歡樂大世界

2022年高考數學模擬試卷

注意事項:

1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。

2．答題時請按要求用筆。

3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知復數

z

滿足

(3)1izi???

，則

z

的虛部為（）

A

．

i?

B

．

i

C

．

–1D

．

1

2．

a

為正實數，

i

為虛數單位，

2

ai

i

?

?

，則

a=

（）

A

．

2B

．3C

．2D

．

1

3．已知角

a

的終邊經過點????4,30Pmmm??

，則2sincosaa?的值是

()

A

．

1

或1?B

．

2

5

或

2

5

?C

．

1

或

2

5

?D

．1?或

2

5

4．已知集合

A??0,1,2?

，

B=??(2)0xxx??

,

則

A∩B=

A

．??1

B

．??0,1

C

．??1,2

D

．??0,1,2

5．某三棱錐的三視圖如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，則該三棱錐外接球的表面積為（）

A

．

27?B

．28?C

．29?D

．30?

6．若函數

()sin2fxx?

的圖象向右平移

6

?

個單位長度得到函數

()gx

的圖象，若函數

()gx

在區間

[0,]a

上單調遞增，

則

a

的最大值為（）．

A

．

2

?

B

．

3

?

C

．

5

12

?

D

．

7

12

?

7．如紅棉襖 圖所示，已知雙曲線

22

22

:1(0,0)

xy

Cab

ab

????

的右焦點為F，雙曲線C的右支上一點A，它關于原點O的對稱

點為

B

，滿足120AFB???，且

||2||BFAF?

，則雙曲線C的離心率是（）

.

A

．

3

3

B

．

7

2

C

．3D

．7

8．函數??32fxxxx???

的圖象在點????1,1f

處的切線為l，則l在

y

軸上的截距為（）

A

．1?胃出血最佳治療方法 B

．1C

．2?

D

．2

9．若函數()xfxe?的圖象上兩點M，N關于直線

yx?

的對稱點在

()2gxax??

的圖象上，則

a

的取值范圍是

（）

A

．

,

2

e

??

??

??

??

B

．

(,)e??

C

．

0,

2

e

??

??

??

D

．

(0,)e

10．記遞增數列

{}

n

a

的前

n

項和為

n

S

.

若

1

1a?

，

9

9a?

，且對

{}

n

a

中的任意兩項

i

a

與

j

a

（

19ij???

），其和

ij

aa?

，

或其積

ij

aa

，或其商

j

i

a

a

仍是該數列中的項，則（）

A

．

59

3,36aS??

B

．

59

3,36aS??

C

．

69

3,36aS??

D

．

69

3,36aS??

11．如圖，正方形網格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）

A

．

2

對

B

．

3

對

C

．

4

對

D

．

5

對

12．已知曲線24xy?，動點P在直線

3y??

上，過點P作曲線的兩條切線

12

,ll

，切點分別為

,AB

，則直線AB截圓

22650xyy????所得弦長為（）

A

．3B

．

2C

．

4D

．23

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．設數列

{}

n

a

的前

n

項和為

n

S

，且對任意正整數

n

，都有

01

0110

12

n

n

a

nS

?

?

?

，則

1

a?

___

14．曲線??

11

lnfx

xx

??

在點????1,1f

處的切線方程是

__________.

15．已知向量a，b滿足

||2a?

，||3b?，且已知向量a，b的夾角為60?，

()()0acbc???

，則

||c

的最小值是

__

．

16．三個小朋友之間送禮物，約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），則三人都收到

禮物的概率為

______.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（12分）某市計劃在一片空地上建一個集購物、餐飲、娛樂為一體的大型綜合園區，如圖，已知兩個購物廣場的

占地都呈正方形，它們的面積分別為

13

公頃和

8

公頃；美食城和歡樂大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積

為

1

S

公頃和

2

S

公頃；由購物廣場、美食城和歡樂大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為

3

S

公

頃和

4

S

公頃

.

（

1

）設BAC???，用關于?的函數

()S?

