正三角形

利用正（余）弦定理判斷三角形形狀

判定三角形形狀通常有兩種途徑：

一是通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如：

a?2RsinA

，

a?b?c?2abcosC

等)，利用三角變換得出三角形內角之間的關系進行判斷.此時注意一些常見的元宵節菜譜 三角等式所體

現的內角關系.如：sinA＝工作面試自我介紹 sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A+B＝

2

2

2南京明孝陵

?

等；2

ab

2

?c

2

?a2

,cosA?

二是利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如

sinA?

等，通過

2R2b夢見鞭炮 c

代數恒等變換，求出三條邊之間的關系進行判斷.

例：在△ABC中，已知角A，B，C所對的邊分別是a,b,c，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且

2cosAsinB=sinC，試判斷△ABC的形狀.

思路一：根據條件，判斷三角形三邊的關系，此時需要化角為邊；思路二：可以把角和

邊巧妙地結合起來，同時考慮邊之間的關系，角之間的關系.

方法一：由正弦定理得

sinCcsinCc

，

?

，∵2cosAsinB=sinC，

?cosA??

sinBb

2sinB2b

b

2

?c

2

?a2

由余弦定理的推論得

cosA?

2bc

b

2

?c

2

?a

2

c

2222

?

∴，化簡得

b?c?a?c

，∴a=b；

2bc2b

又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴

(a?b)?c?3ab

，

化簡得

4b?c?3b

，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC是等邊三角形.

方法二：∵A+B+C=，∴sinC=sin(A+B)，又2cosAsinB=sinC，

∴2cosAsinB=sin(A+B)，∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinAcosB-cosAsinB=0，∴sin(A-B)=0，

∵A,B∈(0,)，∴A-B∈(-,)，∴A=B，

222

又∵(量小非君子無毒不丈夫 a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴

(a?b)?c?3ab

，即

a香菇怎么做 ?b?c?ab

，

2

2

2

2

222

a2

?b

2

?c

2

ab1

??

由余弦定理的推論得

cosC?

2ab2ab2

又C∈(0,)，

?C?

?3

，又A=B，∴△ABC是等邊三角形.

規律總結：應用正弦定理進行判斷或證明的方法：

①判斷三角形的形狀實質是判斷三角形的三邊或三角具有怎樣的關系；

②利用正弦定理化邊為角或化角為邊，以實現邊角的統一，便于尋找三邊或三角具有的

關系；

③判斷三角形的形狀的常見結果有等腰三角形、等邊三角形、直角三角形或等腰直角三

角形.

針對性練習：

1.在△ABC中，若atanB=btanA，試判斷△ABC的形狀.

【解析】法一：由正弦定理及已知，得sinA

2

2

2

sinBsinA2

=sinB，

cosAcosB

?

.2

即sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B.

∵0<2A,2B<2，2A+2B<2；∴2A=2B或2A=-2B.即A=B或A+B=

所以，三角形ABC是等腰三角形或直角三角形.

法二：在得到sin2A=sin2B后，也可以化為sin2A-sin2B=0，

∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0或sin(A-B)=0.

∵0

即A+B=

?

或A-B=0，2

?

或A=B.∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.2

2.在△ABC中，若B＝6女人心情 0，2b＝a＋c，試判斷△ABC的形狀.

【解析】方法一：由正弦獨墅湖教堂 定理，得2sinB=sinA+sinC.

∵B＝60，∴A+C＝120,即A＝120－C，

代入上式，得2sin60=sin(120-C)+sinC展開，整理得：

∴sin(C+30)=1,∴C+30=90，

∴C＝60，故A＝60，∴△ABC為正三角形.

方法二：由余弦定理，得

b

2

?a

2

?c

2

?2accosB

，

∵B=60,

b?

2

a?c

a?c2

，

()?a

2

?c

2

?2accos60

?

，

22

整理，得

(a?c)?0

，∴a=c.從而a＝b＝c，∴△ABC為正三角形.