條件概率

1．條件概率及其性質

(1)條件概率的定義

設A、B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率．

(2)條件概率的求法

求條件概率除了可借助定義中的公式，還可以借助古典

概型概率公式，即P(B|A)＝.

(3)條件概率的性質

①條件概率具有一般概率的性質，即0≤P(B|A)≤1.

②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A滿分高考作文 )＋P(C|A))．

2．事件的相互獨立性

(1)設A、B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立．

(2)如果事件A與B相互獨立，那么與，與，與也都相互獨立．3．二項分布

在n次獨立重復試驗中，設事件A發生的次數為X，在每次試驗中事件A發生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k

次的概率為P(X＝k)＝Ck

n

pk(1－p)n－k

(k＝0,1,2，…，n)．此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱_p_為成功概率．

若X～B(n，p)，則E(X)＝np.

1.區分條件概率P(B|A)與概率P(B)

它們都以樣本空間為總樣本，但它們取概率的前提是不相同的．概率P(B)是指在整個樣本空鐵觀音的功效 間的條件下事件B發生的可能性大小，

而條件概率P(B|A)是在事件A發生的條件下，事件B發生的可能性大小．

2．求法：(1)利用定義分別求P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝

P?AB?

P?A?

；

(2)先求A含的基本事件數n(A)，再求在A發生的條件下B包含的事件數即n(AB)，得P(B|A)＝

n?AB?

n?A?

.

1.1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出

一球，問

(1)從1號箱老虎的英語 中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？

(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？

【解】記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球．

P(B)＝

4

2＋4

＝

2

3

，P(B)＝1－P(B)＝

1

3

，

(車厘子怎么種 1)P(A|B)＝

3＋1

8＋1

＝

4

9

.(2)∵P(A|B)＝

3

8＋1

＝

1

3

，

∴P(A)＝P(AB)＋P(AB)

＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(B)

＝

4

9

2

3

＋

1

3

1

3

＝

11

27

.

2.(2011年湖南)如圖，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內接正方形，將一顆豆子隨機地扔到該圓內，用A表示事件“豆子落在正

方形EFGH內”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分內)，”則

(1)P(A)＝________；(2)P(B|A)＝_____

答案：(1)

2

(2)

1

4

1.相互獨立事件是指兩個試驗中，兩事件發生的概率互不影響；相互對立事件是指同一次試驗中，兩個事件不會同時發生．

2．在解題過程中，要明確事件中的“至少有一個發生”“至多有一個發生”“恰有一個發生”“都發生”“都不發生”“不都發生”等

詞語的意義．已知兩個事件A、B，它們的概率分別為P(A)、P(B)，則

A、B中至少有一個發生的事件為A∪B；

A、B都發生的事件為AB；

A、B都不發生的事件為AB；

A、B恰有一個發生的事件為AB∪AB；

A、B中至多有一個發生的事件為AB∪AB∪AB.

3．互斥事件與相互獨立事件的區別：兩事件互斥是指同一次試驗中兩事件不能同時發生，兩事件相互獨立是指不同試驗下，二者互不影

響；兩個相互獨立事件不一定互斥，即可能同時發生，而互斥事件不可能同時發生．

3.(2012年山東)現有甲、乙兩個靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為

3

4

，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命

中的概率為

2

3

，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結果相互獨立．假設該射手完成以上三次青藏高寒區 射擊．

(1)求該射手恰好命中一次的概率；

(2)求該射手的總得分X的分布列及數學期望E(X)．

【解】(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射

手第二次射擊乙靶命中”為事件D，

由題意知P(B)＝

3

4

，P(C)＝P(D)＝

2

3

，

由于A＝BCD＋BCD＋BCD，

根據事件的獨立性和互斥性得

P(A)＝P(BCD＋BCD＋BCD)

＝P(BCD)＋P(BCD)＋P(BCD)

＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D?＋P(B)P(C)P(D)

＝

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

?

?

?

?

