，故

0

x是??xf在??ba,上的唯一極小值點(diǎn)。

推論5設(shè)函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)，且

0

x是??xf的穩(wěn)定點(diǎn)，

0

x是

??xf在??ba,上的最小值點(diǎn)。

證明：因?yàn)楹瘮?shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,上可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)，

0

x是??xf的穩(wěn)定點(diǎn)，根據(jù)

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

19

推論1知

0

x是??xf的最小值點(diǎn)，即推論5成立。

定理5及其推論表明，可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)??xf的穩(wěn)定點(diǎn)必是??xf在??ba,上的唯一極

小值點(diǎn)，且是最小值點(diǎn)。定理5也告訴了我們可導(dǎo)凸函數(shù)與可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)的區(qū)別，就

是可導(dǎo)凸函數(shù)的極小值點(diǎn)（如果存在的話）可能有一個(gè)或者無(wú)窮多個(gè)，例如常量函數(shù)??xf=c

是??????,上的可導(dǎo)的凸函數(shù)，它的定義域內(nèi)每一點(diǎn)???????,x都是??xf的極小值點(diǎn)。但

可導(dǎo)的嚴(yán)格凸函數(shù)的極小值點(diǎn)（如果存在的話）只能有一個(gè)。

2.1.4一般凸函數(shù)的極值問(wèn)題

由于在凸函數(shù)的定義中并沒(méi)有對(duì)函數(shù)??xf作出連續(xù)性及可導(dǎo)性假設(shè)，因此一方面凸函

數(shù)可能是不連續(xù)的，進(jìn)而也是不可導(dǎo)的。例如，若令函數(shù)

0,1

1,1

(){x

x

fx?

?

?

則容易證明??xf在??1,1?上是凸函數(shù)，但??xf在??1,1?上分別是不連續(xù)和不可導(dǎo)的，另一方

面連續(xù)函數(shù)和可導(dǎo)函數(shù)也可能不是凸函數(shù)。例如??3xxf?在R上是連續(xù)且可導(dǎo)的，但??xf

在R上不是凸函數(shù)。這樣，當(dāng)??xf在I上不可導(dǎo)時(shí)，上述定理及其推論失效。盡管如此，

對(duì)于一般凸函數(shù)，有以下定理。

定理6設(shè)函數(shù)??xf為開(kāi)區(qū)間??ba,內(nèi)的凸函數(shù)，且不恒為常數(shù)，則??xf在??ba,內(nèi)不

取得最大值。

由函數(shù)最值得定義和以上定理3的內(nèi)容可以充分證明此結(jié)果。

證明：假設(shè)??xf在??bax,

0

?處取得最大值??

0

xf，則由函數(shù)最值的定義，??baxx,,

21

??，

201

xxx??，有

????

10

xfxf?，????

20

xfxf?

此時(shí)，不等式????

10

xfxf?與????

20

xfxf?至少有一個(gè)成立。否則，

??????

210

xfxfxf??

這與??xf不恒為常數(shù)矛盾。于是由定理3，有

??????????

00

12

10

12

02

2

12

10

1

12

02

0

xfxf

xx

xx

xx

xx

xf

xx

xx

xf

xx

xx

xf?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

產(chǎn)生矛盾。

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20

2.2多元函數(shù)極值

2.2.1多元函數(shù)極值的定義

以二元函數(shù)為例

定義3]2[設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

0

P),(

00

yx的某鄰域內(nèi)有定義，如果在該鄰域內(nèi)異于

點(diǎn)

0

P),(

00

yx的任何點(diǎn)P(x,y)，都有

f(x,y)?

),(

00

yxf

（或f(x,y)?

),(

00

yxf

）

則稱

),(

00

yxf

為函數(shù)f(x,y)的一個(gè)極大值（或極小值），極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。

使函數(shù)取極值的點(diǎn)),(

00

yx叫函數(shù)的極值點(diǎn)。

2.2.2多元函數(shù)極值的判定

定理8]2[（極值的必要條件）設(shè)可導(dǎo)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)),(

000

yxP取得極值，則必

有

0000

(,)0,(,)0

xy

fxyfxy??

我們稱使

0000

(,)0(,)0

xy

fxyfxy??和成立的點(diǎn)),(

00

yx為二元函數(shù)

(,)zfxy?

