三等分角教案

2023年12月10日發(作者：小游擊隊員)

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數學活動—三等分角 教案

教學任務分析

科目

學校

教師

知識技能

數學

課題

班級

時間

三等分角

初二A2

2014.10.

利用全等三角形的相關知識解決三等分角問題，積累數學活動經驗.

教學

目標

1． 體會轉化的數學思想.

2． 能主動運用所學知識解決問題，培養應用意識.

數學思考

3． 運用工具解決實際問題，培養應用意識和創新意識.

4． 經歷觀察思考、動手操作、實踐檢驗和推理證明的數學活動過程.

問題解決

1． 通過折紙三等分直角.

2． 利用全等及相關知識證明勾尺三等分任意銳角的原理.

1. 了解三等分角相關的數學史知識，對數學有好奇心和求知欲.

情感態度 2. 在數學活動的過程中，鍛煉克服困難的意志.

3. 養成獨立思考、動手操作的習慣.

重點 數學活動過程（包括觀察思考、動手操作、實踐檢驗和推理證明）.

難點 探究折紙方法和動手操作.

教學流程安排

教學流程

一、 課題引入

二、 問題探究

問題1：如何三等分直角？

問題2：利用手中的勾尺三等分任意銳角?ABC,

并加以證明.

三、

四、

設計說明

了解三等分角的由來，激發好奇心.

經過獨立思考尋找折疊方法，并加以證明，經歷數學活動的過程，發展創新意識.

新課標中指出，鼓勵學生能主動嘗試從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略. 在問題1和2的證明過程中，都需要用到本章所學知識.問題2還用到了工具.

通過問題1和2的探究，以及作業的完成，體會問題解決的多樣性，發展學生的創新意識.

小結幫助學生梳理本節活動課的收獲.

小結提升

布置作業

教學過程設計

教學過程 設計說明 教學過程

一、 課題引入：

尺規作圖三等分角是古希臘數學的三大難題之一，而如今數學設計說明

尺規作圖三等分任意角是古希臘幾何作圖三大難題之一，通過史料介紹，可以上已證實了這個問題無解（借助坐標系可證明60°角不可以用尺規激發學生的好奇心和探究欲.

作圖三等分）.

若將條件放寬，可以將一給定角三等分. 例如通過折紙的方法，或使用其它工具，或者可以配合其他曲線使用.

二、 課題探究

問題1：如何三等分直角？

1. 量角器

2. 含30°角的三角尺

3. 折紙

希望學生通過問題1的解決，了解用折紙的方法解決問題的原理，以及思路：折紙的原理就是全等變換，另外，折之前先通過草圖分析點或線的性質，進而折出相應的點或線.

同時，經歷觀察思考、動手操作、實踐檢驗和推理證明的數學活動過程，積累數學活動經驗.

動手操作是難點，給學生留出足夠的動手時間.

證明過程中用到本章所學全等的相關知識，增強應用意識.

操作步驟：

（1） 長方形紙片命名為ABCD；

（2） 將紙片對折，使得AD與BC重合，折痕為EF；

（3） 翻折左上角，使折痕通過點B，且點A落在EF上，折痕記為BN；

（4） △ABM為以長方形的寬為一邊的等邊三角形，射線BM，BN即為?ABC的三等分線.

小結：你能概括一下數學活動的過程嗎？

導入：其它行業用到的工具. 問題2的導入，讓學生了解不同行業運問題2：勾尺三等分任意銳角 用工具解決問題，讓學生有意識設計工具閱讀材料：勾尺的直角頂點為P ，“寬臂”的寬度=PQ=QR=RS，解決問題，增強應用意識.

．．勾尺的一邊為MN，且滿足M，N，Q三點共線（所以PQ⊥MN）．

通過閱讀材料，完成操作過程，培養學（1）請根據下面的操作步驟，利用手中的勾尺三等分任意銳角生的閱讀理解能力.

動手操作依然是難點，通過操作勾尺，?ABC.

第一步：畫直線DE使DE∥BC，且這兩條平行線的距離等于提高動手操作能力.

組內互助，完成操作過程. 在幫助同PQ；

第二步：移動勾尺到合適位置，使其頂點P落在DE上，使勾伴的同時，體驗成功的樂趣，收獲更加深刻的理解.

尺的MN邊經過點B，同時讓點R落在?ABC的BA邊上；

最后，運用本章所學的全等及相關知第三步：標記此時點Q和點P所在位置，作射線BQ和射線BP．

識給出證明，一方面，發展學生嚴謹的邏A輯思維；另一方面，增強學生的應用意識.

BC

（2）證明?ABC的三等分線是射線BQ和射線BP． 教學過程

三、

1.

2.

3.

小結提升

活動過程

數學思想

應用意識

設計說明

通過小結，幫助學生提煉本節課的核心內容，發展應用意識.

四、 作業布置

必做部分：

1. 規范書寫問題1和2的證明過程.

2. 閱讀材料，了解阿基米德三等分角的原理，并給出證明.

設所要三等分的角為∠AOB, 如圖，阿基米德取一直尺，令其一端點為點P，另在直尺邊緣上取一點Q，以O為圓心，PQ長為半徑作圓，交∠AOB兩邊于A、B. 讓P點在OA的反向延長線上移動，Q點保持在圓上移動，當直尺剛好通過B點（即點B，Q，P在一條直線上）時，畫出直線PQB，則1?APB??AOB.

3

規范書寫幾何推理的過程，

必做作業，通過自己查閱資料，了解阿基米德三等分角的方法，激發學習數學的興趣，同時體會問題解決的多樣性，發展創新意識；

選作題1，遷移所學知識，解決新的問題，增強應用意識.

選做題2，通過查閱資料，進一步了解三等分角的相關歷史知識，增強數學興趣.

BQP

選作部分：

根據操作步驟折出任意銳角的三等分線，并根據折疊過程，寫出已

知，求證，加以證明. 本題推理論證的難度高于問題1和2，

讓學有余力的學生課后充分探究，提高知（1）在一個正方形紙片上折出任意銳角?PBC;（如圖1）

（2）將正方形ABCD對折，使得AD與BC重合，記折痕為EF；識方法的遷移能力，并鍛煉克服難題的毅再將長方形EBCF對折，使得EF與BC重合，記折痕為GH；（如力.

圖2）

（3）翻折左下角使B落在GH上，記為B′，且使E落在BP上，記為E′，折痕記為XY，點G折后的點記為G′；（如圖3）

（4）折BG′和BB′，則射線BG′，BB′為∠PBC的三等分線.（如圖4）

圖 1-2OA教學過程

APDAPD設計說明

EGFHBC

BC

圖1 圖2

AXE'EGG'B'FHENG'M2145Q6YC3B'PDAPDXE'FGH

BYC

B

圖3 圖4

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