表示

1234

SSSS???

，并求

()S?

在區間

(0,)?

上的最大值的近似值（精確

到

0.001

公頃）；

（

2

）如果

1234

52SSSS????

，并且

12

SS?

，試分別求出

1

S

、

2

S

、

3

S

、

4

S

的值

.

18．（12分）在直角坐標系

xOy

中，以坐標原點為極點，

x

軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知

1

C

：2220xyy???，

2

C：36xy??，

3

C

：??00kxyk???

.

（

1

）求

1

C

與

2

C的極坐標方程

（

2

）若

1

C

與

3

C

交于點

A

，

2

C與

3

C

交于點

B

，

OAOB??

，求?的最大值

.

19．（12分）已知數列

{}

n

a

滿足：2

1

6

nn

xx

?

??

，*nN?，且對任意的*nN?都有

211

2n

x

?

?,

（Ⅰ）證明：對任意*nN?，都有

121

3

2n

x

?

???；

（Ⅱ）證明：對任意*nN?，都有

1

222

nn

xx

?

???

；

（Ⅲ）證明：

1

2x??

.

20．（12分）己知函數()2cosxfxexx???.

（

1

）當

(,0)x???

時，求證：

()0fx?

；

（

2

）若函數

()()1(1)gxfxnx???

，求證：函數

()gx

存在極小值

.

21．（12分）如圖，在三棱柱

111

ABCABC?

中，ACBC?，

1

ABBB?

，

1

ACBCBB??

，D為AB的中點，且

1

CDDA?

.

（

1

）求證：

1

BB?

平面ABC；

（

2

）求銳二面角

11

CDAC??

的余弦值

.

22．（10分）在ABC?中，角

,,ABC

所對的邊分別是

,,abc

，且25sin2cosacBbC??.

（

1

）求tanB；

（

2

）若5,3ac??，求b.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．

C

【解析】

利用復數的四則運算可得2zi???，即可得答案

.

【詳解】

∵

(3)1izi???

，∴

1

31

i

zi

i

?

????，

∴2zi???，∴復數

z

的虛部為1?.

故選：

C.

【點睛】

本題考查復數的四則運算、虛部概念，考查運算求解能力，屬于基礎題

.

2．

B

【解析】

2||21230,3

ai

aaaa

i

?

??????????

，選

B.

3．

B

【解析】

根據三角函數的定義求得

sin,cosaa

后可得結論．

【詳解】

由題意得點P與原點間的距離????22435rmmm????．

①當0m?時，5rm?，

∴

3344

sin,cos

5555

mm

aa

mm

?

?????

，

∴

342

2sincos2

555

aa?????

．

②當0m?時，5rm??，

∴

3344

sin,cos

5555

mm

aa

mm

?

?????

??

，

∴

342

2sincos2

555

aa

??

???????

??

??

．

綜上可得2sincosaa?的值是

2

5

或

2

5

?

．

故選

B

．

【點睛】

利用三角函數的定義求一個角的三角函數值時需確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標

x

，縱坐標

y

，

該點到原點的距離

r

，然后再根據三角函數的定義求解即可．

4．

A

【解析】

先解

A

、

B

集合，再取交集。

【詳解】

??2002xxx?????

,

所以

B

集合與

A

集合的交集為??1

，故選

A

【點睛】

一般地，把不等式組放在數軸中得出解集。

5．

C

【解析】

作出三棱錐的實物圖PACD?，然后補成直四棱錐PABCD?，且底面為矩形，可得知三棱錐PACD?的外接球和

直四棱錐PABCD?的外接球為同一個球，然后計算出矩形ABCD的外接圓直徑AC，利用公式222RPBAC??

可計算出外接球的直徑2R，再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積

.

【詳解】

三棱錐PACD?的實物圖如下圖所示：

將其補成直四棱錐PABCD?，PB?底面ABCD，

可知四邊形ABCD為矩形，且

3AB?

，4BC?.

