高二數學教材分析

2004-2005學年度第二學期高二數學教材分析

高級中學 王文新

第九章（A）“ 直線、平面、簡單幾何體” 簡介

一、內容與要求

（一）本章主要內容是立體幾何的基礎知識和解決立體幾何問題的基本思想方法

本章的具體知識點主要包括：平面及其基本性質， 兩條直線的位置關系，平行直線，

對應邊分別平行的角，異面直線所成的角，異面直線的公垂線，異面直線的距離， 直線

和平面的位置關系，直線和平面平行的判定與性質，直線和平面垂直的判定與性質，點到

平面的距離，斜線在平面上的射影，直線和平面所成的角，三垂線定理及其逆定理， 兩

個平面的位置關系，平行平面的判定與性質，平行平面間的距離，二面角及其平面角，兩

個平面垂直的判定與性質， 棱柱，棱錐，多面體和正多面體，球。

（二）本章在體系編排上分為兩大節：第一大節是“空間直線和平面”，第二大節是

“簡單幾何體”

1．直線和平面是最基本的幾何元素，空間直線和平面的位置關系是立體幾何的基礎

知識。學好這一部分內容，對于學生在已有的平面圖形知識基礎上，建立空間觀念，使對

圖形的認識實現從平面圖形到立體圖形這一飛躍，是非常重要的。

第一大節包括6小節，依次按照平面、空間直線、直線和平面平行、直線和平面垂直、

兩平面平行、兩平面垂直的順序編排。這6節之間密切聯系，前面內容是后面內容的理論

根據，后面內容既鞏固了前面內容，又發展和推廣了對前面內容的認識。從而形成了一個

關于空間直線和平面位置關系的概念、判定和性質的知識體系。

本大節無論在全章的知識系統中，還是在培養學生的辯證唯物主義觀點、空間想象能

力和邏輯思維能力方面，都具有重要的基礎作用。

2．簡單幾何體，是指最基本、最常見的幾何體．按照大綱的規定，本章中有關簡單

幾何體只討論棱柱、棱錐、多面體和正多面體、球。這些內容依次排列，構成第二大節所

含的4小節。

由于初中幾何已學過圓柱和圓錐的有關內容，臺體（圓臺、棱臺）又可以通過從大錐

體上截去小錐體而得出，為節約課時以便實現高中數學教學內容的更新，本章中的簡單幾

何體比原《立體幾何》（必修本）在內容上精簡幅度較大，刪去了圓柱、圓錐、圓臺、棱

臺等，只保留了最基本的多面體（棱柱和棱錐）、一般多面體的有關概念、球。

關于棱柱和棱錐，教學內容包括有關概念、性質、直觀圖的畫法三部分．其中直觀圖

的畫法僅重點討論直棱柱和正棱錐的直觀圖。為對有關體積的計算形成統一認識，第二大

節中第一個閱讀材料安排了《柱體和錐體的體積》，介紹了祖氏原理，并根據這一原理對

柱體和錐體的體積公式作了理論上的說明。

關于多面體，教學內容包括有關概念和歐拉公式。此外，還安排了閱讀材料《歐拉公

式和正多面體的種類》，對歐拉公式的推導作了簡要介紹。

關于球，教學內容包括有關概念、性質、球的體積和表面積．本章通過“分割，求近

似和，化為準確和”的方法，即運用“化整為零，又積零為整”的極限思想，對于球的體

積和表面積公式進行了推導，這種處理方法與原《立體幾何》（必修本）有較大變化。教

學中對這兩公式的推導，只要求了解其基本思想方法即可，重點在于掌握公式本身,而不

必要求學生一定要掌握公式推導的細節。

第二大節的內容，既是對簡單幾何體基礎知識的重點討論，又是對第一大節中空間直

線和平面位置關系相關知識的綜合運用。

（三）本章的教學要求

1．掌握平面的基本性質，會畫圖表示平面。

2．掌握空間兩條直線的位置關系，能夠畫出空間兩條直線的各種位置關系的圖形；

掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對于異面直線的距離，只要求會計算已給公垂線時

的距離）。

會用上述概念以及空間兩條直線平行與垂直關系的性質和判定，進行論證和解決有關

問題。

3．掌握空間直線和平面的位置關系，能夠畫出空間直線和平面的各種位置關系的圖

形；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念；掌握三

垂線定理及其逆定理。

會用上述概念以及直線與平面平行、垂直關系的性質和判定，進行論證和解決有關問

題。

4．掌握平面與平面的位置關系，能夠畫出平面與平面的各種位置關系的圖形；掌握

二面角、二面角的平面角、兩個平面間的距離的概念。

會用上述概念以及平面與平面平行、垂直關系的性質和判定，進行論證和解決有關問

題。

5．進一步熟悉反證法，會用反證法證明簡單的問題。

6．掌握棱柱的概念、性質，會用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和直棱柱的直觀

圖。

7．掌握棱錐的概念、正棱錐的性質，會畫正棱錐的直觀圖。

8．了解多面體、凸多面體、正多面體的概念，理解多面體的歐拉公式。

9．掌握球的概念、性質、體積及表面積公式。

