芝諾悖論
解答
芝諾悖論(Zeno's paradoxes)是古希臘數學家芝諾（Zeno of Elea）提出的一系列關于運動的不可分性的哲學悖論。這些悖論由于被記錄在亞里士多德的《物理學》一書中而為后人所知。芝諾提出這些悖論是為了支持他老師巴門尼德關于“存在”不動、是一的學說。這些悖論中最著名的兩個是：“阿基里斯跑不過烏龜”和“飛矢不動”。這些方法現在可以用微積分（無限）的概念解釋，但還是無法用微積分解決，因為微積分原理存在的前提是存在廣延（如，有廣延的線段經過無限分割，還是由有廣延的線段組成，而不是由無廣延的點組成。），而芝諾悖論中既承認廣延，又強調無廣延的點。
這些悖論之所以難以解決，是因為它集中強調后來笛卡爾和伽桑迪為代表的的機械論的分歧點。這些悖論其實都可以簡化為：1/0=無窮。
留傳下來的芝諾悖論共有8個，最為著名的主要有4個，分別為二分法悖論、阿基里斯(Achilles)悖論、飛矢不動悖論和游行隊伍悖論。
二分法悖論的內容是：事物想要運動完全程，就必須運動完全程的一半，而全程的一半還有一半，一半的一半還是有一半，這樣一來一半的概念是可以無限地劃分的，因而，事物在運動的過程中是永遠無法經過“一半”的。因此，運動是永遠無法終結和進行的，因而運動不存在。
這里的問題所在是把時間看作了一個有限的概念而把空間看做了一個無限的范疇。因而認為無法在有限中完成無限。然而事實上，根據馬克思理論，事物的有限無限的概念完全是相對的，不能片面地承認一方面的存在而否定另外一方。
比如說，一條線段（距離）包括無限的點，人永遠無法走完這無數的點，正如他永遠無法數清這些點一樣。為什么人們不認為數不清這無數的點是個悖論，卻認為走完這無數的點就成了悖論了呢？原因就在于數數和運動是不同性質的東西，數數是空間中的行為，運動是本身的時間中的行為，不能混淆時間和空間。
第二個悖論是最為復雜的阿基里斯(Achilles)悖論。芝諾認為追趕者，即阿基里斯需要一定的時間才能達到被追趕者（烏龜）于該時間開始的出發之處。當追趕者達到第一個動身的地方時，第一個已前進了一段新的距離，而追趕者又要費一段時間才能走過該距離，以此
類推以至無窮。
用哲學解答共分為六點：
1、時間的本質是一種特殊性質的“綿延”，本身無法計算和測量。
2、每種運動都作為一種各個性質的不同的綿延。
3、因此運動本身無法測量，只是人的意識的一種主觀感受，一種特殊性質的綿延，通常人們去測量本真的時間，是用空間去計算綿延（即用鐘擺的勻速運動60次去測定一分鐘，而“一定重量的鐘擺，在一定動力的推動下去擺動”，即是所謂的綿延）。但用空間去計算綿延（本身的時間），必須有這樣一個重要前提，即要假定測量的時間相同，必須假定動作完全（綿延）相同。
4、因此，要假定在相同的時間段（測定的時間段）內，即要先假定在相同的動作中才可能。
5、芝諾推論的第一句話,即“阿基里斯需要一定的時間段才能達到被追趕者于該時間開始的
出發之處。”，就是錯誤的，請注意，這里“假定兩者都經歷了相同的時間段，所以到達了不一樣的地方”。這與我們的前提相違背：“要假定在相同的時間段內，即要先假定在相同的動作中才可能”。因為兩個人的動作是不同的,所以得出了錯誤的結果。
6、由于阿基里斯的動作快，故經過的時間較烏龜的時間短，芝諾讓阿基里斯用永遠比烏龜短的時間去追烏龜，所以永遠追不上。
通俗地解釋：
1、假設世界上還沒有發明鐘表，沒有時、分、秒的時間概念。
2、假設非洲原始森林中存在有烏龜家族，他們沒有時間概念，有一天，他們決定自己來測定時間，選了一只最帥的烏龜，讓它以勻速的運動走完100米，然后定這段時間為一小時。
3、假設歐洲的雅典人家族也沒有時間概念，有一天，他們也決定自己測定時間，選跑得最快的阿基里斯，讓他跑完100米，然后確定這段時間為一小時。
4、因此推論：烏龜這只鐘表走得要比阿基里斯的鐘表要慢些。也就是說，烏龜的一小時要比阿基里斯的一小時要長。
5、人們要求在芝諾的前提下達到阿基里斯趕上烏龜，也就是說，一方面要求兩只鐘表走過的路程是一樣的，一方面又要求兩只鐘表顯示的時間是一樣的，所以是矛盾的。
其實芝諾悖論的關鍵是使用了兩種不同的時間測度。這個悖論實際上是反映時空并不是無限可分的，運動也不是連續的。