矩形ABCD的外接圓直徑225AC=AB+BC=

，且2PB?.

所以，三棱錐PACD?外接球的直徑為22229RPBAC???，

因此，該三棱錐的外接球的表面積為??2

24229RR??????.

故選：

C.

【點睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積，解題時要結合三視圖作出三棱錐的實物圖，并分析三棱錐的結構，選擇合適的模型

進行計算，考查推理能力與計算能力，屬于中等題

.

6．

C

【解析】

由題意利用函數

sin()yAx????

的圖象變換規律，正弦函數的單調性，求出

a

的最大值．

【詳解】

解：把函數

()sin2fxx?

的圖象向右平移

6

?

個單位長度得到函數

()sin(2)

3

gxx

?

??

的圖象，

若函數

()gx

在區間

[0

，

]a

上單調遞增，

在區間

[0

，

]a

上，

2[

33

x

??

???

，

2]

3

a

?

?

，

則當

a

最大時，

2

32

a

??

??

，求得

5

12

a

?

?

，

故選：

C

．

【點睛】

本題主要考查函數

sin()yAx????

的圖象變換規律，正弦函數的單調性，屬于基礎題．

7．

C

【解析】

易得

||2AFa?

，

||4BFa?

，又

1

()

2

FOFBFA??

，平方計算即可得到答案

.

【詳解】

設雙曲線

C

的左焦點為

E

，易得AEBF為平行四邊形，

所以

||||||||2BFAFBFBEa????

，又

||2||BFAF?

，

故

||2AFa?

，

||4BFa?

，

1

()

2

FOFBFA??

，

所以222

1

(41624)

4

caaaa????

，即223ca?，

故離心率為3e?.

故選：

C.

【點睛】

本題考查求雙曲線離心率的問題，關鍵是建立

,,abc

的方程或不等關系，是一道中檔題

.

8．

A

【解析】

求出函數在1x?處的導數后可得曲線在????1,1f

處的切線方程，從而可求切線的縱截距

.

【詳解】

??2321fxxx

?

???

，故??12f

?

?

，

所以曲線??yfx?

在????1,1f

處的切線方程為：????21121yxfx?????

.

令0x?，則

1y??

，故切線的縱截距為1?.

故選：

A.

【點睛】

本題考查導數的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與

y

軸交點的縱坐標，因此截距有正有負，本題

屬于基礎題

.

9．

D

【解析】

由題可知，可轉化為曲線

()2gxax??

與

lnyx?

有兩個公共點，可轉化為方程2lnaxx??有兩解，構造函數

2ln

()

x

hx

x

?

?

，利用導數研究函數單調性，分析即得解

【詳解】

函數()xfxe?的圖象上兩點M，N關于直線

yx?

的對稱點在

lnyx?

上，

即曲線

()2gxax??

與

lnyx?

有兩個公共點，

即方程2lnaxx??有兩解，

即

2lnx

a

x

?

?

有兩解，

令

2ln

()

x

hx

x

?

?

，

則

2

1ln

()

x

hx

x

??

?

?

，

則當

1

0x

e

??

時，

()0hx

?

?

；當

1

x

e

?

時，

()0hx

?

?

，

故

1

x

e

?

時

()hx

取得極大值

1

he

e

??

?

??

??

，也即為最大值，

當0x?時，

()hx???

；當

x???

時，

()0hx?

，

所以0ae??滿足條件．

故選：

D

【點睛】

本題考查了利用導數研究函數的零點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數形結合，數學運算的能力，屬于較難題

.

10書包里的故事作文 ．

D

【解析】

由題意可得9

5

5

a

a

a

?

，從而得到

5

3a?

，再由

5

3a?

就可以得出其它各項的值，進而判斷出

9

S的范圍．

【詳解】

解：

ij

aa?

，或其積

ij

aa

，或其商

j

i

a

a

仍是該數列中的項，

29

aa??

或者

29

aa

或者9

2

a

a

是該數列中的項，

又數列

{}

n

a

是遞增數列，

1239

aaaa??????