10．通過本章教學，培養學生的辯證唯物主義觀點、空間想象能力和邏輯思維能力．

二、本章的特點

（一）重視加強三種數學語言功能的發揮，使教材更有利于培養學生的空間想象能力

數學語言是在數學思維中產生和發展的，又是數學思維不可缺少的重要工具．在對數

學語言的研究中,通常按數學語言所使用的主要詞匯，將數學語言分為三種：文字語言、

符號語言和圖象語言。例如，“垂直于同一平面的兩條直線平行”是一個立體幾何定理的

文字語言形式；是該定理的符號語言形式；用圖象語言，這個定

理則可表示為圖1。幾種語言各有特點，發揮著不同的功能，又互相依存，互相制約。

圖1

本章編寫中注意了采取以下幾點措施來加強三種數學語言功能的發揮。

1．從圖象語言入手，有序地建立三種數學語言的聯系

當代著名數學家、數學教育家G．波利亞將一般數學問題的解決分為四個水平，即圖

象水平，聯系水平，數學水平和探索水平。從數學語言的角度說，這里的第一種水平，使

用的主要是圖象詞匯；第二種水平，是將所考察的對象及表示它的圖象詞匯用文字或符號

的數學詞匯，也是形象、直觀的語言。完成了由對象到圖形的飛躍，才有可能達到后面的

水平。因此，加強圖形的運用十分重要。本章編寫中注意首先強調圖象語言，不僅適當增

加插圖的數量，而且注意提高插圖的質量，在圖形的典型性、簡明性、直觀性、概括性及

趣味性等方面下功夫，力求充分發揮其作用。文字語言是對圖形的描述、解釋與討論，符

號語言則是文字語言的簡化和再次抽象。顯然，首先建立的是圖象語言，其次是文字語言，

再次是符號語言，最后形成的應是對于對象的三種數學語言的綜合描述，即整體認識。有

了這種整體認識，三種語言達到融匯貫通的程度，即由一種描述能轉化為其他描述，就基

本能把握對象了。

對于對象的文字和符號描述，必須緊密聯系圖形，使抽象與直觀結合起來，即在圖形

的基礎上發展其他數學語言．本章在闡述定義、定理、公式等重要內容時，先給出圖形再

以文字和符號描述，注意綜合運用幾種數學語言，使其優勢互補，以期能收到更好的效果，

給學生留下更深刻的印象。

2．做好由模型到圖形的過渡

立體幾何的一個主要難點，是要由畫在二維平面（如書頁）上的圖形想象出三維空間

中的幾何關系。對此,即使學習了較長時間立體幾何，遇到復雜些的圖形也有一定難度。

對于初學立體幾何的高中生，把平面上的圖形在頭腦中立體化困難就更大。克服這些困難

的一個有效辦法，就是做好由模型到圖形的過渡。要增加一些由模型畫圖形的訓練，例如

畫簡單幾何體（正方體等）的練習可以提前些。通過觀察實物或模型并用幾何圖形表示它

們，熟悉空間各種線面關系的表示方法，對于看圖是非常重要的。這應作為學習立體幾何

的圖象語言的起始內容。為此，本章在練習和習題中安排了一些“觀察圖形后填空”或

“用符號表示語句并畫出圖形”類型的題目，希望教學中能重視發揮它們的作用。

3．注意兩個方向的轉化

培養空間想象力，有兩個不同方向的轉化問題．首先是“圖形---文字--- 符號”的

轉化，即由圖形出發，弄清畫在平面（書頁、黑板等）上的立體圖形所表示的空間幾何關

系，以及未明確表示的隱蔽關系，然后將它們用文字語言加以描述，再以數學符號概括表

示，將“有形”的信息變為“無形”的形式．其次是“符號---文字---圖形”的轉化，即

理解符號或文字所表達的空間幾何關系，并將它們用圖形直觀地表示出來，化“無形”為

“有形”。因此，本章注意了由不同方向對圖形與文字、符號間轉化的設計安排，特別在

前面部分的練習題和習題中增加了插圖的數量，并且加強這種轉化的訓練。這樣做既有利

于第一種轉化,同時也為實現第二種轉化做了必要準備。

4．文字語言要準確簡明

本章的語言敘述力求準確簡明。對一個公理和一個定義在文字敘述上作了變化。

（1）關于平面的公理2的敘述

在《立體幾何》課本（必修本）中，公理2是這樣敘述的：

“如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且僅有一條通過這個點的公共直線。”

關于公理2的這種文字表達上似應改進。讀了上述文字，可能初學者會問：“這兩個

平面的過這個點的公共直線有且僅有一條，此外還有無不過這個點的公共直線？”“這兩

個平面除這條公共直線外還會有別的公共點嗎？”產生這樣的疑問的原因是，從字面上看

上述公理中“有且僅有一條”的對象單指“通過這個點的公共直線”而不包括其他公共

直線。雖然由“通過這個點的公共直線有且僅有一條”可以推出“這兩個平面的公共直線

有且僅有一條，它通過這個點”，但是這樣的推導又需使用另外的公理（公理3），進行這

樣的推導并非原課本設計的本意。實際上，由課本的上下文及插圖可以明顯地看出，課本

中安排這個公理是要直接明確地告訴學生：“這兩個平面的公共直線有且僅有一條，它通

過這個點。”

