自然數定義

數學知識常識2：

自然數

用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼（0，）1，2，3，4，??所表示

的數（有爭議）。表示物體個數的數叫自然數，自然數由1（0，有爭議）開始，一個接一

個，組成一個無窮的集體。

概述

自然數從0開始還是從1開始飽受爭議。從數論上來講，自然數從1開始，在集合論中，

自然數從0開始。我國中小學教材中自然數是從0開始，《新華字典》中自然數是從1開始。

可以指正整數或非負整數，在數論通常用前者，而集合論和計算機科學則多數使用后者。[1]

數學術語

自然數集是全體非負整數組成的集合，常用N來表示。自然數有無窮無盡的個數。

【拼音】zrnsh

【英譯】naturalnumber[2]

一般概念

自然數是一切等價有限集合共同特征的標記。

注：整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。

但相減和

自然數的基本要求

相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中并不總是成立的。用

以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼，1，2，3，4，??所表示的數。表

示物體個數的數叫自然數，自然數一個接一個，組成一個無窮集體。自然數集有加法和乘法

運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結

果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中并不是總能成立的。自然數是人們認

識的所有數中最基本的一類，為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了

自然數的兩種等價的理論棗自然數的慈祥的反義詞 序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性

質得到嚴格的論述。

（序數理論是意大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給

出自然數的如下定義）自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作

1。②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的后繼者。③1是0的后繼者。④0

不是任何元素的后繼者。⑤不同元素有不同的后繼者。⑥（歸納公理）N的任一子集M，

如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。

基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立

一一對應關系的有限集具有共同的數量特征，這一特征叫做基數。這樣，所有單元素集{x}，

{y}，{a}，{b}等具有同一基數，記作1。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，

它們的基數相同，記作2，等等。自然數的加法、乘法運算可以在序數或基數理論中給出

定義，并且兩種理論下的運算是一致的。

自然數在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數。自然數是人類歷史上最

早出現的數，自然數在計數和測量中有著廣泛的應用。人們還常常用自然數來給事物標號或

排序，如城市的公共汽車路線，門牌號碼，郵政編碼等。

自然數是整數（自然數包括正整數和零），但整數不全是自然數，例如：-是

整數而不是自然數。自然數是無限的。

全體非負整數組成的集合稱為非負整數集，即自然數集。）

在數物體的時候，數出的1.2.3.4.5.6.7.8.9??叫自然數。自然數有數量、次序兩層含

義，分為基數、序數。基本單位：1計數單位：個、十、百、千、萬、十萬......

總之，自然數就是指大于等于0的整數。當然，負數、小數、分數等就不算在其內了。

嚴格定義

這個命題被稱為皮亞諾算術公理，該公理聲明了自然數集

的存在性。

其中，第二條中聲明的單射

被稱為后繼映射，是我們生活中所習慣的“

”。

第三條則聲稱，存在一個數是自然數的起始點，它不是任何數的后繼。

第四條則是我們所熟知的歸納假設，它使得在自然數集中數學歸納法的成立，也是對

自然數集形態的一種限定。因為即使是有限集，也存在環形映射滿足第二條（自單射），任

何無限集都滿足第二和第三條，而只有自然數集才能滿足所有這四條的限定。

由第四條，我們就可以使用數學歸納法：

來證明自然數集中有關的命題。

性質

1.對自然數可以定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：

a+0=a；

a+S(x)=S(a+x)，其中，S(x)表示x的后繼者。

如果我們將S(0)定義為符號“1”，那么b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)，即，“+1”

運算可求得任意自然數的后繼者。

同理，乘法運算“”定義為：

a0=0;

aS(b)=ab+a

自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。

2.有序性。自然數的有序性是指，自然數可以從0開始，不重復也不遺漏地排成一個數

列：0，1，2，3，?這個數列叫自然數列。一個集合的元素如果能與自然數列或者自然數

列的一部分建立一一對應，我們就說這個集合是可數的，否則就說它是不可數的。

3.無限性。自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。

對于無限集合來說“，元素個數”的概念已經不適用，用數個數的方法比較集合元素

的多少只適用于有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，每日正能量句子 集合論的創立者德國數學

家康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對于有限集合顯然是適用的，21世紀把它推廣

到無限集合，即如果兩個無限集合的元素之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合

的元素是同樣多的。對于無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合的基

數相同，或者說，這兩個集合等勢。與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可

以與自己的真子集建立一一對應，例如:

01234?

13579?

這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特

曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館只有有限個房間，當它的房間都

住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間，也都住

滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1號房間的旅客換到2號房間，把2號房間的旅客換

到3號房間，??如此繼續下去，就把1號房間騰出來了。

4.傳遞性：設n1，n2，n3都是自然數，若n1>n2，n2>n3，那么n1>n3。

5.三岐性：對于任意兩個自然數n1，n2，有且只有下列三種關系之一：n1>n2，n1=n2

或n1

6.最小數原理：自然數集合的任一非空子集中必有最小的數。具備性質3、4的數集稱

為線性序集。容易看出，有理數集、實數集都是線性序集。但是這兩個數集都不具備性質5，

例如所有形如nm（m>n，m，n都是自然數）的數組成的集合是有理數集的非空子集，這

個集合就沒有最小數；開區間（0，1）是實數集合的非空子集，它也沒有最小數。

具備性質5的集合稱為良序集，自然數集合就是一種良序集。容易看出，加入0之后的

自然數集仍然具備上述性質3、4、5，就是說，仍然是線性序集和良序集。[3]

