八次函數(shù)

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高中函數(shù)總結(jié)歸納

高中函數(shù)總結(jié)歸納

高中函數(shù)總結(jié)表許騰

函數(shù)圖像定義域yy值域單調(diào)性奇偶性對(duì)稱(chēng)性最值周期一次函數(shù)

OxOxRy=kx+b(k≠0）(k＞0,b＞0)(k＞0,b＜0)yRk＞0時(shí)，在R上單調(diào)遞

增；k＜0時(shí)，在R上單調(diào)遞減。當(dāng)b=0既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖

形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心。時(shí)，是奇函數(shù)。yOxOx(k＜0,b＞0)(k＜

0,b＜0)R當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)當(dāng)a＞0時(shí)，在(∞，,+y=ax2+bx+c（a≠0）

y∈［4acb24ab］上單調(diào)遞2a減；在[b，+∞）∞);解析

式:2y=a(x+b)2+4acb2a4a當(dāng)a＜0時(shí)，y∈(∞，2aa＞0上單調(diào)遞增。當(dāng)a＜

0時(shí)，在(∞，4acb］4a2b］上單調(diào)遞2a增；b=0時(shí)，是偶函數(shù)關(guān)于x=b2a

當(dāng)a＞0時(shí)，有最小值，為4acb24a成軸對(duì)稱(chēng)當(dāng)a＞0時(shí)，有最大值，為

4acb24a在[b，+∞）a＜0反比例函數(shù)y=(k≠0)kx2a上單調(diào)遞減。k＞

0x≠0y≠0當(dāng)k＞0時(shí)，在(∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞減當(dāng)k＜0時(shí)，在

(∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)遞奇函數(shù)既是軸對(duì)稱(chēng)又是中心對(duì)稱(chēng)。關(guān)于原點(diǎn)

O中心對(duì)稱(chēng)；關(guān)于y=x成軸對(duì)稱(chēng)。增k＜0第1頁(yè)高中函數(shù)總結(jié)表許騰

指數(shù)函數(shù)y=ax0＜a＜1R當(dāng)0＜a＜1時(shí)，在R上單調(diào)遞減。（0，+∞）

非奇非偶(a>0且a≠1)當(dāng)a>1時(shí)，在R上單調(diào)遞增。a>1對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga

一般地，如果a(a>0且a≠1)的b次冪等于N，那么數(shù)b叫做以a為底N的

對(duì)數(shù)，記作logaN=b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。x(a>0且a≠1)0

＜a＜1（0，+∞）R當(dāng)0＜a＜1時(shí)，（0，+∞）上單調(diào)遞減。非奇非偶當(dāng)

a>1時(shí)，（0，+∞）上單調(diào)遞增。a>1冪函數(shù)y=xa(a為常數(shù))部分函數(shù)圖像

（第一象限）部分函數(shù)圖像（第一象限）第2頁(yè)高中函數(shù)總結(jié)表許騰

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正弦函數(shù)y=sinx,x∈RR[-1,1]]，k在[2k-，2k+22∈z上單調(diào)遞

增；在[2k+，2k+3]，k22奇函數(shù)關(guān)于（k，0）成中心對(duì)稱(chēng)；關(guān)于

x=k+成2軸對(duì)稱(chēng)。ymax=1；ymin=-1.2∈z上單調(diào)遞減；余弦函數(shù)

y=cosx,x∈RR[-1,1]在[2k+，2k+2]，k∈z上單調(diào)遞增；在

[2k，2k+]，k∈z上單調(diào)遞減；偶函數(shù)關(guān)于（k+，0）2成中心對(duì)

稱(chēng)；關(guān)于x=k成軸對(duì)稱(chēng)。ymax=1；ymin=-1.2正切函數(shù)

y=tanx,xx2k,kZ2k,kZR在[2k-，k+]上單22調(diào)遞增。奇函數(shù)，關(guān)于

（k20）中心對(duì)稱(chēng)。

第3頁(yè)

擴(kuò)展閱讀：高中函數(shù)歸納總結(jié)梳理知識(shí)點(diǎn)(百科眾多函數(shù)再總結(jié)而來(lái))

七彩希翼

一次函數(shù)