的駐點(diǎn)。在偏

導(dǎo)數(shù)都存在的條件下，函數(shù)的極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

雖然函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，但定理8為尋找可導(dǎo)函數(shù)的可能極值點(diǎn)劃定了范圍。

我們可以先把函數(shù)的駐點(diǎn)都找出來(lái)，再逐一加以判別。下面介紹一個(gè)判別二元函數(shù)極值的

充分條件。

定理9]2[（極值的充分條件）設(shè)函數(shù)(,)zfxy?在點(diǎn)),(

000

yxP的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一

階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，點(diǎn)),(

000

yxP是函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)駐點(diǎn)，即

0000

(,)0,(,)0

xy

fxyfxy??

記

000000

(,),(,),(,)

xxxyyy

AfxyBfxyCfxy???

則有

（1）若B2－AC?0,A?0,則

),(

00

yxf

為函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)極大值；

（2）若B2－AC?0,A?0,則

),(

00

yxf

為函數(shù)z=f(x,y)的一個(gè)極小值；

（3）若B2－AC?0,則

),(

00

yxf

不是函數(shù)z=f(x,y)的極值。

注意：當(dāng)B2－AC=0時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)),(

00

yx可能有極值，也可能沒(méi)有極

值，需另行討論。

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

21

為談?wù)摱瘮?shù)f在點(diǎn)??

000

,yxp?取得極值的充分條件，我們假定f具有二階連續(xù)

可微偏導(dǎo)數(shù)，并記

??

????

????

0

00

00

0

p

yyyx

xyxx

yyyx

xyxx

fff

ff

pfpf

pfpf

pH

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

，

它稱為f在

0

p的黑塞(Hes)矩陣為對(duì)稱陣。

定理10(極值充分條件)設(shè)二元函數(shù)f在點(diǎn)??

000

,yxp?的某鄰域??

0

pU內(nèi)具有二階

連續(xù)偏導(dǎo)函數(shù)，且

0

p是f的穩(wěn)定點(diǎn)，則當(dāng)??

0

pH

f

是正定矩陣時(shí)，f在

0

p取得極小值；當(dāng)

??

0

pH

f

是負(fù)定矩陣時(shí)，f在

0

p取得極大值；當(dāng)??

0

pH

f

是不定矩陣時(shí)，f在

0

p不取極

值。

分析：利用反證法通過(guò)泰勒公式和函數(shù)在單位圓的性質(zhì)證明極值問(wèn)題。

證明：由f在

0

p的二級(jí)泰勒公式，并注意到條件????0

00

??pfpf

yx

，有

????

0,0

,yxfyxf?????????22

0

,,,

2

1

yxoyxpHyx

f

???

?

?????

其中

0

xxx???，

0

yyy???。

由于??

0

pH

f

正定，所以對(duì)任何????0,0,???yx，使二次型

????????0,,,

0

?

?

???????yxpHyxyxQ

f

，

因此存在一個(gè)與

yx??,

無(wú)關(guān)的q，事實(shí)上因?yàn)?/p>

????22/,yxyxQ????????????

?vupHvu

f

,,

0

??vu,??，

其中22/yxxu?????，22/yxyv?????。

顯然??vu,?是??vu,的連續(xù)函數(shù)。由于122??vu，因此?中在單位圓122??vu上必有最

小值

02?q

。又因????0,0,?vu，故q>0。使得

????22,2,yxqyxQ?????。

從而對(duì)于充分小的??

0

pU，只要????

0

,pUyx?，就有

????????2222

00

,,,,yxoyxqyxfyxf?????????????01,22?????oqyx

即f在點(diǎn)??

00

,yx取得極小值。

同理，可證??

0

pH

f

為負(fù)定矩陣時(shí)f在

0

p取得極大值，再用反證法證明，當(dāng)??

0

pH

f

不定時(shí)，

f在

0

p不取極值。

例1求出函數(shù)????1632

2121

2

1

3

1

?????xxxxxxxf的穩(wěn)定點(diǎn)，其中哪一點(diǎn)是極小值點(diǎn)?

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

22

哪一點(diǎn)是極大值點(diǎn)?有沒(méi)有既不是極大值點(diǎn)又不是極小值點(diǎn)?

解：由方程組

?

?

?

?

?

??????

??????

06126

06121266

221

2

1

2

2

2211

2

1

2

1xxxxf

xxxxxxf

x

x

得到f的穩(wěn)定點(diǎn)??0,0

1

p；??1,0

2

p；??1,1

3

??p；??0,1

4

p。

由于

21

12612

11

xxf

xx

???，61212

21

21

????xxf

xx

，61212

21

12

????xxf

xx

，

1

12

22

xf

xx

?

