一元高次方程求解方法

2023年12月3日發(作者：諾基亞7370)

-

一元高次方程的漫漫求解路

若有人問你：“你會解一元二次方程嗎？”你會很輕松地告訴他：會的，而且非常熟練！任給一個一元二次方程

ax?bx?c?0,a?0, ①

2?b?b2?4ac由韋達定理，①的根可以表示為x?。

2a 若進一步問你，會解一元三次方程或更高次數的方程嗎？你可能要猶豫一會兒說，只會一些簡單的方程。于是你就會想：一元三次方程或更高次數的方程，是否也像一元二次方程的情形一樣，有一個公式，它可以用方程的系數，經過反復使用加減乘除和開方運算，把方程的根表示出來？

數學家們當然應當給出完美的理論來解決高次方程的求解問題。有關理論至少應當包括高次方程是否有解？如果有解，如何求得？

n次方程的一般表達式是

nn?1

a0x?a1x?????an?1x?an?0,a0?0,

nn?1而f(x)?a0x?a1x?????an?1x?an稱為n次多項式，其中a0?0。當系數a0,a1,

???,an?1,an都是實數時，稱f(x)是n次實多項式，當系數中至少有一個為復數時，稱f(x)

為n次復系數多項式。如果存在復數?，使得f(?)?0，就稱?是n次方程f(x)?0的一

個根，或稱為n次多項式f(x)的一個根。

1799年，年僅22歲的德國數學家高斯在他的博士論文中首先證明了“代數基本定理”：復數域上任一個次數大于零的多項式，至少有一個復數根。

根據代數基本定理可以推出：復數域上n次多項式恰有n個復數根，其中k重根以k個根計算。這一結論也可以用多項式的因式分解語言來敘述：“復數域上任何n次多項式都可以分解成n個一次式的乘積。”

代數基本定理是一個純粹的多項式根的存在定理，它沒有給出求根的具體方法。

要求得n次方程的根，一般是希望得到n次方程

nn?1

f(x)?a0x?a1x?????an?1x?an?0 ②

33 的求解公式，如二次方程①的求根公式那樣。眾所周知，方程①的解早在古代的巴比倫、埃及、中國、印度、希臘等國的數學著作中，都有不同的表述方式。一個n次方程②的求根公式是指，②的根通過其系數經由加、減、乘、除以及乘方、開方的表示式，也稱這種情況為方程有根式解。

三次以及高于三次的方程是否有根式解？也就是說，是否有求根公式？經過漫長的研究之路，直到16世紀，意大利數學家卡當（Candano）及其助手才先后給出了三次和四次方程的根式解。這里我們向讀者介紹卡當關于三次方程解的公式，從中可看出他所作的極富技巧的變換。另一方面，這個與二次方程僅僅相差一次方的三次方程，是中學時代愛好數學的青少年向往著解決的問題，看看前人是如何解決的，自己又能得到什么啟示？

不失一般性，可以設三次方程中x的系數為1，則三次方程為

x?ax?bx?c?0 ③

其中a,b,c是任意復數。若令x?y?332a3，則三次方程簡化為

y?py?q?0 ④

3a3ab2a3?其中p?b?，q?c?，

3327 設y1,y2,y3表示簡化方程④的根，則據根與方程系數的關系，得y1?y2?y3?0。

?u??4p3?27q2?2?z1?y1?vy2?vy3? 若令?，?。

112?3??z2?y1?vy2?vy3?v????22對于適當確定的立方根，卡當公式是z1?3?273273q??3u，z2?3?q??3u，

22221?y??13(z1?z2)?y1?y2?y3?0??1?2?2?1求解線性方程組?y1?vy2?vy3?z1，得到?y2?(vz1?vz2)，

3??2?y1?vy2?vy3?z21?1??2y??33(vz1?vz2)?于是，原三次方程的三個根為y1?3qq????3???，

22qqqqy2??3?????23???，y3??23?????3???。

2222

34 13q2p3i（i??1是虛數單位）?其中??，????。

22427 對于四次方程求根，就更加復雜了。但數學家們還是找到了一個解四次方程的辦法。與三次情形類似，用一個平移，消去方程x的這一項，于是可假定四次方程為

x?ax?bx?c?0 ⑤

然后構造方程的預解式4b?(u?a)(u?4c)?0 ⑥

這是u的三次方程。通過這個三次方程解出u，把得到的u代入，可以把原方程化為兩個二次方程來求根。因而可以說，對于次數不超過4的方程，都可以找到根的計算公式，使得方程的每個根可以用方程的系數經過加減乘除和開方運算表示出來。做這件事就叫做根式求解。