，

299

aaa???

，

299

aaa?

，只有9

2

a

a

是該數列中的項，

同理可以得到

9

3

a

a

，9

4

a

a

，

..

，9

8

a

a

也是該數列中的項，且有999

19

872

aaa

aa

aaa

??????

，

?9

5

5

a

a

a

?

，

5

3a??

或

5

3a??

（舍

)

，

6

3a??

，

根據

1

1a?

，

5

3a?

，

9

9a?

，

同理易得

1

4

2

3a?

，

1

2

3

3a?

，

3

4

4

3a?

，

5

4

6

3a?

，

3

2

7

3a?

，

7

4

8

3a?

，

9

4

9129

1

4

13

36

13

Saaa

?

????????

?

，

故選：

D

．

【點睛】

本題考查數列的新定義的理解和運用，以及運算能力和推理能力，屬于中檔題．

11．

C

【解析】

畫出該幾何體的直觀圖PABCD?，易證平面PAD?平面ABCD，平面PCD?平面PAD，平面PAB?平面PAD，

平面PAB?平面PCD，從而可選出答案．

【詳解】

該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面PAD?平面ABCD，

作

PO

⊥

AD

于

O

，則有

PO

⊥平面

ABCD

，

PO

⊥

CD

，

又

AD

⊥

CD

，所以，

CD

⊥平面

PAD

，

所以平面PCD?平面PAD，

同理可證：平面PAB?平面PAD，

由三視圖可知：

PO

＝

AO

＝

OD

，所以，

AP

⊥

PD

，又

AP

⊥

CD

，

所以，

AP

⊥平面

PCD

，所以，平面PAB?平面PCD，

所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有

4

對．

【點睛】

本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．

12．

C

【解析】

設

22

12

12

,,,,(,3)

44

xx

AxBxPt

????

?

????

????

，根據導數的幾何意義，求出切線斜率，進而得到切線方程，將P點坐標代入切線

方程，抽象出直線AB方程，且過定點為已知圓的圓心，即可求解

.

【詳解】

圓22650xyy????可化為22(3)4xy???.

設

22

12

12

,,,,(,3)

44

xx

AxBxPt

????

?

????

????

，

則

12

,ll

的斜率分別為12

12

,

22

xx

kk??，

所以

12

,ll

的方程為??2

11

11

:

24

xx

lyxx???，即1

12

x

yxy??

，

??2

22

22

:

24

xx

lyxx???，即2

22

x

yxy??，

由于

12

,ll

都過點

(,3)Pt?

，所以

1

1

2

2

3

2

3

2

x

ty

x

ty

?

???

?

?

?

?

???

?

?

，

即????

1122

,,,AxyBxy

都在直線

3

2

x

ty???

上，

所以直線AB的方程為

3

2

x

ty???

，恒過定點

(0,3)

，

即直線AB過圓心

(0,3)

，

則直線AB截圓22650xyy????所得弦長為

4.

故選

:C.

【點睛】

本題考查直線與圓位置關系、直線與拋物線位置關系，拋物線兩切點所在直線求解是解題的關鍵，屬于中檔題

.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．1?

【解析】

利用行列式定義，得到

n

a

與

n

S

的關系，賦值1n?，即可求出結果。

【詳解】

由

01

11

01

011(2)10

2

12

12

n

nnn

n

n

a

aaSn

nS

n

nS

?

??????

?

?

?

，令1n?，

得

11

(2)10aa???

，解得

1

1a??

。

【點睛】

本題主要考查行列式定義的應用。

14．

230xy???

【解析】

利用導數的幾何意義計算即可

.

【詳解】

由已知，??'

2

11

fx

xx

???

，所以??'12fqq公告 ??

，又

(1)1f?

，

所以切線方程為

12(1)yx????

，即

230xy???

.

故答案為：

230xy???

【點睛】

本題考查導數的幾何意義，考查學生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區別，是一道容易題

.

15．

197

2

?