1－

3

4

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

2

3

＝

7

36

.(2)根據題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，

根據事件的獨立性和互斥性得

P(X＝0)＝P(BCD)＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)]＝

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＝

1

36

，

P(X＝1)＝P(BCD)＝P(B)P(C)P(D)＝

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＝

1

12

，P(X＝2)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)

＝

?

?

?

?

1－

3

4

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

2

3

＝

1

9

，

P(X＝3)＝P(BCD＋BCD)＝P(BCD)＋P(BCD)＝

3

4

2

3

?

?

?

?

1－

2

3

＋

3

4

?

?

?

?

1－

2

3

2

3

＝

1

3

，

P(X＝4)＝P(BCD)＝

?

?

?

?

1－

3

4

2

3

2

3

＝

1

9

，

P(X＝5)＝P(BCD)＝

3

4

2

3

2

3

＝

1

3

.

故X的分布列為

X012345

P

1

36

1

12

1

9

1

3

1

9

1

3

所以E(X)＝0

1

36

＋1

1

12

＋2

1

9

＋3

1

3

＋4

1

9

＋5

1

3

＝

41

12

.

(1)注意區分互斥事件和相互獨立事件，互斥事件是在同一試驗中不可能同時發生的情況，相互獨立事件是指幾個事件的發生與否互不影

響，當然可以同時發生．(2)求離散型隨機變量的分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類求概率

的公式，求出概率．(3)求隨機變量的期望和方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式求解．

4.(2011年山東高考)紅隊隊員牛肉怎么炒好吃 甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤．已知甲勝A，乙勝B，

丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設各盤比賽結果相互獨立．

(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；

(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數，求的分布列和數學期望E()．

解：(1)設甲勝A的事件為D，乙勝B的事件為E，丙勝C的事件為F.

則D，E，F分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件．因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，

由對立事件的概率公式知

P(D)＝0.4，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5.

紅隊至少兩人獲勝的事件有：DEF，DEF，DEF，DEF.

由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為

P＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)

＝0.60.50.5＋0.60.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5＝0.55.(2)由題意知可能的取值為0,1,2,3.

又由(1)知DEF、DEF、DEF是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結果相互獨立，

因此P(＝0)＝P(DEF)＝0.40.50.5＝0.1，

P(＝1)＝P(DEF)＋P(DEF)＋P(DEF)

＝0.40.50.5＋0.40.50.5＋0.60.50.5

＝0.35，

P(＝3)＝P(DEF)＝0.60.50.5＝0.15.

由對立事件的概率公式得

P(＝2)＝1－P(＝0)－P(＝1)－P(＝3)＝0.4.

所以的分布列為：

0123

P0.10.350.40.15

因此E()＝00.1＋10.35＋20.4＋30.15＝1.6.

1.判斷某事件發生是否是獨立重復試驗，關鍵有兩點：

(1)在同樣的條件下女扮男裝的現代小說 重復，相互獨立進行；

(2)試驗結果要么發生，要么不發生．

2．在利用n次獨立重復試驗中，恰好發生k次的概率P(x＝k)＝Ck

n

pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，….要注意n，k，p的取值．

3．遇到“至少”“至多”問題時，要考慮從對立事件入手計算．

4．二項分布模型

(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：

①是否為n次獨立重復試驗．

②隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發生的次數．

(2)涉及產品數量很大，而且抽查次數又相對較少的產品抽查問題時，由于產品數量很大，因而抽查時，抽出次品與否對后面的抽樣的次

品率影響很小，所以可以認為各次抽查的結果是彼此獨立的．

(3)若隨機變量X～B(n，p)，則E(X)＝np.

5.(2012年天津)現有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質

地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數為1或2的人去參加甲游戲，擲出點擊地傳球 數大于2的人去參加乙游戲．

(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；

(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率；

(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數，記＝|X－Y|，求隨機變量的分布列與數學期望E()【解】依題意，這4

個人中，每個人去參加甲游戲的概率為

1

3

，去參加乙游戲的概率為

2

3

.