由四次方程根式可解的突破，使當時許多著名的數學家幾乎都相信任意的五次方程也一定可以根式求解，并以極大的熱情和自信尋找五次或更高次數方程的求根公式。從16世紀中葉到19世紀初，為了獲得五次方程解的類似結果，最杰出的數學家，如歐拉、拉格朗日，都曾做過一些嘗度，但都沒有成功。1771年，拉格朗日，才開始懷疑這種求根公式的存在性。他通過分析發現，次數低于5的代數方程求根，都可以經過變量替換，先解一個次數較低的預解式，再代入求原方程的解。到了五次方程，情況完全變了，預解式的次數不是降低了，而是升高了。1801年，高斯也意識到這個問題也許是不能解決的。直到1813年，拉格朗日的學生魯非尼（Ruffini）終于證明了，通過找預解式的辦法來求解五次方程是行不通的。

魯非尼的結果只是說用拉格朗日的辦法解五次方程是不可能的，并不能說不存在其他的解決辦法。1826年阿貝爾發表了《五次方程代數解法不可能存在》一文，第一個正式從否定的角度來談求根公式的存在。他證明了“具有未定系數的、高于4次的方程是不能用根式求解的”。不過他的思想當時是有很多人（包括高斯在內）表示不理解，而且他的證明也還不很清楚，有一些漏洞。他也沒有給出一個準則來判定一個給定的高次代數方程是否可以根式求解。阿貝爾的結論具有廣泛性，但并不排除對一些特殊的5次和5次以上方程具有根式解，例如，x?a?0就有根式解。于是更深刻的問題被提出了：一個方程有根式解的充要條件是什么？這個在代數方程中至關重要的問題被法國青年數學家伽羅華（Galois）徹底解決（但伽羅華理論在他死后約15年，1846年才發表）。

伽羅華的天才思想促使了今天我們稱之為抽象代數這門學科的蓬勃發展。要了解伽羅華

35

522342的理論，需要群、環和域等抽象代數的理論知識。伽羅華的思想就是把方程f(x)?0的求解問題轉化為確定對應的伽羅華群是否為所謂的可解群的問題。當對應的伽羅華群是可解群，則方程就是可以根式求解的，否則就不可以根式求解。

可解群是群的理論中一個重要內容，也有許多方法來確定一個群是否為可解群。曾經有一個著名的猜測，叫做伯恩賽（Burnside）猜測，它說有奇數個元素的有限群是可解群。這個問題在1963年已被數學家費特(Feit)與湯卜松（Thompson）解決，證明很長，太平洋數學雜志用了整整一期來發表他們的研究結果，不可解群也有很多，例如n?5時，n個文字的對稱群就是不可解群。

對n?5，我們完全可以構造一個n次多項式，使得它所對應的伽羅華群不是可解群。因此對每個n?5，都存在一個不是根式可解的n次多項式。這樣就徹底解決了一般五次以上方程的根式不可解性。n?4，根式可解，n?5一般就不可解了，真是“一步之遙，天壤之別”。

