通信原理課程設計——模擬信號的抽樣

一、

基本原理

1.1抽樣定理

抽樣時時間上連續的模擬信號變成一系列時間上離散的抽樣序列的過程。抽樣定理

要解決的事，能否由此抽樣序列無失真的恢復出模擬信號。

對一個頻帶受限的、時間連續的模擬信號抽樣，當抽樣速度達到一定的數值時，那

么根據它的抽樣值就能無失真恢復原模擬信號。也就是說，若要傳輸模擬信號，不一定

要傳輸模擬信號本身，只需要傳輸由抽樣得到的抽樣即可。因此，抽樣定理是模擬信號

數字化的理論依據。

抽樣的過程是將輸入的模擬信號與抽樣信號相乘，通常抽樣信號時一個周期為T的

周期脈沖信號，抽樣后得到的信號稱為抽樣信號。理想的抽樣為

??

Ts

??

t?t?nT

?

??

??

n

??

??

其中稱為抽樣速率。因此抽樣后信號為

?

??

t?,f?

?

1

0s

t?0

t?0

1

T

s

xt?xtt?xnTt?nT

sTss

??????????

??

k???

?

?

1.2低通抽樣定理

T?12f

??

Hs

秒的時間間隔對一個頻帶限制在內的連續信號，如果以

??

0,f

H

xt

??

它進行均勻抽樣，則將被所得到的抽樣值完全確定，可以由抽樣值序列無失真地重

xt

??

建原始信號。是抽樣的最大間隔，稱為奈奎斯特間隔。

T?12f

sH

??

低通信號的抽樣可以從頻域來理解，抽樣的時域、頻域對照如圖4-3所示，根據頻

域卷積定理，的頻域表達式為

xt

??

111

??

X??X?X??n?X?n

????????????

??????????

Tsss

2TT

?

ss

由上式可見，在的整數倍（n=）處存在的復制譜。如圖4—3（c）

??

??

??

??

n???n???

??

?

s

?1，?2，???

X

??

?

nf

s

后疊加而成，因此如果不發生頻譜重疊，所示，抽樣后信號的頻譜是原信號頻譜平移

1

可以通過低通濾出原信號。

如果抽樣頻率，即抽樣間隔，則抽樣信號的頻譜會發生混疊

??

sH

?2

T?1/2f

sH

??

X

s

??

?

通過介質頻率為的低通濾波器，只允許低于的頻率分將抽樣后的信號

??

HH

現象，此時不可能無失真地重建原始信號。

量通過，濾除過高的頻率分量，從而恢復出原來被抽樣的信號 。濾波器的作用等效

X

?

于用一門函數與相乘。低通濾波器的特性如圖4—3（c）上虛線表示。在時域上

X

s

??

?

就是與沖激響應作運算。即

ht

??

1

xt?ht?xt?fnTSat?nT

??????????

ssHs

T

s

n???

?

??

?

?

式中，抽樣信號 就是，也就是的傅里葉逆變換。圖4—3（d）

Sat?sint/tH

??????

ht

??

?

從幾何意義上來說，以每個抽樣值為峰值畫一個Sa函數的波形，則合成的波形就是x（t）。

圖4—3 低通抽樣的時域、頻域對照

1.3、帶通抽樣定理

一個帶通信號m（t），其頻率限制在fL與fH之間，帶寬為B=fH-fL，如果最小抽樣

速率f=2fH/m，m是一個不超過fH /B的最大整數，那么m（t）可以完全由其抽樣值確定。

下面分兩種情況加以說明：

（1）若最高頻率FH為帶寬的整數倍，即fH =nB。此時fH/B=n是整數，m=n，所以

抽樣速率=2fH/m=2B。圖6-7畫出了fH=5B時的頻譜圖。

圖中抽樣信號的頻譜MS(ω)既沒有混疊也沒有留空隙，而且包含有m(t)的頻譜

2

M(ω)，如圖6-7（c）中兩對虛線所框的部分所示。這樣，采用帶通濾波器就能無失真恢

復原信號，且此時抽樣速率（2B）遠低于按低通抽樣定理時=10B的要求。顯然，若fS

再減小，即fS<2B時必然會出現混疊失真。由此可知：當fH =nB時，能重建原信號m(t)