設“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai

(i＝0,1,2,3,4)，

則P(Ai

)＝Ci

4?

?

?

?

1

3

i?

?

?

?

2

3

4

－

i.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A

2

)＝C2

4?

?

?

?

1

3

2?

?

?

?

2

3

2＝

8

27

.

(2)設“這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數”為事件B，則B＝A

3

∪A

4

.由于A

3

與A

4

互斥，故

P(B)＝P(A

3

)＋P(A

4

)＝C3

4?

?

?

?

1

3

3?

?

?

?

2

3

＋C4

4?

?

?

?

1

3

4＝

1

9

.

所以，這4個人中去參加甲游戲的人數大于去參加乙游戲的人數的概率為

1

9

.(3)的所有可能取值為0,2,4.

由于A1

與A

3

互斥，A

0

與A

4

互斥，故

P(＝0)＝P(A

2

)＝

8

27

，

P(＝2)＝P(A

1

)＋P(A

3

)＝

40

81

，P(＝4)＝P(A0

)＋P(A

4

)＝

17

81

.

所以的分布列是

024

P

8

27

40

81

17

81

隨機變量的數學期望E()＝0

8

27

＋2

40

81

＋4

17

81

＝

148

81

.

6.張先生家住H小區，他工作在C科技園區，從家到公司上班的路上有L

1

，L

2

兩條路線(如圖所示)，L

1

路線上有A

1

，A

2

，A

3

三個路口，

各路口遇到紅燈的概率均為

1

2

；L

2

路線上有B

1

，B

2

兩個路口，各路口遇到紅燈的概率依次為

3

4

，

3

5

.

(1)若走L

1

路線，求最多遇到1次紅燈的概率；

(2)若走L

2

路線，求遇到紅燈的次數X的數學期望；

(3)按照“遇到紅燈的平均次數最少”的要求，請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．

解：(1)設“走L

1

路線最多遇到1次紅燈”為事件A，則P(A)＝C0

3

?

?

?

?

1

2

3＋C1

3

1

2

?

?

?

?

1

2

2＝

1

2

.所以走L

1

路線，最多遇到1次紅燈的概率為

1

2

.

(2)依題意，X的可能取值為0,1,2.，P(X＝0)＝

?

?

?

?

1－

3

4

?

?

?

?

1－

3

5

＝

1

10

，P(X＝1)＝

3

4

?

?

?

?

1－

3

5

＋

?

?

?

?

1－

3

4

3

5

＝

9

20

，

P(X＝2)＝

3

4

3

5

＝

9

20ps畫布大小

.故隨機變量X的分布列為

X012

P

1

10

9

20

9

20

6.(1)設某種燈管使用了500h還能繼續使用的概率是0.94，使用到700h后還能繼續使用的概率是0.87，問已經使用了500h的燈管還能

繼續使用到700h的概率是多少？

(2)有一批種子的發芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取1粒，求這粒種子能成長為幼苗的概率．

【正確解答】(1)設A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，則P(A)＝0.94，P(B)＝0.87.而所求的概率為P(B|A)，由于B?A，

故P(B|A)＝

P?A∩B?

P?A?

＝

P?B?

P?A?

＝

0.87

0.94

＝

87

94

.

(2)據題意知P(A)＝0.9，P(B|A)＝0.8，故由P(B|A)＝

P?A∩B?

P?A?

知P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝0.72，又由于B?A，故P(A∩B)＝P(B)＝0.72即為

這粒種子能成長為幼苗的概率．

假定生男生女是等可能的，某家庭有3個孩子，其中有1名女孩，求其至少有1個男孩的概率．

解：法一：此家庭共有3個孩子，包含基本事件有(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，

女)，(女，女，男)，(女，女，女)其中至少有1個女孩共有7種可能，其中至少有1個男孩有6種可能，故其概率為

6

7

法二：記事件A表示“其中有1名女孩”，B表示“至少有1個男孩”，P(B|A)＝

6

8

7

8

＝

6

7

.