鑒于以上所述，本章雖然仍以這個公理為公理2，但是在文字敘述上改寫如下：

*

“如果兩個平面 有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集

合是一條直線．”（教科書中加頁邊注：* 在本章中，沒有特別說明的“兩個平面”，均

指不重合的兩個平面．）

由于新教材在第1章專門安排了“集合”的內容，在第9章的序言中又強調了“空間

圖形是空間中點的集合”，所以編者認為改寫后的公理2，能夠結合學生已學的集合概念，

簡單準確清楚地說明問題，從而克服原教材敘述上的不足．

（2）關于兩點間球面距離的敘述

《立體幾何》課本（必修本）對兩點的球面距離敘述如下：

“在球面上，兩點之間的最短距離，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的

長度．我們把這個弧長叫做兩點的球面距離．”

仔細閱讀可以發現，這里兩次出現了“距離”一詞．細心人會問：既然“球面距離”

定義出現在后，那么這段文字中前面的“最短距離”又是指什么“距離”？它相對于哪些

距離而言“最短”？

《立體幾何》課本（必修本）中上述文字雖算不上循環定義，但至少是在未明確外延

的“距離”中說“最短距離”，又用未交代清楚的“最短距離”來解釋“球面距離”，這

種用含義不清的概念解釋新概念的描述方法在邏輯上容易引起混亂．因此，原來的敘述顯

然應改進．

鑒于以上所述，本章在對兩點的球面距離下定義時，改變了用“最短距離”進行解釋

的作法，代之以用“最短連線的長度”來介紹描述，即文字敘述如下：

“在球面上，兩點之間的最短連線，就是經過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧．我

們把這段弧的弧長叫做兩點的球面距離．”