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

06

66

1

pH

f

是不定矩陣，所以f在??0,0不能取得極值。

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

06

66

2

pH

f

是不定矩陣，所以f在??1,0不能取得極值。

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

126

66

3

pH

f

是負(fù)定矩陣，所以??1,1??是f的極大值點(diǎn)。

??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

126

66

4

pH

f

是正定矩陣，所以??0,1是f的極小值點(diǎn)。

所以??xf的所有穩(wěn)定點(diǎn)為??0,0；??1,0；??1,1??；??0,1。其中??0,1是??xf的極小值點(diǎn)，??1,1??

是??xf的極大值點(diǎn)，??0,0與??1,0既不是??xf的極大值點(diǎn)也不極小值點(diǎn)。

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

23

第三章凸函數(shù)與極值相關(guān)理論

眾所周知，有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)一定能夠取到最大值與最小值，但最大值點(diǎn)與最

小值點(diǎn)可能在區(qū)域的任意點(diǎn)。但是對(duì)于凸函數(shù)來(lái)說(shuō)，它的最大（小）值有著一些特殊的性

質(zhì)。

定理1[12]設(shè)nSR?是一非空有界閉凸集，

:fSR?

是凸函數(shù)。

（ⅰ）若

0

x是

)(xf

在

S

上的局部極小值，則

0

x是

)(xf

在

S

上的最小值；

（ii）若

)(xf

是嚴(yán)格凸函數(shù)，則它在

S

上的最小值點(diǎn)是唯一的。

證明：（i）若

0

x是

)(xf

的一個(gè)局部極小值點(diǎn)，則存在

0

x的一個(gè)鄰域

0

(,)Nx?

，對(duì)于

0

(,)xNx??，有

0

()()fxfx?.

1

,0<<1,xS????有充分小的，使得

010

)(,)xxNx?????（1-

從而有

000

((1))()fxxfx?????

又由

)(xf

是凸函數(shù)，故有

001

()(1)()()fxfxfx?????

移項(xiàng)即可得，

01

()()fxfx?，故

0

()fx在

S

上取最小值；

（ii）假設(shè)

)(xf

在

S

上的兩點(diǎn)

0

x,

1

x取到最小值，即

01

()()min{()}fxfxfxxS???.

因S是凸集，故對(duì)于

01

(0,1),(1)xxS???????.

又由

)(xf

是嚴(yán)格凸的，則有

01010

((1))()(1)()()fxxfxfxfx??????????

這與

0

()fx在

S

上取最小值矛盾。

定理2[12]有界閉凸集

S

上的凸函數(shù)

)(xf

必在

S

的邊界S?上取到最大值。

證明：設(shè)

00

,()max{()}nxSRfxfxxS????，

若

0

xS??則定理得證；否則，

0

xS?的內(nèi)點(diǎn)，過(guò)

0

x任做一“直線”，由有界閉凸集的性質(zhì)，

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

24

該“直線”必與邊界S?交于兩點(diǎn)，設(shè)為

12

,xx,于是存在正數(shù),1??????且.

由假設(shè)知

1020

()(),()()fxfxfxfx??

故

若

20

()()fxfx?，則

010

()()()fxfxfx????

即

01

(1)()()fxfx????

從而有

01

()()fxfx?，這與點(diǎn)

0

x為最大值點(diǎn)矛盾，故

20

()()fxfx?.

同理

120

()()()max{()}fxfxfxfxxS????.

定理3[12]設(shè)nSR?為有界凸多面體，

12

,,,

N

xxx為S的頂點(diǎn)，

)(xf

為S上的凸函數(shù)，

則

)(xf

的最大值必在

S

的頂點(diǎn)上取到，即

max{()}max{()1}

i

fxxSfxiN????

證明：由定理2知，存在

0

xS??,使

0

()max{()}fxfxxS??

設(shè)

0

x在S的某一側(cè)面

?

上，則

?

的頂點(diǎn)是S的頂點(diǎn)中的一部分。若

0

x是

?

的頂點(diǎn)，則結(jié)論

已成立；若

0

x不是

?

的頂點(diǎn)，設(shè)

1

x，…，

m

x是

?

的頂點(diǎn)，則存在

112

0,,0,1

mm

??????????

且

011mm

xxx?????

由

)(xf

的凸性知，

00

11

()()()()

mm

iiii

ii

fxfxfxfx??

??

?????

由此可知

0

()(),1,2,,.

i

fxfxim??

01212

()()()()fxfxxfxfx????????

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

25

注1若

)(xf

是凹函數(shù)，則

)(xf

在凸多面體上的最小值必在該多面體的頂點(diǎn)得到。

推論1若

)(xf

是有界凸多面體nSR?上的線性函數(shù)，則

)(xf

的最大值，最小值都在

該多面體的頂點(diǎn)上取到。

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

26

第四章利用凸函數(shù)求解極值問(wèn)題

4.1將極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為凸函數(shù)問(wèn)題求解

例1[13]在條件11116xxyy????????的約束下，求函數(shù)

2

(,)sin

4

xy

fxy

?