一、定義與定義式：自變量x和因變量y有如下關(guān)系：y=kx+b（k為常

數(shù)，k≠0）則此時(shí)稱(chēng)y是x的一次函數(shù)。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y是x的正黑枸杞作用與功效 比例函數(shù)。即：y=kx（k為常數(shù)，

k≠0）二、一次函數(shù)的性質(zhì)：

1.y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k即：y=kx+b（k

為任意不為零的實(shí)數(shù)b取任何實(shí)數(shù)）2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截

距。三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：

1．作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟（1）列表；（2）描點(diǎn)；

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（3）連線，可以作出一次函數(shù)的圖像一條直線。因此，作一次函數(shù)的

圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交

點(diǎn)）

2．性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：

y=kx+b。年輕人為什么會(huì)低血壓 （2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于

（-b/k，0）正比例函數(shù)的圖像總是過(guò)原點(diǎn)。3．k，b與函數(shù)圖像所在象

限：

當(dāng)k＞0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0

時(shí)，直線必通過(guò)二、四象限，y隨x的增大而減小。當(dāng)b＞0時(shí)，直線必通

過(guò)一、二象限；當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)

當(dāng)b＜0時(shí)，直線必通過(guò)三、四象限。

特別地，當(dāng)b=O時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖

像。

這時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限；當(dāng)k＜0時(shí)，直線只通過(guò)

二、四象限。四、確定一次函數(shù)的表達(dá)式：

已知點(diǎn)A（x1，y1）；B（x2，y2），請(qǐng)確定過(guò)點(diǎn)A、B的一次函數(shù)的表

達(dá)式。（1）設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式（也叫解析式）為y=kx+b。

（2）因?yàn)樵谝淮魏瘮?shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式y(tǒng)=kx+b。

所以可以列出2個(gè)方程：y1=kx1+b①和y2=kx2+b②（3）解這個(gè)二元一次方

程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函數(shù)的表達(dá)式。五、一次函數(shù)在生

活中的應(yīng)用：

1.當(dāng)時(shí)間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。

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2.當(dāng)水池抽水速度f(wàn)一定，水池中水量g是抽水時(shí)間t的一次函數(shù)。設(shè)

水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：（不全，希望有人補(bǔ)充）

1.求函數(shù)圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求與x軸平行線段的中點(diǎn)：

|x1-x2|/23.求與y軸平行線段的中點(diǎn)：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長(zhǎng)：√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2（注：根號(hào)下（x1-x2)與

（y1-y2)的平方和）七彩希翼

二次函數(shù)

I.定義與定義表達(dá)式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c

（a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方

向向上，a七彩希翼

例5若函數(shù)yax2ax1的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（畫(huà)圖就可以

求解）a10恒成立，a2解：∵定義域是R,∴axaxa01∴等價(jià)于0a2

a24a0a例5若函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)閇1，1]，求函數(shù)yf(x解：要使函

數(shù)有意義，必須：

11)f(x)的定義域44151x1x44131x1x44∴函數(shù)yf(x343x3544434113)f(x)

的定義域?yàn)椋簒|x444抽象函數(shù)：例6已知f(x)滿足2f(x)f(1)3x，求

f(x)；

x∵已知2f(x)f(1)3x①，

x將①中x換成

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1得2f(1)f(x)3②，xxx①2-②得3f(x)6x3∴f(x)2x1.

xx函數(shù)值域求解方法：

一、直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出yf(x)的取值范圍。

二、配方法（二次函數(shù)法）：配方法式求“二次函數(shù)類(lèi)”值域的基本方

法。形如F(x)af(x)bf(x)c的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法

三、反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通

過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

四、分離常數(shù)法：分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)

法，此類(lèi)問(wèn)題一般也可以用反函數(shù)法。五、換元法：運(yùn)用代數(shù)代換，獎(jiǎng)所給

函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如

2yaxbcxd（a、b、c、d均為常數(shù)，且a0）的函數(shù)常用此法求解。

六、判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x,y)0；通過(guò)方程有

實(shí)數(shù)根，判別式0，從而求得

a1x2b1xc1原函數(shù)的值域，形如y（a1、a2不同時(shí)為零）的函數(shù)的值

域，常用此方法求解。2a2xb2xc2七、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域

（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。八、利用函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)求最值：當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值。九、利用重

要的不等式：基本不等式求值域。十、圖像法（數(shù)形結(jié)合法）：函數(shù)圖像是

掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，

是一種求值域的重要方法。

注：求函數(shù)的值域沒(méi)有通性解法，只有根據(jù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)確