第三個悖論是飛矢不動悖論：飛馳著的箭，在它的任一瞬點都是在某一點位置上的，因此飛矢是靜止不動的。
用物理學解釋：
1、空間之中（假設世界時間停止了），飛矢在任一瞬點都是靜止的，不可能既在這點，又在那點。
2、由于是飛矢，即肯定其為運動物體，故根本不能提出其任一瞬點，及任一瞬點的固定地
點。因為這樣就取消了時間，而假設飛矢就是假設運動，假設運動就是假設時間，取消時間與運動本身相違背。
3、芝諾在“飛矢”中既設定了“存在時間”這樣一個大前提，而在“不動”中又假設了不存在時間，所以本身是前提矛盾的，因此是悖論。
從哲學的角度出發：飛矢在任意一點既存在到達這點的趨勢，又存在離開這點的趨勢。在運動過程中這種矛盾一直存在。
第四個悖論是游行隊伍悖論：首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對于觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位。
□□□□觀眾席A
■■■■隊列B???向右移動（→）
????隊列C???向左移動（←）
B、C兩個列隊開始移動，如下圖所示相對于觀眾席A，B和C分別向右和左各移動了一個距
離單位。
□□□□
■■■■
????
而此時，對B而言C移動了兩個距離單位。也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等于一個時間單位的矛盾。因此隊列是移動不了。這個悖論用物理上的相對運動就可以解答。
1、物體相對于其他運動的位置變化，叫做相對運動。相對運動簡稱為運動。一個物體相對于另一個物體的位置只是發生了變化，這個物體就在運動。
2、宇宙中沒有不動的物體，一切物體都在不停的運動，運動是絕對的，靜止是相對的
3、要描述某一物體的位置變化，就必須選擇另外的一個物體作為標準。這個被選來作為標
準的另外的物體，叫做參考系。
4、選擇不同的參考系來觀察同一物體的運動，觀察結果可能會有所不同。
比如生活在地球上的人，覺得地球是不動的，其實地球在以30km/s的巨大速度繞太陽公轉。
5、參考系可以任意選擇，該悖論中即是因為選擇了不同的參考系才得出矛盾的結論。
四個論辨可分成兩組，前兩個假定時空是連續的，后兩個假定時空是分立的，每組的第一個論證絕對運動不可能，第二個論證相對運動不可能。關于多的論辨得自辛普里丘在《〈物理學〉注釋》的轉述，大意是：如果事物是多，那么大會大到無限大，小會小到零，因為任何數量都可以無限分割，若分割的結果等于零，則總和是零，若分割結果不是零，則無限總和是無限大。
后人大多認同亞里士多德的引述，認為芝諾悖論只不過是些有趣的謬見而加以批判。關于二分法，亞里士多德說，雖然不可能在有限的時間越過無限的點，但若把時間在結構上看成與空間完全一樣，也可以無限分割，那么在無限的時間點中越過無限的空間點是可能的；
關于阿喀琉斯，他說，如慢者永遠領先當然無法追上，但若允許越過一個距離，那就可以追上了；關于飛矢不動，他說，這個論證的前提是時間的不連續性，若不承認這個前提，其結論也就不再成立了；關于運動場，他說，相對于運動物體與相對于靜止物體的速度當然是不一樣的，越過同樣距離所花的時間當然也不一樣。直到19世紀下半葉，學者們重新研究芝諾的悖論，才發現它們與數學中連續性、無限性等概念緊密相關。
19、20世紀之交的絕對唯心主義者象布拉德雷（Bradley，F.H）全盤接受芝諾的論證和結論。他視運動、時間空間為幻象，芝諾論辯正好符合他的主張，當然全盤接受。在《現象與實在》中他寫道：“時間與空間一樣，已被最明顯不過的證明為不是實在，而是一個矛盾的假象。”除布拉德雷之外，哲學史上大部分哲學家認為芝諾的結論是荒謬的，其論證有問題。不過，在不斷檢查其論證毛病的過程中，人們反倒發現了芝諾論辨的深刻之處。常常是人們自以為解決了芝諾悖論，不多久就又發現其實并沒有解決。
在兩千四百年后的今天，人們已經明白，芝諾的名字將永遠不會從數學史或哲學史中消除。近代德國哲學家黑格爾在《哲學史講演錄》中指出，芝諾主要是客觀而辯證地考察了運動，他稱芝諾為“辨證法的創始人”。