下篇 怎樣得到高次方程的近似根

盛松柏

伽羅華找到了一個一元高次方程能否根式求解的判別方法，但是他還是沒有給出高次程的具體求解方法。那么，如何求得高次方程的根呢？

在一般情況下，求出精確根是很困難的，而且科學研究、工程技術季實際應用中，也沒有必要求出精確根，只要求出根的近似值。那么，又如何求得高次方程的根的近似值呢？

設x*是f(x)的一個精確根，即f(x)?0，假設問題所要求的精確度為?，也就是

*x?x*??的x，稱為x*的一個近似根。 滿足x?x??的x，或滿足*x* 下面我們介紹一下求近似根的幾個常用方法：

方法一：牛頓切線法

取一個初始值x?x0，然后使用下述迭代公式

xk?1?xk?'f(xk)，k?0,1,2,???,

'f(xk)y

其中f(x)是f(x)的一階導數。

牛頓切線法有明顯的幾何意義，如右圖，

f(xk)

f(xk-1)

36

O

x*

xk-1

xk

x *因為f(x)的根x滿足f(x)?0，在直角

*坐標平面中，點(x,0)恰是y?f(x)

的曲線與Ox軸的交點，于是每次迭代所得

的點xk正好是曲線上點(xk,f(xk))的橫坐

標。牛頓切線法其實就是過曲線上的一列

點所作曲線的切線與Ox軸的交點。

方法二：牛頓割線法

在方法一中，只要給定一個初始點x0。而方法二中，我們給定兩個初始點x0,x1。然后

在每次迭代時，把xk?1,xk作為下一次迭代的始值。

xk?1?xk?*xk?xk?1f(xk),k?1,2,3,???

f(xk)?f(xk?1) 這類方法都是從已知的點通過相同的計算公式，求得下一個新點。數學上稱為迭代法。迭代法很適合于計算。只要初始值選取得好，以上兩種方法產生的無窮數列。

{x0,x1,???,xn,???}

均能收斂于f(x)的根x。

方法三：二分法

先將[a,b]分成N等份，得到N個等長的小區間，顯然每個小區間的長度h?*b?a。記N第一個小區間為[a1,b1]，其中a1?a，b1?a?h，第i個小區間為[ai,bi]，則ai?

a?(i?1)h，bi?a?ih?ai?1，i?1,2,???,N.

若對其中某些i，有f(ai)?f(bi)?0，則在(ai,bi)中必有f(x)的一個根。然后對這些

(ai,bi)再分別用二分法，便能求出f(x)的一個近似根。

二分法很簡便，是工程師們喜歡的一種求全部相異近似單實根的方法。問題在于如何合適地確定N，因為N太大，則工作量也會太大，而N太小時，會出現某個小區間內包含多個根，從而二分法會將這個小區間的根漏掉。

方法四：劈因子法

先用求單實根的方法，求出f(x)的一個根x1，利用因式分解有f(x)?(x?x1)f1(x)，

其中f1(x)是（n?1）次多項式。然后求f1(x)的一個根x2，依次計算下去就有可能求出

37 f(x)的所有實根。這里所說的有可能求出f(x)的所有實根，而不是一定，是因為在一般情況下，我們只能求得x1,x2等的近似值，所以有可能會影響到后面所得根的精確性。

方法五：林士諤—趙訪熊法

林士諤與趙訪熊是我國兩位著名的數學家，在計算數學方面都有卓越的貢獻。林士諤—趙訪熊法是求f(x)的復數根的一種好方法。

?b?b2?4ac 我們知道，二次多項式ax?bx?c?0,a?0,的根由x?給出，林士諤2a2—趙訪熊法就是求f(x)的二次因式u(x)?x?px?q的方法。該方法建立了一套求p和2q的迭代方法，且可以避免復數運算。一旦求得p和q之后，就得到了f(x)的兩個根，且當p?4q?0時，可得到f(x)的一對共軛復根，然后再利用

2

f(x)?(x?px?q)f1(x)，

2其中f1(x)是（n?2）次多項式，繼續用同樣的方法求f1(x)的實根或復根。該法也是一種劈因子法。

求高次方程的根的近似值，除了以上幾種方法外，還有施斗姆（Stome）法等，這里不再詳說。這些方法各有優點，又不是萬能的。另外，牛頓法和二分法可以用來求超越方程的根，牛頓法及其改進可以用來求非線性方程組的根。

（柯正摘自《數形思辯》，江蘇科學技術出版社，2000年9月）

38

-