【解析】

求

||c

的最小值可以轉化為求以

AB

為直徑的圓到點

O

的最小距離，由此即可得到本題答案

.

【詳解】

如圖所示，設,,OAaOBbOCc???，

由題，得

,||2,||3,,,23cos603

3

AOBOAOBCAacCBbcab

?

??????????????，

又()()0acbc????，所以CACB?，則點

C

在以

AB

為直徑的圓上，

取

AB

的中點為

M

，則

1

()

2

OMOAOB??

，

設嘴唇紅潤 以

AB

為直徑的圓與線段

OM

的交點為

E

，則

||c

的最小值是||OE，

因為

22

2

11119

||()24239

4222

OMOAOBOAOAOBOB????????????，

又22

1

2cos60492237

2

ABOAOBOAOB?????????????，

所以

||c

的最小值是

1197

||

22

OEOMMEOMAB

?

?????.

故答案為：

197

2

?

【點睛】

本題主要考查向量的綜合應用問題，涉及到圓的相關知識與余弦定理，考查學生的分析問題和解決問題的能力，體現

了數形結合的數學思想

.

16．

1

2

【解析】

基本事件總數328n??，三人都收到禮物包含的基本事件個數2214m????．由此能求出三人都收到禮物的概率．

【詳解】

三個小朋友之間準備送禮物，

約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人（送給兩個人的可能性相同），

基本事件總數328n??，

三人都收到禮物包含的基本事件個數2214m????．

則三人都收到禮物的概率

41

82

m

p

n

???．

故答案為：

1

2

．

【點睛】

本題考查古典概型概率的求法，考查運算求解能力，屬于基礎題

.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（

1

）

1234

42226sinSSSS??????，最大值52.198公頃；（

2

）

17

、

25

、

5

、

5.

【解析】

（

1

）你的名字動漫 由余弦定理求出三角形

ABC

的邊長

BC

，進而可以求出

1

S

，

2

S

，由面積公式求出

3

S

，

4

S

，即可求出

()S?

，

并求出最值；（

2

）由（

1

）知，

12

42SS??

，

34

SS?

，即可求出

3

S

、

4

S

，再算出

sin,cos??

，代入（

1

）中表達式

求出

1

S

，

2

S

。

【詳解】

（

1

）由余弦定理得，2BC1382138cos21426cos?????????，

所以，

1

21426cosS???，同理可得

2

21426cos)=21426cosS???????（

又

34

1

138sin26sin

2

SS???????

，

所以

1234

()==42226sinSSSSS??????，

故

()S?

在區間

(0,)?

上的最大值為42226?，近似值為52.198。

（

2

）由（

1

）知，

12

42SS??

，

34

SS?

，所以

34

=5SS?

，進而

5

sin

26

??

，

由

12

SS?

知，cos0??，

1

cos

26

???

，

12

S=21417,21425S?????

故

1

S

、

2

S

、

3

S、

4

S

的值分別是

17

、

25

、

5

、

5

。

【點睛】

本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數平方關系的應用，意在考查學生的數學建模以及數學運算能力。

18．（

1

）

1

C

的極坐標方程為

2sin???

；

2

C的極坐標方程為：3cossin6??????（

2

）

1

2

【解析】

（

1

）根據

cos

sin

x

y

??

??

?

?

?

?

?

，代入即可轉化

.

（

2

）由

3

C

：??00kxyk???

，可得

???

，代入

1

C

與

2

C

的極坐標方程求出

,OAOB

，從而可得

22sin23sincos

6

OA

OB

??

?

?

??

，再利用二倍角公式、輔助角公式，借助三角函數的性質即可求解

.

【詳解】

（

1

）

1

C

：2220xyy???，22sin?????，

1

C?

的極坐標方程為

2sin???

2

C

：36xy??，3cossin6???????，

2

C?

的極坐標方程為：3cossin6??????，

（

2

）

3

C

：??00kxyk???

，則

???

（

?

為銳角），

2sinOA???