?的最

大值和最小值。

解：約束條件在xy平面上構(gòu)成一個(gè)八邊形（如圖4-1）。

y

x

(1,-2)

(2,-1)

(2,1)

(1,2)

(-1,2)

(-2,1)

(-2,-1)

(-1,-2)

圖4-1

先考慮函數(shù)

2

(,)

4

xy

gxy

?

?,由于2x是一元凸函數(shù)，

222

1212

[(1)](1)xxxx?????????

而y是線性函數(shù)，所以

2

1212

1122

22

1122

1122

[(1)][(1)]

[(,)(1)(,)]

4

(1)(,)(1)(,)

44

xxyy

gxyxy

xyxy

gxygxy

????

??

????

?????

???

??

??????

有

(,)18

5

max(,)max(,)(2,1)

4ii

xyDi

gxygxyg

???

???，

又由于

5

,

42

?

?sinx在,

22

??

??

?

??

??

上單調(diào)增，所以

2

(,)

5

maxsinsin.

44xyD

xy

?

?

?

至于最小值，我們注意到當(dāng)x的絕對(duì)值越小，y的值越小，(,)gxy越小，故

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

27

2

1

)2,0(),(min

),(

????

?

gyxg

Dyx

再由sinx的單調(diào)性，有

(,)

1

min(,)sin

2xyD

fxy

?

??

.

注意，

(,)fxy

的極小值點(diǎn)不在八邊形的頂點(diǎn)集上。

例2[12]已知,xy滿足下列不等式

270,43120,230xyxyxy?????????

求22(,)fxyxy??的最大值和最小值。

解：約束條件構(gòu)成

(,)xy

的區(qū)域?yàn)橄聢D（4-2）中以

5

(9,8),(2,),(3,0)

2

ABC?

為頂點(diǎn)的三

x

y

H

C(3,0)

B(-2,5/2)

A(9,8)

O

圖4-2

角形閉域

S

.

我們來(lái)證明

(,)fxy

是

S

上的下凸函數(shù)。對(duì)于任意的

112222

(,)(,)MxyMxy與，

2211

(,)(,)xyAxy2

2

x

y

??

??

??

=22

22

2()0xy??

可知(,)fxy是S上的下凸函數(shù)。可得

max{(,)(,)}max{(),(),()}()(9,8)145fxyxySfAfBfCfAf?????

為求min{()}fMMS?,首先注意到，對(duì)于,()MSfM?表示點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，故

22

3

3

min{()}

5

12

fMMSOH

?

????

?

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

28

從而得

9

min{(,)(,)}

5

fxyxyS??

4.2弓形面積的最值

下面我們通過(guò)一個(gè)例題來(lái)研究求弓形面積的最值問(wèn)題。

例3求拋物線axy42?與過(guò)焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形的面積的最小值。

解法1：弦方程法:

圖4-3

設(shè)過(guò)焦點(diǎn)??0,a的弦的方程為

akyx??

與axy42?聯(lián)立

解這個(gè)方程

??akyay??42??

?122

1

???kkay，?

?122

2

???kkay

且

21

yy?，這樣就有了弦與拋物線圍成的弓形的面積為

dy

a

y

akysy

y??

?

?

?

?

?

?

?

???2

14

2

2

1

122

32

y

ya

y

ay

ky

?

?

?

?

?

?

?

?

???

??????3

1

3

212

2

1

2

212

1

2

yy

a

yyayy

k

??????

我們把

1

y和

2

y的值代入

??2

3

221

3

8

??kas

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

29

通過(guò)這個(gè)得式我們觀察到：當(dāng)

0?k

時(shí)弓形面積最小，最小面積為2

3

8

a

。

解法2：極坐標(biāo)方程法

取??0,a為極點(diǎn)，x軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線axy42?的極坐標(biāo)方程為

2224cos4sinaapp????

化簡(jiǎn)得

?cos1

2

?

?

a

p

過(guò)焦點(diǎn)的弦的極坐標(biāo)方程為??????0,a

，這樣我們就可以得到弦與拋物線圍成的弓形

面積為

??

?

?

?

d

a

sa

a

2

2

cos1

4

2

1

?

???

?

?

?

daa

a???

2

sin4

1

2

4

2

)

2

(

2

csc42

???

daa

a???

2

cot)

2

cot1(22

???

daa

a?????

?

??

???a

a

a|)

2

cot

3

1

2

(cot-32

)

2

cot

3

1

2

cot

2

tan

3

1

2

(cot332

aaa

a????