雖然這里僅僅是幾個字的改動，但是這樣改在邏輯上更合理，內容上更確切，比原課

本寫法更直觀，從而更便于教學．

5．符號語言要合理、簡潔、易用、相對規范

本章在符號語言的使用方面注意把原課本的優點發揚光大． 使用符號的目的在于帶

來方便，符號要合理．例如，我們用

,分別表示“平面的交線為a”和“點P在直

線a上，a在平面內”，就是根據點是基本元素，直線、平面是點的集合的道理．這里的

都有固定含義，不能隨意使用，教學中有必要向學生反復交代．

符號要簡潔，在不會引起混亂的前提下可適當簡化．例如，用,而未用

來表示直線a,b相交于點P．雖然從嚴格的角度來看,后一寫法更規范，

但是前一寫法較簡單，又不至于引起誤解，所以前一寫法更可取（國家標準也是這樣規定

的）．采用某種寫法要前后一致，不可隨意變換．規范是相對的，有時某些約定俗成的不

甚嚴格的符號更實用．

符號要易用，如果一下子出現過多符號會給使用帶來不便，則不必強求符號化．例如，

在邏輯中“或”和“且”分別有專門符號，但如果我們用

來表示“直線a,b,c或互相平行，或相交于一

點P”，就容易稍不留意而將等弄混．對此類問題本章采用

類型的表示，以便于初學者掌握．

符號的使用要有通用性，因而應相對規范．本章對于國家標準中已作過明確規定的符

號，不折不扣地執行；對于尚未有明確規定的，則按照準確、簡潔、易用的標準，結合高

中生的實際，參照通常使用的情況，審慎地選擇使用．

（二）簡化了關于幾何體的內容，用“分割，求和，逼近”法對球的兩個公式進行推

導，突出相應的數學思想

本章在保留原來的“直線和平面”部分主要內容的基礎上，簡化了幾何體部分，重點

講棱柱、棱錐、正多面體和球．

1．本章關于球面積和體積公式的推導方法必須與原教材有相應變化．其理由主要有：

（1）教學內容中刪除圓臺后，原教材中引出球面積公式的預備定理就不能出現了，

因此球面積公式的處理不能沿用原教材方式．

（2）教學目標中未包含體積公理及柱、錐體積的理論推導，而這些內容恰恰是原教

材中球體積公式之前的內容．如果不討論圓柱、圓錐體積的推導，而直接用ü_們來推出球

的體積公式，就在邏輯上顯得很不協調人們不僅要問：為什么圓柱、圓錐的體積公式不作

理論上的推導，而球的體積公式卻要推導呢？因此球體積公式的處理也不好照搬原教材方

式．

（3）微積分初步知識已屬于現代社會新一代人應了解的科學內容之一，利用微積分

的基本思想方法，適當借助幾何直觀，而不嚴格地使用微積分的有關概念及公式，可以對

上述兩個公式做出深入淺出的解釋性推導，這種方法要比原教材的初等數學證法更具一般

性．

2．新教材在處理球面積、球體積公式推導時，與原教材相比較有以下兩個主要變化：

（1）先講球體積公式，后講球的表面積公式，講后者時利用前

者，而且推導它們的基本思想方法同出一轍．

（2）不用原教材的需要借助圓錐和圓臺為預備知識的推導方法，而以求幾何度量公

式時具有一般性的數學思想為指導，改用“分割，求近似和，化為精確和”的推導方法．同

時注意適合高中生的水平，既要使學生理解公式推導的基本思想方法，又要有別于正規地

使用極限、微積分等有關概念及公式法則的嚴格推導．具體處理方法是：求球體積公式時，

將半球切片，用多個圓柱體的和逼近球；求球表面積公式時，將球分為多個以球心為頂點

的小錐體，用它們的和逼近球，通過比較體積得出表面積公式．

本章推導這兩公式時，力圖進行在滲透近代數學思想方法上下功夫而又考慮到教學的

量力性原則的改革．在這兩公式的推導部分，都作了相應的注解，即說明編寫者認為在教

學要求上應重在掌握公式本身和理解公式推導的基本思路，而不要過于強調掌握具體推導

過程，以此希望能有助于師生使用本書時把握好重點．

三、教學中應注意的幾個問題

（一）抓住重點，克服難點，打好基礎，注重培養學生的空間想象能力

本章教材的重點，是平面的基本性質、空間直線的位置關系、直線與平面之間（線面）

及兩平面之間（面面）的平行和垂直關系，即第一大節的主要內容．這是研究立體幾何問

題的重要基礎．掌握好上述內容，就抓住了立體幾何中最根本的內容，其他部分就容易學

習了．因此，對于本章前面部分的教學，應注意講求實效，讓學生切實學好這些最基礎的

內容，并能在頭腦中建立相應的知識體系，使知識條理化．

使學生建立正確的空間觀念，對圖形的認識上實現由平面到立體的過渡，是本章教學

中的難點．為克服這一難點，可注意以下幾點：

1．聯系實際提出問題和引入概念，合理運用教具，加強由模型到圖形，再由圖形返

回模型的基本訓練．由對照模型畫直觀圖入手，逐步培養由圖形想象出它所對應的模型的

形狀及其中各元素的空間幾何位置關系的能力．

2．體會本章“從圖形入手，有序地建立圖形、文字、符號這三種數學語言的聯系”