，

6

sin3cos

OB

??

?

?

，

22sin23sincos

6

OA

OB

??

?

?

???

2sin1

3sin2cos211

6

662

?

??

??

??

??

??

??

???

，當

3

??

時取等號

.

【點睛】

本題考查了極坐標與直角坐標的互化、二倍角公式、輔助角公式以及三角函數的性質，屬于基礎題

.

19．（

1

）見解析（

2

）見解析（

3

）見解析

【解析】

分析：

(1)

用反證法證明，注意應用題中所給的條件，有效利用，再者就是注意應用反證法證題的步驟；

(2)

將式子進行相應的代換，結合不等式的性質證得結果；

(3)

結合題中的條件，應用反證法求得結果

.

詳解：證明：（Ⅰ）證明：采用反證法，若不成立，則

若

3

n

x??

,

則2

1

63

nn

xx

?

???

,

與任意的*nN?都有

211

2n

x

?

?矛盾；

若

211

2n

x

?

??,

則有

211211

22n

x

??

???,

則

2

2

1

211211

66,

22nn

xx

?

??

??

??????

??

??

??

2

2

21

211211

66,

22nn

xx

??

??

??

??????

??

??

??

與任意的*nN?都有

211

2n

x

?

?矛盾；

故對任意*nN?，都有

121

3

2n

x

?

???成立；

（Ⅱ）由2

1

6

nn

xx

?

??

得2

1

+26+2=+22

nnnn

xxxx

?

????（）（）

，

則

1

+2+22

nnn

xxx

?

???

，由（Ⅰ）知

0

n

x?

，

22

n

x??

，

即對任意*nN?，都有

1

222

nn

xx

?

???

；

.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得：

2

111

2222222n

nnn

xxxx

??

???????????

，

由（Ⅰ）知，

31

n

x????

，

∴

1

21

n

x

?

??

，

∴

1

221nx??

，即

1

1

2

2n

x??

，

若

1

2x??

，則

1

20x??

,

取

2

1

1

log1

2

n

x

??

??

??

?

??

??

時，有

1

1

2

2n

x??

，與

1

1

2

2n

x??

矛盾

.

則

1

2x??

.

得證

.

點睛：該題考查的是有關命題的證明問題，在證題的過程中，注意對題中的條件的等價轉化，注意對式子的等價變形，

以及證題的思路，要掌握證明問題的方法，尤其是反證法的證題思路以及證明步驟

.

20．（

1

）證明見解析（

2

）證明見解析

【解析】

（

1

）求導得()2sinxfxex

?

???，由01xee??，且

sin10x?

，得到

()0fx

?

?

，再利用函數

()fx

在

(,0)??

上

單調遞減論證

.

（

2

）根據題意()2cosln(1),1xgxexxxx???????，求導，令

1

()()sin2

1

xhxgxex

x

?

?????

?

，易知

(0)0h?

；

2

1

()cos

(1)

xhxex

x

?

???

?

，易知當

0,

2

x

?

??

?

??

??

時，

()0hx

?

?

，

()()(0)0hxgxg

??

???

；當

(1,0)x??

時，函數()hx?單調遞增，而

(0)1h

?

?

，又

9

10

99

cos1000

1010

he?????

?

??????

????

????

，由零點存在定理得

0

9

,0

10

x

??

???

??

??

，

使得??

0

0hx

?

?

，??

0

,0xx??

，使得

()0hx

?

?

，有

()()(0)0

??

???hxgxg

從而得證

.

【詳解】

（

1

）依題意，()2sinxfxex

?

???，

因為01xee??，且

sin10x?

，故

()0fx

?

?

，

故函數

()fx

在

(,0)??

上單調遞減，

故

()(0)0fxf??

.

（

2

）依題意，()2cosln(1),1xgxexxxx???????，

令

1

()()sin2

1

xhxgxex

x

?

????簡樸的近義詞 ?

?

，則

(0)0h?

；

而

2

1

()cos

(1)

xhxex

x

?