分類

按是否是偶數分

可分為奇數和偶數。

1、奇數：不能被2整除的數叫奇數。

2、偶數論語介紹 ：能被2整除的數叫偶數。也就是說，除了奇數，就是偶數

注：0是偶數。（2002年國際數學協會規定,零為偶數.我國2004年也規定零為偶數。偶

數可以被2整除，0照樣可以，只不過得數依然是0而已）。

按因數個數分

可分為質數、合數、1和0。

1、質數：只有1和它本身這兩個因數的自然數叫做質數。也稱作素數。

2、合數：除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數。

3、1：只有1個因數。它既不是質數也不是合數。

4、當然0不能計算因數，和1一樣，也不是質數也不是合數。

備注：這里是因數不是約數。[4]

數列

數列1,2,3,4,5，6,7,8,9,10,11,12,??n，稱為自然數列。自然數列不包括0。

自然數列的通項公式an=n。

自然數列的前n項和Sn=n(n+1)/2。Sn=na1+n(n-1)/2

自然數列本質上是一個等差數列，首項a1=1，公差d=1。

關于地參 0

0的爭議

對于“0”，它是否包括在自然數之內存在爭議，有人認為自然數為正整數，即從1開

始算起；而也有人認為自然數為非負整數，即從0開始算起。到21世紀關于這個問題也尚無

一致意見。

我國傳統的教科書所說的自然數都是指正整數，0不是自然數。在國外，有些國家的教

科書是把0也算作自然數的。這本是一種人為的規定，我國為了推行國際標準化組織(ISO)

制定的國際標準，定義自然數集包含元素0，也是為了早日和國際接軌。

現行九年義務教育教科書和高級中學教科書(試驗修訂本)都把非負整數集叫做自然數

集，記作N，而正整數集記作N+或N*。這就一改以往0不是自然數的說法，明確指出0也是

自然數集的一個元素。0同時也是有理數，也是非負數和非正數。

0的來由

0是極為重要的數字，0的發現被稱為人類偉大的發現之一。0在我國古代叫做金元數字，

(意即極為珍貴的數字）。0這個數據說是由印度人在約公元5世紀時發明，在1202年時，一

個商人寫了一本算盤之書，在東方中由于數學是以運算為主（西方當時以幾何并在開頭寫了

“印度人的9個數字，加上阿拉伯人發明的0符號便可以寫出所有數字??”。由于一些原

因，在初引入0這個符號到西方時，曾經引起西方人的困惑，因當時西方認為所有數都是

正數，而且0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立(如除以0)，甚至認為是魔鬼數字，而被

禁用。直至約公元15，16世紀0和負數才逐漸給西方人所認同，才使西方數學有快速發展。

0的另一個歷史：0的發現始于印度。公元左右，印度最古老的文獻《吠陀》已有“0”這個

符號的應用，當時的0在印度表示無（空）的位置。約在6世紀初，印度開始使用命位記數

法。7世紀初印度大數學家葛拉夫.瑪格蒲達首先說明了0的0是0，任何數加上0或減去0得任

何數。遺憾的是，他并沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，0的概

念之所以在印度產生并得以發展，是因為印度佛教中存在著“絕對無”這一哲學思想。公元

733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了

阿拉伯人，因為這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。這套記數法后來

又傳入西歐。

0的性質

0既不是正數也不是負數，而是正數和負數之間的一個數。當某個數X大于0（即X>0）

時，稱為正數；反之，當X小于0（即X<0）時，稱為負數；而這個數X等于0時，這個數

就是0。

0既不是正數也不是負數，而是介于-1和+1之間的整數。

0是偶數。

0是最小的完全平方數。

0的相反數是0，即，-0=0。

0的絕對值是其本身，即，∣0∣=0。

0乘任何實數都等于0，除以任何非零實數都等于0,任何實數加上0等于其本身。

0沒有倒數和負倒數，一個非0的數除以0在實數范圍內無意義。

0的正數次方等于0，0的負數次方無意義，因為0沒有倒數。

除0外，任何數的的0次方等于1。

0的0次方是懸而未決的，在某些領域定義為1，某些領域未定義。不定義的理由是以連

續性為考量，不定義不連續點魏晨身高 。

0不能做對數的底數和真數。

0也不能做除數、分數的分母、比的后項。

0在多位數中起占位作用，善于的近義詞 如108中的0表示十位上沒有，切不可寫作18。

0不可作為多位數的最高位。

當0不位于其他數字之前時表示一個有效數字。

0的階乘等于1。

0始終是直角坐標系的原點。

0是正數和負數的分界點。

任何數乘0都得0。

0是最小的自然數。

分式中分母為0無意義。

在復數集中，0是模最小的數，而且是唯一一個無輻角定義的元素。

低階無窮小與高階無窮小的比值是0。

定積分中，積分上限和下限相等時，積分值始終為0。

概率論中，用0表示不可能事件，或者在連續概率分布中位于某一特定自變量這一事件

的概率。[5]

應用

1、自然數列在“數列”，有著最廣泛的運用，因為所有的數列中，各項的序號都組成

自然數列。

任何數列的通項公式都可以看作：數列各項的數與它的序號之間固定的數量關系。

2、求n條射線可以組成多少個角時，應用了自然數列的前n項和公式

第1條射線和其它射線組成n-1個角，第2條射線跟余下的其它射線組成n-2個角，依此

類推得到式子

1+2+3+4+??+n-1=n(n-1)/2

3、求直線上有n個點，組成多少條線段時，也應用了自然數列的前n項和公式

第1個點和其它點組成n-1條線段，第2個點跟余下的其它點組成n-2條線段，依此類推

同樣可以得到式子

1+2+3+4+??+n-1=n(n-1)/2