的編寫意圖，通過適當的練習訓練提高學生使用這些語言的能力．

長期的教學實踐證明，由直觀的圖形到抽象的文字、符號，對于學習幾何是極其重要

的第一認識過程．只有完成好這一過程的認識，才能升華到由抽象的文字、符號返回直觀

圖形的第二認識過程．教學中應研究學生的認識規律，按照“先由具體圖形到抽象文字和

符號，再由抽象文字和符號返回具體圖形”的順序，讓學生掌握三種數學語言的綜合運用

能力．

3．聯系平面圖形的知識，利用對比、引申、聯想等方法，找出平面圖形和立體圖形

的異同以及兩者的內在聯系，逐步培養學生把已有的對平面圖形認識上升為對立體圖形的

認識，以及把立體圖形分解為平面圖形、利用平面幾何基礎解決立體幾何問題的能力．

（二）結合觀察分析圖形能力的訓練，提高學生的邏輯思維能力

本章研究的是立體圖形，所涉及的問題包括畫圖、計算、證明等，其中證明問題占較

重要的地位．進一步發展學生的邏輯思維能力，是教學目的之一．由于本章討論的對象是

空間的幾何元素，所以有關推理證明必須建立在觀察分析立體圖形的基礎上．完成這樣的

問題既需要空間想象能力，又需要邏輯思維能力，應該說是兩種能力的綜合運用．

本章所用的證明方法，主要是通常的直接證法，此外還用到反證法以及同一法的思想，

這些證明方法都是根據具體命題的需要而選擇采用的，證法簡明是選擇的主要標準．對于

證明過程的表述，本章根據具體題目的特點，分情況采用了“”和

“”兩種主要形式，教學中可結合學生實際靈活掌握，而不應限制過死．教

學中應要求學生會用反證法證明簡單的問題，至于同一法思想的應用，只限于課本的程度，

主要是解決有關唯一性的問題，不要求出現同一法的名詞，也不過多地訓練學生用同一法

證題．

本章對球的兩個公式的推導，具體處理方法包含較深刻的變化思想，涉及“直與曲”、

“近似與準確”、“有限與無限”等的轉化，學生學習這些內容時認識上要有一個新的飛

越，所以有一定難度．然而，我們認為：適當地引導學生認識公式的來龍去脈，有利于他

們理解公式及其產生過程，提高對數學思想方法的認識，符合他們的認識水平和求知欲

望．只要在教學中處理得當，注意深入淺出，從特殊歸納一般，對于高中學生來說克服這

些障礙是完全可能的．在教學要求上應重在掌握公式本身和理解公式推導的基本思路，而

不要過于拘泥于推導細節的嚴謹性．

（三）注意知識體系的整理總結

本章第一大節以空間的“線線、線面、面面”之間的位置關系為主要線索展開，其中

“平行”和“垂直”是兩種重要的位置關系，這樣安排可以被認為是按幾何元素縱向深入

研究．學習完該大節后，還可以變換一個角度，以“平行”和“垂直”為線索，對所學內

容進行橫向整理總結．這種橫縱結合的學習方法有利于對知識的認識更系統、更深入，運

用起來更靈活．

四、有待研究的問題

（一）如何更好地聯系實際

本章內容如何更好地聯系實際，加強學生對所學內容的應用意識和能力？哪些實際問

題既具有現代特征又適合高中生研究解決？這是本章編寫中不斷思考但始終未能找到很

好的答案的問題．希望教學中能對此注意研究、收集、總結．

（二）結合教學內容，研究教具學具和教學軟件的制作

模型教具在立體幾何教學中有特殊地位，結合教學內容研制相應的教具學具，對培養

學生的觀察能力和動手能力是十分有益的．隨著計算機的日益普及，教學軟件等在教學中

的作用正逐步開拓．因此，圍繞本章內容開展這方面的研制和使用應及早提到日程。

第十章 “排列、組合與概率” 簡介

高中數學(試驗本·必修)的第十章是《排列、組合與概率》，它是由現行高中數學必

修本代數下冊的第九章《排列、組合、二項式定理》和第十章《概率》合并而成的。

作為高中數學必修內容的最后一個部份，本章在整個高中數學中占有重要地位。以計

數問題為主要內容的排列與組合，屬于現在發展很快且在計算機領域獲得廣泛應用的組合

數學的最初步知識，它不僅有著許多直接應用，是學習概率理論的準備知識，而且由于其

思維方法的新穎性與獨特性，它也是培養學生思維能力的不可多得的好素材；作為初中一

種多項式乘法公式推廣二項式定理，不僅使前面組合等知識的學習得到強化，而且與后面

概率中的二項分布有著密切聯系；至于概率，在概率論與數理統計已獲得今日社會的廣泛

應用、概率已成為日常生活的普通常識的今天，對它進行初步學習更是顯得十分重要：可

以獲得概率的一些基本知識，了解其中的一些基本觀念和思考方法，運用它解決一些簡單

的實際問題，并為到高中三年級以及進一步學習概率統計知識打好必要的基礎。

一、內容與要求

(一)內容分析

從《新大綱》來看，本章內容與現行高中數學必修本的相應兩章內容完全相同，在教

材處理上，考慮到科學計算器已進入高中數學學習，注意了運用計算器進行較為復雜的排

列組合、概率的計算，并刪減了計算器的情況下學習必要性已不太大的“用二項式定理進

行“近似計算”等內容。

在內容安排上的一個突出變化，就是將排列、組合與概率從分章安排改為并成一章，

這主要是基于兩者之間的下述密切聯系：

排列與組合，主要研究有限集合的一類計數問題，而本章中的概率，重點研究隨機試

驗下基本結果有限的事件的概率，特別是等可能性事件的概率；求排列數、組合數與求等

可能性事件的概率在內容上是平行的，因為求 中的n、m實際上往往是求排列