???

?

，可知當

0,

2

x

?

??

?

??

??

時，

()0hx

?

?

，

故函數

()hx

在

0,

2

?

??

??

??

上單調遞增，故當

0,

2

x

?

??

?

??

??

時，

()()(0)0hxgxg

??

???

；

當

(1,0)x??

時，函數()hx?單調遞增，而

(0)1h

?

?

，

又

9

10

99

cos1000

1010

he?????

?

??????

????

????

，故

0

9

,0

10

x

??

???

??

??

，使得??

0

0hx

?

?

，

故??

0

,0xx??

，使得

()0hx

?

?

，即函數

()hx

單調遞增，即

()gx

?

單調遞增；

故當??

0

,0xx?

時，

()(0)0gxg

??

??

，

故函數

()gx

在??

0

,0x

上單調遞減，在

0,

2

?

??

??

??

上單調遞增，

故當0x?時，函數

()gx

有極小值

(0)0g?

.

【點睛】

本題考查利用導數研究函數的性質，還考查推理論證能力以及函數與方程思想，屬于難題

.

21．（

1

）證明見解析；（

2

）

15

5

.

【解析】

（

1

）證明CDAB?后可得CD?平面

11

BBAA

，從而得

1

CDBB?

，結合已知得線面垂直；

（

2

）以C為坐標原點，以CB為

x

軸，

1

CC

為

y

軸，CA為

z

建立空間直角坐標系，設

1

2CC?

，寫出各點坐標，求

出二面角的面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值．

【詳解】

（

1

）證明：因為ACBC?，D為BC中點，

所以CDAB?，又

1

CDDA?

，

1

ABADD?

，

所以CD?平面

11

AABB

，又

1

BB?

平面

11

AABB

，

所以

1

CDBB?

，又

1

BBAB?

，

ABCDD?

，

所以

1

BB?

平面ABC.

（

2

）由已知及（

1

）可知CB，

1

CC

，CA兩兩垂直，所以以C為坐標原點，以CB為

x

軸，

1

CC

為

y

軸，CA為

z

建

立空間直角坐標系，設

1

2CC?

，則

??0,0,0C

，??2,0,0B

，??0,0,2A

，??

1

0,2,0C

，??

1

0,2,2A

，??1,0,1D

.

設平面

1

DCA

的法向量??

1111

,,nxyz?，則

1

11

0

0

nCD

nCA

?

??

?

?

??

?

?

，即

11

11

0

220

xz

yz

??

?

?

??

?

，令

1

1z??

，則??

1

1,1,1n??；

設平面

11

DCA

的法向量??

2222

,,nxyz?，則

21

211

0

0

nCD

nCA

?

??

?

?

??

?

?

，即

222

2

20

20

xyz

z

???

?

?

?

?

，令

2

1y?

，則??

2

2,1,0n?，

所以

12

12

12

31

s,

5

35

c

5

o

nn

nn

nn

??

?

?

?

.

故銳二面角

11

CDAC??

的余弦值為

15

5

.

【點睛】

本題考查證明線面垂直，解題時注意線面垂直與線線垂直的相互轉化．考查求二面角，求空間角一般是建立空間直

角坐標系，用向量法易得結論．

22．（

1

）

25

tan

5

B?（

2

）2b?

【解析】

（

1

）根據正弦定理到2cos5sinBB?，得到答案

.

（

2

）計算

5

cos

3

B?，再利用余弦定理計算得到答案

.

【詳解】

（

1

）由25sin2cosacBbC??，可得2sin5sinsin2sincosACBBC??

2sin()5sinsin2sincosCBCBBC???,2sincos5sinsinCBCB?

因為sin0C?，所以2cos5sinBB?，所以

25

tan

5

B?.

（

2

）2cos5sin0BB??，又因為22sincos1BB??，所以

5

cos

3

B?.

因為2222cosbacacB???，所以2

5

592534

3

b???????，即2b?.

【點睛】

本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力

.