的最小抽樣頻率為fs=2B。

（2）若最高頻率fH不為帶寬的整數倍，即fH =nB+kB,0此時，fH /B=n+k，由

定理知m是一個不超過n+k的最大整數，顯然，m=n，所以能恢復出原信號m(t)的最小抽

樣速率為。

式中，n是一個不超過fH/B的最大整數，0。

根據式6-11，和關系fH=B+ fL畫出的曲線如圖6-8所示。由圖可知，F在2B-4B范

圍內取值，當fL繼續增加，并遠遠大于B時，趨近于2B。這一點由式（6-11）也可以

加以說明，當fL遠大于B時，n很大，所以不論fH是否為帶寬的整數倍，式（6-11）可

簡化為≈2B。

實際中，應用廣泛的高頻窄帶信號就符合這種情況，這是因為fH大而B小，fL當然

3

也大，很容易滿足fL>>B。由于帶通信號一般為窄帶信號，容易滿足fL>>B，因此帶通信

號通常可按2B速率抽樣。

二、設計過程

2.1、MATLAB編程簡介：

MATLAB將高性能的數值計算和可視化集成在一起，并提供了大量的內置函數，從而

被廣泛地應用于科學計算、控制系統、信息處理等領域的分析、仿真和設計工作，而且

利用MATLAB產品的開放式結構

Matlab特點 ：

（1） 高效的數值計算及符號計算功能，能使用戶從繁雜的數學運算分析中解脫出來；

（2） 具有完備的圖形處理功能,實現計算結果和編程的可視化;

（3） 友好的用戶界面及接近數學表達式的自然化語言，使學者易于學習和掌握；

（4） 功能豐富的應用工具箱(如信號處理工具箱、通信工具箱等) ,為用戶提供了大量

方便實用的處理工具。

2.2設計思路

模擬信號首先被抽樣，通常抽樣是按照等時間間隔進行的，模擬信號被抽樣后，成為抽

樣信號，它在時間上是離散的但是其取值仍然是連續的，所以是離散模擬信號。在理論上抽

樣過程可以看成是用周期性單位沖激脈沖和此模擬信號相乘。抽樣結果得到的是一系列周期

性的沖激脈沖，其面積和模擬信號的取值成正比。

下面舉例說明：給出某一低通信號如：

x(t)=0.5+0.1cos0.15π+1.5sin2.5πt+0.5cos4πt

（1）畫出該低通信號波形；

（2）畫出抽樣速率分別為2Hz、4Hz、6Hz時的抽樣序列；

（3）從抽樣序列恢復出原始信號。

分析：

此次實驗是根據要求先用matlab產生一個的x(t)=0.5+0.1cos0.15π+1.5sin2.5π

t+0.5cos4πt的連續信號，然后對該信號進行抽樣，產生頻譜。抽樣頻率不同，即單位時

間內的抽樣點數不同，會產生不同的頻譜，再設計一個低通濾波器，使抽樣后的信號經過此

低通濾波器，恢復出原始信號，由于抽樣頻率不同會恢復出不同的原始信號。

4

2.3、流程圖

2.4、仿真程序

第一步：產生低通信號波形

t=0:pi/10:30;

x2=0.5+0.1*cos(0.15*pi)+1.5*sin(2.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t);

figure

plot(t,x2);

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

title('原時域連續信號');

grid

第二步：分別以2hz,4hz,6hz的頻率對信號進行抽樣

n1=input('請輸入采樣點數n:');

n=0:n1;

zb=size(n);

figure

t=30*n/zb(2);

sinf=0.5+0.1*cos(0.15*pi*t)+1.5*sin(2.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t);

stem(n,sinf,'.');

xlabel('n');

grid

n的值為采樣點數。n=60時為20hz,n=120為4hz,n=180為6hz

第三步：設計低通濾波器

[B,A]=butter(8,350/500);