定相應(yīng)的解法。但不論哪種方法，都應(yīng)遵循一個(gè)原則：定義域優(yōu)先的原則。

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例1．求下列函數(shù)的值域

①y=3x+2(-1x1)②f(x)24x七彩希翼

③y1x④yxx1x解：①∵-1x1，∴-33x3，

∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②∵4x[0,)∴f(x)[2,)即函數(shù)

f(x)24x的值域是{y|y2}③y∵

xx1111x1x1x110（對(duì)角函數(shù)）∴y1x1即函數(shù)的值域是{y|yR且y1}（此

法亦稱(chēng)分離常數(shù)法）④當(dāng)x>0，∴yx121)22，=(xxx121)22)=－(xxx當(dāng)x七

彩希翼

②∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[3,4]，當(dāng)x=3時(shí)，y=-2；x=4時(shí)，y=1；

∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域?yàn)閇-2，1].

③∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[0,1]，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=1時(shí)，y=-2,∴在[0,1]

上，ymin=-2，ymax=1；值域?yàn)閇-2，1].

④∵頂點(diǎn)橫坐標(biāo)2[0,5]，當(dāng)x=0時(shí)，y=1；x=2時(shí)，y=-3,x=5時(shí)，

y=6,∴在[0,1]上，ymin=-3，ymax=6；值域?yàn)閇-3，6].對(duì)于二次函數(shù)

f(x)ax2bxc(a0),⑴若定義域?yàn)镽時(shí)，

2b(4acb)；①當(dāng)a>0時(shí)，則當(dāng)x時(shí)，其最小值ymin2a4a2b(4acb).②當(dāng)

a0）時(shí)或最大值（a七彩希翼

∵2定義域{x|x2且x3}∴y再檢驗(yàn)y=1代入①求得x=2∴y1

151x25x6綜上所述，函數(shù)y2的值域?yàn)閧y|y1且y}

5xx6方法二：把已知函數(shù)化為函數(shù)y由此可得y1

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(x2)(x3)x36(x2)1(x2)(x3)x3x3∵x=2時(shí)y11即y55x25x61∴函數(shù)y2的

值域?yàn)閧y|y1且y}5xx64．換元法

例4．求函數(shù)y2x41x的值域解：設(shè)t1x則t0x=1t

代入得yf(t)2(1t2)4t2t24t22(t1)24∵t0∴y45．分段函數(shù)

例5．求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域.

y22x1(x1)解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：y3(1x2)，

2x1(x2)（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是{y|y3}.

3畫(huà)出它的圖象

-1O2x解法2：∵函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)x到兩定點(diǎn)-

1，2的距離之和，∴易見(jiàn)y的最小值是3，∴函數(shù)的值域是[3，+].如圖

x-1O12

-1Ox12

-1O12x

（1）二次函數(shù)的三種表達(dá)式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）頂點(diǎn)式：y=a(x-

h)^2+k[拋物線的頂點(diǎn)P（h，k）]

交點(diǎn)式：y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x，0）和B（x，0）

的拋物線]注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b√b^2-4ac)/2a函數(shù)解析式的求法：

11①定義法（拼湊）：如：已知f(x)x22，求：f(x)；

xx七彩希翼

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②換元法：如：已知f(3x1)4x3，求f(x)；③待定系數(shù)法：如：已知

f{f[f(x)]}12x，求一次函數(shù)f(x)；

1④賦值法：如：已知2f(x)f()x1(x0)，求f(x)

x7.函數(shù)值域的求法：①換元配方法。如果一個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)

過(guò)換元可以寫(xiě)成二次函數(shù)的形式，那么將這個(gè)函數(shù)的右邊配方，通過(guò)自變量

的范圍可以求出該函數(shù)的值域。形如yaxbcxd的函數(shù)均可用此法（換元、配

方）求值域

ax2bxc②判別式法。一個(gè)二次分式函數(shù)y(其中a2d20)在自變量沒(méi)有限

制時(shí)就可2dxexf以用判別式法去值域。其方法是將氛圍的近義詞 等式兩邊同乘以

dx2+ex+f移項(xiàng)整理成一個(gè)x的一元二次方程，方程有實(shí)數(shù)解則判別式大于

等于零，得到一個(gè)關(guān)于y的不等式，解出y的范圍就是函數(shù)的值域。③單調(diào)