數、組合數；概率為p的事件在n次獨立重復試驗中恰好發生 k次的概率計算公式，實際

上就是二項展開式

的通項為第k十1項的公式,從解應用題的思考方法看也完全相通，

正向思考時，利用加法原理、乘法原理、互斥事件的概率加法公式等將較復雜的問題進行

分解，必要時利用逆向思考的方法通過考慮集合在全集中的補集、求對立事件的概率等來

簡化問題的求解。

鑒于排列、組合與概率的上述密切聯系，將它們并成一章，有利于知識間的融匯貫通，

有利于進一步了解排列、組合的具體應用，有利于節省教學時間，有利于控制排列、組合

的學習難度。

本章第一大節從學習加法原理和乘法原理開始，應該說，這兩個基本原理在本章的學

習中占有重要地位；其作用并不限于用來推導排列數、組合數公式，實際上其解決問題的

思想方法貫穿在整個學習的始終：當將一個較復雜的問題通過分類進行分解時，用的是加

法原理；當將它通過分步進行分解時，用的是乘法原理。在此基礎上，研究排列與組合，

運用歸納法導出排列數公式與組合數公式，并提出組合數的兩個性質，以簡化組合數的計

算和為推導二項式定理作好鋪墊。隨后研究的二項式定理，在本章中起著承上啟下的作用：

它不僅將前面的組合的學習深化一步，而且為學習后面的獨立重復試驗，二項分布作了準

備。

在本章的第二大節，先在實例的基礎上提出隨機事件的概率的概念后，著重研究了所

謂古典概型——隨機試驗下的結果數有限且發生的可能性相等的概率模型，使學生會進行

一些最簡單的概率計算并由此加深對概率概念的理解，為了擴大所能計算的概率的范圍，

又研究了事件的加、乘運算，提出了互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法

公式。最后通過計算n次獨立重復試驗中事件恰好發生 k次的概率，使前面所學知識在這

里得到綜合運用，形成本章的一個較為理想的收尾。

本章還為部分學有余力的學生安排了兩篇閱讀材料。一篇是《從集合的角度看排列、

組合和概率》，通過這篇材料，可以看到排列、組合與概率這兩類看上去并無共同之處的

概念間的內在聯系。例如，求組合數及其相應的等可能性事件的概率，可分別看成是在一

個全集下的某個子集到數的集合的不同的映射，可見從集合的角度去認識這些概念，可加

深對其本質和內在聯系的認識，此外，由于集合及其關系可用圖形表示，便于將一些較復

雜的問題分析清楚，因此運用集合的方法可以較為順利地求解一些較為復雜的應用題。另

—篇閱讀材料《抽簽有先有后，對各人公平嗎？》是一個在現實生活中常常遇到的問題。

對這個問題有些人存在著“先抽有利”的心理，這篇閱讀材料運用概率計算的方法，說明

了先后抽簽的公平性。

(二)教學要求

1．掌握加法原理與乘法原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題。

2. 理解排列、組合的意義，掌握排列數、組合數計算公式，并能用它們解決一些簡

單的應用問題。

3. 掌握二項式定理和二項展開式的性質。并能用它們計算和證明一些簡單的問題。

4．了解隨機事件的發生存在著規律性和隨機事件的概率的意義，了解等可能性事件

的概率的意義，會用排列、組合的公式計算一些等可能性事件的概率。

5．了解互斥事件與相互獨立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨立

事件的概率乘法公式計算一些事件的概率，會計算事件在n次獨立重復試驗中恰好發生k

次的概率。

6．通過對概率知識的學習，了解偶然性富于必然性之中的辯證唯物主義思想。

二、本章編寫的主要特點

“注”的方式，小結了解題的思路與方法。例如 10．5節例2后的“注”寫道：“像

例2這樣，求某些稍復雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成

一些彼此互斥的事件的概率的和，二是先去求該事件的對立事件的概率”。

(三)突出了知識間的內在聯系

中學數學里的各種知識并不是孤立存在的，而是相互聯系的，這種聯系不僅可使我們

將整個中學數學知識編織成一個有序的結構，而且便于我們利用這種聯系從不同的角度去

解決同一問題。在本章中，除上面提到的將排列、組合與概率并成一章，將二項展開式與

n次獨立重復試驗中事件恰好發生k次的概率公式聯系起來以外，還特別將前面學習的函

數與二項展開式聯系起來。

我們曾研究過許多函數，特別是研究過自變量離散變化的一種函數——數列，因此從

函數的角度看，研究二項式系數的性質其實并不是一個什么新鮮問題，它實際上是研究定

義域為{0，l，2， ? ，n}的某個函數的性質，這樣就可以借鑒以前研究函數的一些經驗

與做法，畫出其圖象以增加研究的直觀性，確定需要研究的性質的內容(包括定義域、對

稱性、增減性、最大值等)。這樣處理，不僅使對“二項式系數的性質”的學習變得直觀

和有規可循、從而便于接受，而且使所學知識成為以前知識的自然延伸，而不是一個另起

的新知識生長點。

(四)重視啟發學生的思維

編寫教材時，充分利用本章的特點讓學生在通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，

得出結論，以啟發學生積極開動思維機器，培養其觀察、歸納能力。例如在提出“組合”