?

)

2

cos

2

sin

)

2

(cos)

2

(sin

3

1

2

cos

2

sin

1

(

33

3232

2

aa

aa

aa

a

?

??

)

sin3

cos31

sin

1

(2

3

2

2

a

a

a

a

?

??

a

a

3

2

sin3

8

?

當(dāng)

2

?

?a時(shí)，弓形的面積最小，那么它的最小面積是2

3

8

a

。

解法3：解法1和解法2綜合法

我們將解法1和解法2結(jié)合起來(lái)，也就是說(shuō)先在極坐標(biāo)系下判定何時(shí)面積最小，然后

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

30

在直角坐標(biāo)系下求得面積。

由解法2，我們得到的面積

?

?

?

d

a

sa

a??

?

?

2

2

cos1(

4

2

1

）

2

2

)

cos1

2

2

1

-

cos(1

2

2

1

a

a

a

a

da

ds

?

?

?

?

?

?

?

??

?（

）?

令

0?

da

ds

時(shí)，得

2

?

?a

由于駐點(diǎn)唯一，所以當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的直線垂直x軸時(shí)，弓形面積最小。此時(shí)的最小面積為：

dxaxsa??

0

42

ax

a

0

2

3

|

3

8

?2

3

8

a?

從以上我們可以看出：無(wú)論哪種解法，我們計(jì)算起來(lái)都有一定的難度，我們通過(guò)例題

所描述的問(wèn)題推廣到一般的情形，同時(shí)也給出了不同的解法。

結(jié)論：設(shè)

),(),(??????yygx

是一光滑凸函數(shù)，),(

00

yx是曲線右側(cè)的一個(gè)定點(diǎn)，試

求過(guò)),(

00

yx且與曲線

)(ygx?

相交的諸弦中，與曲線所圍成的弓形面積最小的弦的位置。

解如圖4-4，設(shè)過(guò)點(diǎn)),(

00

yx的弦的方程為

00

)(xyykx???，它與曲線

)(ygx?

交點(diǎn)

的縱坐標(biāo)為)(

11

kyy?，)(

22

kyy?，不妨設(shè)

21

yy?

于是我們就得到了弦對(duì)應(yīng)的弓形的面積為

??dyygkyxkysky

ky?????)(

)

00

2

1

)(

（

dyygykyxy

kky

ky

ky

ky

)(|)(

2

)(

)(

)(

)(00

22

1

2

1??

?

?

?

?

?

?

???

????

??dyygkykykyx

kykkykky

ky

)()()()(

2

)()()(

)(

1200

2

1

2

22

1

?????

?

?

????

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?)()()()(

2

)()(

dk

ds

1122

2

1

2

2kykykykyk

kyky

????)(-)()()(-

1200120

kykykyxkykyy

??

???）（

????)()((

1122

kykygkykyg

?

?

?

?））（

????

??)(-

2

)(

120

2

1

2

2kykyy

kyky

）（

）（

?

?

?

????)()(

10012002

kykyxkkykykyxkky

?

???

?

???）（）（

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

31

????)()((

1122

kykygkykyg

?

?

?

?））（

因?yàn)樵谇€與弦的交點(diǎn)有

??

0011

)(xyykyg???，??

0022

)(xyykyg???

所以

????

??)(-

2

)(

120

2

1

2

2kykyy

kyky

dk

ds

）（

）（

?

?

?

????

2

)(2

01

2

02

ykyyky???

?

）（

令

0?

dk

ds

得：????2

01

2

02

)(ykyyky???）（

??

2

))

))

12

0

0102

kyky

y

ykyyky

（（

（（

?

?

????

圖4-4

這就是說(shuō)，當(dāng)點(diǎn)),(

00

yx為弦的中點(diǎn)時(shí)，所形成的弓形的面積最小。

哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

32

參考文獻(xiàn)

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哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）

33

后記

本篇論文是在我的指導(dǎo)老師黃永輝老師的悉心指導(dǎo)下完成的。她治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，工作精

益求精，在寫(xiě)論文的這段時(shí)間給我以精心指導(dǎo)，在此謹(jǐn)向黃永輝老師致以誠(chéng)摯的謝意和

崇高的敬意，也感謝在這四年的大學(xué)生活中辛勤培養(yǎng)過(guò)我的各位老師。我還要感謝在最

后論文排版的時(shí)候給予我?guī)椭耐瑢W(xué)們，正是由于你們的幫助，我才能順利地完成論文

的最后收尾工作。

最后，再次對(duì)幫助我的老師和同學(xué)表示衷心地感謝！