性法。如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點(diǎn)

的函數(shù)值來(lái)求出值域

8.函數(shù)單調(diào)性的證明方法:

第一步：設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)任意的值，且x1七彩希翼

①f(x)與f(x)+c(c為常數(shù))具有相同的單調(diào)性②f(x)與cf(x)當(dāng)c>0是

單調(diào)性相同，當(dāng)c0時(shí)：在頂點(diǎn)處取得最小值，最大值在距離對(duì)稱(chēng)軸較遠(yuǎn)的

端點(diǎn)處取得；a0時(shí)：最小值在離對(duì)稱(chēng)軸近的端點(diǎn)處取得，最大值在離對(duì)稱(chēng)

軸遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得；af(x)恒成立a>f(x)的最大值

af(x)的最小值

a七彩希翼

可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。（3）拋物線的性質(zhì)

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1.拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-b/2a。

對(duì)稱(chēng)軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有

一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；

當(dāng)=b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向

和大小。

當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。|a|越

大，則拋物線的開(kāi)口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置。當(dāng)a與b同號(hào)

時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸

在y軸右。5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

=b^2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。=b^2-4ac=0時(shí)，拋物

線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

=b^2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)（x=-

b√b^2－4ac的值的相反數(shù)，乘上虛數(shù)i，整個(gè)式子除以2a）（4）二次

函數(shù)與一元二次方程

特別地，二次函數(shù)（以下稱(chēng)函數(shù)）y=ax^2+bx+c，

當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱(chēng)方程），即

ax^2+bx+c=0

此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)即為方程的根。

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1．二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式

中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸如下

表：解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸y=ax^2(0，0)x=0y=a(x-h)^2(h，0)x=hy=a(x-

h)^2+k(h，k)x=hy=ax^2+bx+c(-b/2a，x=-b/2a[4ac-b^2]/4a)當(dāng)h>0時(shí)，

y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到，當(dāng)

h0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單

位，就可以得

到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象；

當(dāng)h>0,k七彩希翼

2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a0，

當(dāng)x≤-b/2a時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≥-b/2a時(shí)，y隨x的增大而增

大．若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元

二

次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點(diǎn)間的距離AB=|x-x|當(dāng)

△=0．圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)△0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任

何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0；當(dāng)a七彩希翼

①y3x1(xR)；②yx31(xR)；③yx1(x0)；④yy132x3(xR,且x1).x1解：

①由y3x1解得x∴函數(shù)y3x1(xR)的反函數(shù)是y②由yx31(xR)解得x=3y1,

x1(xR)，3∴函數(shù)yx31(xR)的反函數(shù)是y3x1(xR)③由y=

x+1解得x=(y1)2,

∵x0，∴y1.∴函數(shù)y④由yx1(x0)的反函數(shù)是x=(y1)2(x1);

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y32x3解得xx1y22x3x3(xR,且x1)的反函數(shù)是

y(xR,x2)x1x221∵x{xR|x1}，∴y{yR|y2}∴函數(shù)y例4已知f(x)=x-

2x(x≥2),求f2(x).

解法1：⑴令y=x-2x，解此關(guān)于x的方程得x244y，

2244y∵x≥2，∴x，即x=1+1y--①,

2⑵∵x≥2，由①式知1y≥1，∴y≥0--②,⑶由①②得f1；(x)=1+1x

（x≥0，x∈R）

222解法2：⑴令y=x-2x=(x1)-1，∴(x1)=1+y，∵x≥2，∴x-1≥1，

∴x-1=1y--①,即x=1+1y,⑵∵x≥2，由①式知1y≥1，∴y≥0,⑶∴函數(shù)

f(x)=x-2x(x≥2)的反函數(shù)是f21；(x)=1+1x（x≥0）

對(duì)數(shù)函數(shù)

1（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合。（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的值域

為全部實(shí)數(shù)集合。（3）函數(shù)總是通過(guò)（1，0）這點(diǎn)。七彩希翼

（4）養(yǎng)犬管理?xiàng)l例 a大于1時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，并且上凸；a小于1大于0時(shí)，函

數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，并且下凹。

（5）顯運(yùn)動(dòng)員退役 然對(duì)數(shù)函數(shù)無(wú)界。

對(duì)數(shù)函數(shù)

ylogaxa是常數(shù)且a0，a1)，x(0,)；

1.他的圖形為于y軸的右方.并通過(guò)點(diǎn)(1,0)