這一節的第1個引入例時，隨即發問：這個例子與 “排列”那一節的第1個引入例有什

么不同?在講“組合數的兩個性質”時，當引導學生得出 。后，提出問題：“怎

樣對這一結果進行解釋呢?”從而引導到對組合數的性質1的證明。同樣，組合數的性質2

也不是直接提出，而是先從一道例題的結論中發現，然后問：“你能對

上面的等式作出解釋嗎?”，由此順其自然地進入組合數的性質2的證明。

此外，教材在敘述過程中還適當安排了一些“想一想”這些“想一想”，均是一想就

能回答的問題，旨在活躍教材講述的氣氛，以更好地吸引學生，并對所講的重點問題起到

補充作用。例如教材在導出排列數公式后，先舉了兩個代入公式進行計算的具體例子，然

后安排了一個“想一想：如果

，那么n＝? m=?”這是針對學生只習慣于正向思考、

不習慣于逆向思考而設計的：如果給出了n，m，學生能很快寫出A的表示式，但是反過來，

已知的表達式，要求找出n和m 時，卻往往反應不那么敏捷了，因此這個簡單的“想

一想”有助予學生從正、反兩方面去熟悉排列數公式。又如，在導出了公式

后，緊接著安排了一個“想一想：對比上面公式與前面表示二項式定理的公式，你能看出

它們之間的聯系嗎？”這個問題本身是簡單的：上式就是二項展開式

的第k+1 項。在弄清這個事實后，達到了復習前面的公式、了解

了兩個公式的聯系、了解了前面公式的應用、對以后應用中可能產生的混淆作了提醒等目

的。

(五)注意知識的應用

本章內容，特別是有關概率的部分，有著廣泛的實際應用，正是因為這一點，使數學

教育改革中各國中學數學課里增加概率統計知識成為沒有爭議的事。盡管本章只是介紹了

有關概率的一些最初步知識，如講概率的加法僅限于互斥事件、講概率的乘法僅限于相互

獨立事件，從而使知識聯系實際問題受到一定限制，但總的來看，本章內容在解決實際問

題方面還是大有可為的。在編寫教材時，內容聯系實際的面力求廣泛，涉及生活的方方面

面且為學生所熟悉，使學生充分感受到所學知識與實際生活的聯系，體會到數學在社會中

的作用，當然，也要注意避免聯系學生不熟悉、不易理解的應用問題。從知識應用涉及的

內容看，聯系日常生活的有體育比賽、科學選材、文娛活動、旅游、購物、分物品、存放

物品、電話號碼、儲蓄、擲硬幣、擲玩具等，聯系社會生活的有出生率、藥物療效、天氣

預報、上(下)班等，聯系學生生活的有選代表、排課表、課外活動、排節目、過生日等，

聯系生產實際的有產品檢驗、電路設計、測量誤差、生產故障、種籽發芽等。需要指出的

是，我們有意回避了賭博等問題，如將擲點數用的賭具改叫做正方體玩具，以避免對學生

產生負面影響。

三、教學中應注意的幾個問題

(一)注意把握教學要求

學生學習本章時，是第一次接觸概率知識，它只是內容豐富的概率論與數理統計這門

龐大的數學分支的一些最初步的知識，限于教學要求和學生的知識基礎，對其中很多問題

的講述從數學的角度看是不嚴密的。例如，對隨機事件的概率的一般定義，實際上是一個

并不嚴格的描述性定義，多個事件兩兩相互獨立的意義，教材上并未明確指出；互斥事件

的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式是在具體例子的基礎上歸納出來的，并未

進行一般的證明等等。但是，這種理論上的不嚴謹并不影響學生了解概率等概念的實際意

義和進行簡單應用；即并不影響完成本身的學習目標。因此，我們在教學觀念上定要把學

習看成一個不斷深化的過程，擺脫“深、透、全”的影響，避免將教學要求拔高。比如注

意，不要為了講清隨機事件的意義而引進樣本空間的概念，不要企圖將隨機事件的一般定

義講得更加清楚、更加確切，不要提出一般的兩個事件的和與積的意義，不要補充3個以

上的事件的兩兩相互獨立的確切含義，不要對互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的

概率乘法公式進行一般性證明。在排列與組合這—部分，排列數公式在具體例子基礎上歸

納得出即可，不必用數學歸納法去進行嚴格證明，對于本章的例習題，在要求上不宜提高，

因為事實證明，過高的教學要求不僅增加了學生的負擔，而且沖淡了學生對基本概念的理

解和學會基本的應用。

(二)加強對解應用題的指導

解排列、組合和概率的應用題，既是本章的重點，又是本章的難點。實踐表明，極易

算錯是上述應用題的一個非常顯著的特點；因此加強對解應用題的指導，是本章教學成功

的一個關鍵問題。具體來說，建議在以下環節上進行指導。

1．仔細審題，弄清題意。通過審題，應弄清題目中的條件，特別注意其中是否帶有

隱含條件。例如，“從數字0，1，2，3中每次取出 3個數字，共可組成多少個沒有重復

數字的三位數?”這道題，如果將它看成一個求排列數問題，那么數字0不能作為一個排

列的開頭就是其中的隱含條件。如果審題不仔細，常常漏掉或錯誤理解其中的隱含條件。

其次，在審題中要弄清題目屬于哪一類問題，特別是要區別排列問題與組合問題：可向學

生強調，它們的區別在于是否與順序有關，為了鑒別這一點，可以任選其中的一個結果，

交換其中兩個元素的位置，如果結果不變就是組合問題，否則就是排列問題。

2．點撥思路，加強分析。對帶有附加條件的排列組合題和某些概率題，通常有不同

的解題思路。可以正向思考，也可以逆向思考，正向思考時可以通過“分類”將問題分解，

也可以通過“分步”將問題分解。這時，就要根據問題的特點，確定一種較為簡便、合理