[H,w]=freqz(B,A,512,2000);

figure;

plot(w*2000/(2*pi),abs(H));

xlabel('Hz');

ylabel('頻率響應幅度');

title('低通濾波器');

grid;

第四步：根據抽樣后的信號恢復原信號

n1=input('請輸入采樣點數n:')

n=0:n1;

zb=size(n);

figure

t=30*n/zb(2);

sinf=0.5+0.1*cos(0.15*pi*t)+1.5*sin(2.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t);

subplot(2,1,1);

stem(n,sinf,'.');

xlabel('n');

ylabel('x(n)');

title('采樣后的時域信號');

grid

y=filter(B,A,sinf);

subplot(2,1,2);

plot(y);

xlabel('t');

ylabel('x(t)');

title('恢復后的連續信號');

grid;

輸入n的值，輸出抽樣n的抽樣波形和對應的經過低通濾波器的恢復波形。2hz時信號失真

嚴重，4hz時能基本恢復波形，6hz時能很好的恢復波形，分別見圖別見圖時，6hz時能

三、仿真結果

第二步：

n=60

n=120

7

n=180

第三步：

第四步：

8

n=60

n=120

n=180

四、仿真結果分析

（1）第一步：產生要求的信號波形，橫坐標表示時間t，長度為30，描點間隔為pi/10，

縱坐標表示幅度x2,幅度與時間的關系為：

x2=0.5+0.1cos(0.15*pi)+1.5*sin(0.5*pi*t)+0.5*cos(4*pi*t)

（2）第二步；分別以2hz,4hz,6hz的頻率對信號進行抽樣，程序中n為程序運行后手動輸

入，n的值為采樣點數。n=6時為2hz,n=120為4hz,n=180為6hz.

（3）第三步：設計出低通濾波器，利用[b,a]=butter(n,Wn,ftype)一個階數為n頻率為Wn

的低通濾波器其中參數ftype的形式確定了濾波器的形式當它為high時得到高通濾波器若

Wn是一個含有兩個元素向量[w1 w2]則返回的[a,b]所構成的濾波器是階數為2n的帶通濾波

器濾波器的通帶范圍是w1和A分別為離散系統的系統函數分

9

子，分母多項式的系統向量，返回量H則包含了離散系統頻響在0~pi范圍內N個頻率等分

點的值（其中N為正整數），w則包含了范圍內N個頻率等分點。調用默認的N時，其值是

512.

（4）第四步：根據抽樣信號后的信號恢復原信號，輸入n的值，輸出抽樣n的抽樣波形和

對應的經過低通濾波器輸出的恢復波形2hz時信號失真嚴重，4hz時基本能恢復波形，6hz

時能很好地恢復波形。

五、總結

這次設計中，程序的調試遇到很多問題，從基本的函數圖形的產生，到后來的抽樣產

生頻譜，再到后來的設計低通濾波器，到最后的信號恢復，從無知到熟知，這個過程不僅鞏

固了matlab的應用，更讓我對信號的產生，抽樣處理，低通濾波器的設計實現，及信號的

恢復有了更深刻的認識。這次課程設計，我們感覺到了matlab的強大，它的仿真功能是很

多工程所離不開的。

通過用MATLAB對抽樣定理中低通抽樣定理的進行仿真實驗，抽樣定理從理論上說明設

有一個頻帶限制在（0，f）Hz內的時間連續信號m(t)，如果它以不少于2f次每秒的速率對

m（t）進行抽樣，則m(t)可由抽得的樣值完全確定。此定理也稱為均勻抽樣定理，因為它

用在均勻間隔T小于等于0.5f秒上給定信號的抽樣值來表征信號。

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