2.當(dāng)a>1時(shí)在區(qū)間(0,1),y的值為負(fù).圖形位于x的下方,在區(qū)

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間(1,+),y值為正,圖形位于x軸上方.在定義域是單調(diào)增函數(shù).a七彩希

翼

1.當(dāng)a>1時(shí)函數(shù)為單調(diào)增,當(dāng)a七彩希翼

說(shuō)明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則

這個(gè)函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。

（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

然后再?lài)?yán)格按照

奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論）

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義2．奇偶函數(shù)圖像的特

征：

定理奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或

軸對(duì)稱(chēng)圖形。奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上也是單調(diào)

遞增。偶函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)遞減。3.奇

偶函數(shù)運(yùn)算

(1)兩個(gè)偶函數(shù)相加所得的和為偶函數(shù).(2)兩個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為

奇函數(shù).

(3)一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相加所得的和為非奇函數(shù)與非偶函數(shù).(4)

兩個(gè)偶函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).(5)兩個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為偶函數(shù).

(6)一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)相乘所得的積為奇函數(shù).

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函數(shù)的單調(diào)性：

1）定義；特征：增（減）函數(shù)的y值，隨自變量x值的增大而增大

（減小），即從左邊往右邊看增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)圖象是下降

的．2）若函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù)yf(x)在這

一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)

也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).3）判斷證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：

⑴設(shè)x1,x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1七彩希翼

f(x1)－f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1－x2),

由x1f(x2).∴f(x)=

1在(0,+)上是減函數(shù).x七彩希翼

能否說(shuō)函數(shù)f(x)=

1在(-，+)上是減函數(shù)？x1的定義域.x答：不能.因?yàn)閤=0不屬于

f(x)=

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性

例2．求函數(shù)y82(2x2)(2x2)2的值域，并寫(xiě)出其單調(diào)區(qū)間解：題設(shè)函

數(shù)由y82uu2和u2x2復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，函數(shù)u2x2的值域是(,2]，在

(,2]y82uu29(u1)2上的值域是(,9].

故函數(shù)y82(2x2)(2x2)2的值域是(,9].

對(duì)于函數(shù)的單調(diào)性，不難知二次函數(shù)y82uu2在區(qū)間(,1)上是減函數(shù)，

在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)；

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2二次函數(shù)u2x區(qū)間(,0)上是減函數(shù)，在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)2當(dāng)u(,1)

時(shí)，2x2(,1)，即2x1，x1或x1.

22當(dāng)u[1,)時(shí)，2x[1,)，即2x1，1x1.

yyuu2x2xy82uu2uy82(2x2)(2x2)2x因此，本題應(yīng)在四個(gè)區(qū)間(,1)，

[1,0)，[0,1)，[1,)上考慮①當(dāng)x(,1)時(shí)，u2x(,1)，

22而u2x在(,1)上是增函數(shù)，y82uu在(,1)上是增函數(shù)，所以，函數(shù)

2y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間(,1)上是增函數(shù)②當(dāng)x[1,0)時(shí)，u2x[1,)，

22而u2x在[1,0)上是增函數(shù)，y82uu在[1,)上是減函數(shù)，

七彩希翼

所以，函數(shù)y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[1,0)上是減函數(shù)③當(dāng)x[0,1)時(shí)，

u2x2(1,)，

而u2x2在[0,1)上是減函數(shù)，y82uu2在(1,)上是減函數(shù)，所以，函數(shù)

y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[0,1)上是增函數(shù)④當(dāng)x[1,)時(shí)，u2x2(,1]，

而u2x2在[1,)上是增函數(shù)，y82uu2在(,1]上是減函數(shù)，所以，函數(shù)

y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間[1,)上是減函數(shù)綜上所述，函數(shù)

y82(2x2)(2x2)2在區(qū)間(,1)、[0,1)上是增函數(shù)；在區(qū)間[1,0)、(,1]上是

減函數(shù)

周期性

（1）定義：如果存在使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有

f(x+T)=f(x)的非零常數(shù)T，則稱(chēng)f(x)為周期函數(shù)；

（2）性質(zhì)：

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TT)f(x),若f(x)的周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，則稱(chēng)它為f(x)的最