的解法。為便于將問題分析清楚。有時還可畫出輔助圖形。在講完例題后，還可回過頭來

2．做好由模型到圖形的過渡

(三)結合本章內容對學生進行思想教育

對學生進行思想教育，是包括各門課程在內的整個學校各方面工作的共同任務，有意

識地結合數學教學的具體內容對學生進行思想教育，往往能收到事半功倍的效果。

1．通過介紹“楊輝三角”，對學生進行愛國主義教育，“楊輝三角”是我國古代著

名的數學成就之一，它的發現要比歐洲早約500年，因此應通過這一偉大發現，說明中華

民族的勤奮與智慧，激發學生的民族自豪感；為祖國的繁榮昌盛而努力學習的熱情。

2．通過對概率等知識的教學，使學生認識對立統一的辯證唯物主義觀點。隨機事件

在一次試驗中的發生與否具有偶然性，但在多次重復試驗中，它的發生存在著一定的規律

性，即 “偶然中有必然”‘可見，偶然性與必然性既是對立的，同時在一定的條件下又

是可以轉化的。學生認識這一對立統一規律，對他們今后正確地認識事物及其關系很有幫

助。

(四)注意在符號使用方面所出現的變動

根據新頒布的有關量和單位使用的國家標準，排列數符號P已棄用，而改用A，這樣

改動的一個好處是使表示排列數和概率的符號避免采用同一字母，這在將排列與概率并成

一章時尤其有著重要意義。按照上述標冶，組合數的符號采用和均可，考慮到

排列數符號與組合數符號表示的協調，并照顧到過去一直采用的習慣，這次教材中將

組合數符號選定為。此外在研究某些事件的概率時，變量在某一段的取值范圍已不用

而改為 “[a，b]”，這是因為在上述標準中前者的意義改為[a，b]，用它

表示分組數據時不能保證數據的既不重復又不遺漏。

四、有待研究的幾個問題

(一)是否將“重復排列”明確為教學要求

在《大綱》中，并未列上“重復排列”的知識條目，但不論是從現行高中必修本，還

是從本高中試驗教材來看，重復排列的知識及其應用實際上都已涉及到了。筆者認為，與

其將它這樣“羞羞答答”地塞進所學內容．還不如索性將其明確為教學內容更好．這樣在

教學時更利于掌握。

從n個不同元素中可以重復地選取m個元素。按照一定的順序排成一排，叫做n個不

同元素的允許重復的m個元素的重復排列。這個概念是不難理解的，與不重復排列相比，

被選的n個元素互不相同這一點是共同的，不同的只是所選的m個元素，一個要求互不相

同，一個無此要求。從重復排列數公式的推導看，也較簡單，易于理解，只要運用乘法原

理，可立即得到它等于

實際上，學生在運用乘法原理解某些應用題時，已自覺不自覺地多次運用過這一公

式．而一旦將這一公式明確提出，學生會強化對它的記憶與理解，從而可以減少常常發生

的答案是

還是

的混淆。

重復排列不僅易于掌握，而且應用很廣，諸如電話號碼、密碼等問題均與其有關。可

見，在現有的乘法原理的基礎上，順勢提出重復排列的概念、在實例基礎上歸納出重復排

列數公式，從這個公式應用的角度講點例題(此例題教材本來就有，只是求解的根據的提

法不同)，所花時間充其量為1課時，鑒于上述分析，將重復排列明確為教學內容是適宜

的。

(二)是否應從集合的角度去解釋排列、組合和概率

排列、組合和概率的概念，均可從集合的角度去解釋或定義。例如，從3個不同元素

a， b， c中取出2個元素的所有排列是：

ab， ac， ba， bc， ca， cb，

這些排列組成一個集合，每一排列是其中的一個元素，求，實際上就是求上述

集合(記為 A)的元素個數card(A)。這里， card(A)＝ 6。對于組合，也可作類似考慮，

而概率的集合解釋，教材正文中已提到了。

對于將排列、組合、概率與集合聯系起來，在本教材征求意見過程中存在著不同意見，

持贊成態度的強調了進行這種聯系的兩點好處。

首先，集合是中學數學中的基本概念之一，在中學里研究的數、式、函數、圖形、向

量、排列與組合、概率等，都可以看作是某種集合，即在集合的高度上，各種不同概念間

的本質顯現得更清楚了，它們之間的聯系更突出了。因此，將排列、組合、概率與集合聯

系起來，有助于學生在高中數學必修課的最后，從集合的角度對所學的主要概念進行梳理，

對所學知識進行綜合復習和融匯貫通。

其次，可利用集合表示的直觀性和集合的并、交、補等運算關系求解較復雜的應用題。

解排列、組合應用題的一個特點是容易算錯，常因對問題的分析不夠仔細和確切導致計算

的重復和遺漏，而當用集合方法考察這些應用題時，可將問題中的限制條件間的關系轉化

為可用集合文字圖清楚顯示的集合間的運算關系，從而使問題較容易獲得解決。

另一方面，不贊成將排列、組合、概率與集合聯系起來的理由主要也是兩條。

首先，不進行上述聯系，學生也能理解有關概念，并不會影響本章的學習效果，而進

行上述聯系后，雖然觀點高了，但并不見得學生就能理解，這對于以學會用數學為主要目

的的多數學生來說未必合適。

其次．國家標準規定中的集合符號的表示較為繁瑣。集合A的元素個數表示為card(A)，

集合A在全集I中的補集表示為，因此當用這些符號表示一些問題時，增加了問題

的抽象程度，有將簡單問題復雜化之嫌。

鑒于上述，本教材將排列、組合與集合的聯系暫列為僅供學有余力學生學習的“閱讀

材料”，而在與集合的聯系更為直接(事件就是一種特殊的集合)、用集合方法分析有關問

題更為清晰的概率中，適當增加了對概率問題的集合解釋。這些處理方法是否妥當，還需

在教材試驗中進一步研究。