22T小正周期；②若周期函數(shù)f(x)的周期為T(mén)，則f(x)（≠0）是周期

函數(shù)，且周期為。

||①f(x+T)=f(x)常常寫(xiě)作f(x最值

（1）定義：

最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，

稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

①對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)=M。那么，

稱(chēng)M是函數(shù)y=f(x)的最大值。

注意：①函數(shù)最大（小）首先應(yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使

得f(x0)=M；

②函數(shù)最大（小）應(yīng)該是所有函數(shù)值中最大（小）的，即對(duì)于任意的

x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。（2）利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大

（小）值的方法：

1利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；○

2利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；○

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：○

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減

則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單

調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

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1..函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)x1x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函數(shù)；

x1x七彩希翼

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是減函數(shù).

x1x2(2)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函

數(shù)；如果f(x)0，則f(x)為

(x1x2)f(x1)f(x2)0減函數(shù).

注：如果函數(shù)f(x)和g(x)都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)

f(x)g(x)也是減函數(shù);如果函數(shù)yf(u)和ug(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函

數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x)]是增函數(shù).

2.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);反過(guò)來(lái)，如

果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的

圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．

注：若函數(shù)yf(x)是偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；若函數(shù)yf(xa)是偶函

數(shù)，則f(xa)f(xa).

注：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸是函

數(shù)x兩個(gè)函數(shù)yf(xa)與yf(bx)的圖象關(guān)于直線xab;2ab對(duì)稱(chēng).2a注：若

f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對(duì)稱(chēng);若f(x)f(xa),則函數(shù)

2yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).

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3.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)

式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.23.函數(shù)yf(x)

的圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱(chēng)f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).

(2)函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xab對(duì)稱(chēng)f(amx)f(bmx)2f(abmx)f(mx).

4.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性

(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對(duì)稱(chēng).(2)函數(shù)

yf(mxa)與函數(shù)yf(bmx)的圖象關(guān)于直線x(3)函數(shù)yf(x)和yf1ab對(duì)稱(chēng).2m(x)

的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).

25.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到函數(shù)yf(xa)b的

圖象；若將曲線f(x,y)0的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線

f(xa,yb)0的圖象.

5.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)bf1(b)a.

27.若函數(shù)yf(kxb)存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y數(shù)y[f11[fk1(x)b],并

不是y[f1(kxb),而函

(kxb)是y1[f(x)b]的反函數(shù).k6.幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)方程七彩希翼

(1)正比例函數(shù)f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.(2)指數(shù)函數(shù)

f(x)ax,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

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(4)冪函數(shù)f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f"(1).

(5)余弦函數(shù)f(x)cosx,正弦函數(shù)g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1.x7.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

（1）f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=a；（2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)，f(x)1或f(xa)(f(x)0),

f(x)12或f(x)f(x)f(xa),(f(x)0,1),則f(x)的周期T=2a；

21(3)f(x)1(f(x)0)，則f(x)的周期T=3a；

f(xa)f(x1)f(x2)(4)f(x1x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，則

f(x)的周期T=4a；

1f(x1)f(x2)(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),則f(x)的周期T=5a；

(6)f(xa)f(x)f(xa)，則f(x)的周期T=6a.

或f(xa)8.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n商鋪?zhàn)赓U合同標(biāo)準(zhǔn)版 1）.（a0,m,nN，且n1）.

a9.根式的性質(zhì)（1）(na)na.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，aa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

a|a|nnnna,a0.

a,a010.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

(1)aaa(a0,r,sQ).

rsrs(2)(a)a(a0,r,sQ).

rrr(3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

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注：若a＞0，p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指

數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

prsrs七彩希翼

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logmN(a0,且a1,m0,且m1,N0).

logmann推論logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,N0).

mlogaN11.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN;N(3)logaMnnlogaM(nR).

(2)loga注：設(shè)函數(shù)f(x)logm(ax2bxc)(a0),記b24ac.若f(x)的定義域

為R,則a0，且

0;若f(x)的值域?yàn)镽,則a0，且0.對(duì)于a0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).

12.對(duì)數(shù)換底不等式及其推論

1,則函數(shù)ylogax(bx)a11(1)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為增函

數(shù).

aa11(2)(2)當(dāng)ab時(shí),在(0,)和(,)上ylogax(bx)為減函數(shù).

aa若a0,b0,x0,x推論:設(shè)nm1，p0，a0，且a1，則（1）

logmp(np)logmn.（2）logamloganloga2mn.2

三角函數(shù)公式表

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（下面寫(xiě)的

，看起來(lái)像n字母，別搞錯(cuò)了，還有

tan＋tantan（＋）＝1－tantan

tan＋tan是分子，1－tantan是分母再有

1sincos＝-[sin（＋）＋sin（－）]2

也像上面一樣，意思是sincos=0.5*[sin（＋）＋sin（－

）],這些公式很多都在課本，可以查課本來(lái)確認(rèn)這里是否寫(xiě)對(duì)，或者自己

證明也行）

七彩希翼

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

倒數(shù)關(guān)系:tancot＝1sincsc＝1商的關(guān)系：

sin/cos＝tan＝c/csccos/sin＝cot＝csc/c

平方關(guān)系：sin2＋cos2＝11＋tan2＝c2cosc＝1

sin（－）＝－sincos（－）＝cos

sin（/2－）＝cossin（－）＝sincos（/2－）＝

sincos（－）＝－costan（/2－）＝cottan（－）＝－

tancot（/2－）＝tancot（－）＝－cot

sin（/2＋）＝cossin（＋）＝－sincos（/2＋）＝

－sincos（＋）＝－costan（/2＋）＝－cottan（＋）

＝tancot（/2＋）＝－tan

cot（＋）＝cot兩角和與差的三角函數(shù)公式

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21/23

sin（＋）＝sincos＋cossinsin（－）＝sincos

－cossincos（＋）＝coscos－sinsincos（－）＝

coscos＋sinsin

tan＋tantan（＋）＝1－tantan

tan－tantan（－）＝1＋tantan

半角的正弦、余弦和正切公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式

1＋cot2＝csc2

誘導(dǎo)公式

tan（－）＝－tancot（－）＝－cot

sin（3/2－）＝－cossin（2－）＝－sincos（3/幼兒童謠順口溜 2－

）＝－sincos（2－）＝costan（3/2－）＝cottan（2

－）＝－tancot（3/2－）＝tancot（2－）＝－cot

sin（3/2＋）＝－cossin（2k＋）＝sincos（3/2＋

）＝sincos（2k＋）＝costan（3/2＋）＝－cottan

（2k＋）＝tancot（3/2＋）＝－tan

cot（2k＋）＝cot(其中k∈Z)

萬(wàn)能公式

2tan(/2)sin＝1＋tan2(/2)1－tan2(/2)cos＝1＋tan2(/2)

2tan(/2)tan＝1－tan2(/2)

三角函數(shù)的降冪公式

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三倍角的正弦、余弦和正切公式

七彩希翼

sin2＝2sincos

cos2＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2

2tantan2＝1－tan2

三角函數(shù)的和差化積公式

＋－sin＋sin＝2sin－－cos－22＋－sin－

sin＝2cos－－sin－22＋－cos＋cos＝2cos－－cos－22

＋－cos－cos＝－2sin－－sin－22

化asinbcos為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式（輔助角的三角函

數(shù)的公式）

1sincos＝-[sin（＋）＋sin（－）]21

cossin＝-[sin（＋）－sin（－）]21

coscos＝-[cos（＋）＋cos（－）]21

sinsin＝－-[cos（＋）－cos（－）]23tan－

tan3tan3＝1－3tan2

三角函數(shù)的積化和差公式

sin3＝3sin－4sin3cos3＝4cos3－3cos

三角函數(shù)

正弦函數(shù)ysinx，x(,)，y[1,1]，

余弦函數(shù)ycosx，x(,)，y[1,1]，七彩希翼

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正切函數(shù)ytanx，

xk2，kZ，y(,)，

余切函數(shù)ycotx，xk，kZ，y(,)；

(5)反三角函數(shù)

yarcsinx反正弦函數(shù)

，x[1,1]，

y[,]22，七彩希翼

yarccosx，x[1,1]，y[0,]，

yarctanx，x(,)，

y(2,2)，

yarccotx，x(,)，y(0,)．

反余弦函數(shù)反正切函數(shù)

反余切函數(shù)七彩希翼

友情提示：本文中關(guān)于《高中函數(shù)總結(jié)歸納》給出的范例僅供您參考拓

展思維使用，高中函數(shù)總結(jié)歸納：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。