有關三角形邊的n 等分線的兩個發現

2023年12月10日發(作者：普通話測試報名)

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　　　　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ解題技巧與方法　１３７

有關三角形邊的ｎ等分線的兩個發現有關三角形邊的等分線的兩個發現◎王　平　曾雪東　尹紅梅　（重慶市字水中學，重慶　４０００００）　　【摘要】三角形邊的ｎ等分線作為三角形的特殊線段，對其性質的探究具有一定的意義．本文通過探究三角形邊的ｎ等分線的交點，從中得到了交點三角形的幾個結論．【關鍵詞】三角形；交點；ｎ等分線；性質．又∵∠Ｄ１ＡＦ２＝∠ＢＡＣ，∴△Ｄ１ＡＦ２∽△ＢＡＣ．∴∠ＡＤ１Ｆ２＝∠ＡＢＣ．∴Ｄ１Ｆ２∥ＢＣ．∴Ｄ１Ａ１Ｄ１Ｆ２ＡＤ１１＝＝＝．Ａ１ＣＢＣＡＢｎＤ２Ｂ１Ｂ１Ｃ＝Ｄ２Ｂ１Ｄ１Ａ１１１＝＝．．∴ｎＢ１ＣＡ１Ｃｎ三角形中的每條邊上都存在邊的ｎ等分線，單從一條ｎ等分線考慮沒有什么特別的性質，如果合理地選擇一些ｎ等分線，它們交點的相對位置具有了共性的特征．本文從靠近三角形的頂點的六條ｎ（ｎ＞２）等分線出發，通過研究這些ｎ等分線的交點所構成的三角形的特征，從中得到了兩個交點三角形的性質．經過推理論證，筆者得到了以下幾個結論：性質１　如圖１，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分別為ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分線（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１ＡＢ，ｎ同理可得圖２１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１分別為ＣＤ１ｎｎ∴與ＢＦ２，ＡＥ１與ＣＤ２，ＢＦ１與ＡＥ２的交點．則△Ａ１Ｂ１Ｃ１與△ＡＢＣ位似，位似比為ｎ－２，且位似中心為△ＡＢＣ的重心．ｎ＋１Ａ１ＣＢ１Ｃｎ＝＝．Ｄ１ＣＤ２Ｃｎ＋１又∵∠Ａ１ＣＢ１＝∠Ｄ１ＣＤ２，∴△Ａ１ＣＢ１∽△Ｄ１ＣＤ２．∴∠ＣＡ１Ｂ１＝∠ＣＤ１Ｄ２．∴Ａ１Ｂ１∥Ｄ１Ｄ２，且又∵∴Ａ１Ｂ１Ａ１ＣＡ１ＣＤ１Ｄ２Ｄ１ＣＡ１Ｃ＋Ａ１Ｄ１＝＝＝ｎ．ｎ＋１Ｄ１Ｄ２ＡＢ－ＡＤ１－ＢＤ２ｎ－２＝＝，ＡＢＡＢｎ＝Ｄ１Ｄ２Ａ１Ｂ１·Ｄ１Ｄ２ＡＢ＝ｎｎ－２ｎ－２＝·．ｎ＋１ｎｎ＋１Ｂ１Ｃ１ｎ－２Ａ１Ｃ１ｎ－２＝＝，．ＢＣｎ＋１ＡＣｎ＋１Ａ１Ｂ１ＡＢ圖１同理，Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ，Ａ１Ｃ１∥ＡＣ，且∴Ａ１Ｂ１Ｂ１Ｃ１Ａ１Ｃ１ｎ－２＝＝＝．ＡＢＢＣＡＣｎ＋１證明　如圖２，連接Ｄ１Ｆ２，ＡＡ１交于Ｈ點，延長ＡＡ１交ＢＣ于點Ｇ．∵ＣＤ１，ＢＦ２分別為ＡＢ，ＡＣ的ｎ等分線，ＡＤ１ＡＦ２１＝＝．∴ＡＢＡＣｎ數學學習與研究　２０２２??３６∴△Ａ１Ｂ１Ｃ１∽△ＡＢＣ，且相似比為ｎ－２．ｎ＋１下面證明△Ａ１Ｂ１Ｃ１與△ＡＢＣ的位似中心為△ＡＢＣ的重心．Copyright?博看網. All Rights Rerved. 　　　解題技巧與方法　１３８　　　　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ

∵Ｄ１Ｆ２∥ＢＣ，∴∴Ｄ１ＨＤ１Ａ１１Ｄ１ＨＡＤ１１＝＝，＝＝．ＧＣＡ１ＣｎＢＧＡＢｎＤ１ＨＤ１Ｈ＝．∴ＢＧ＝ＧＣ．ＧＣＢＧ∴直線ＡＡ１經過△ＡＢＣ的重心．同理，直線ＢＢ１，ＣＣ１也經過△ＡＢＣ的重心．∴直線ＡＡ１，ＢＢ１，ＣＣ１相交于△ＡＢＣ的重心，即圖４△Ａ１Ｂ１Ｃ１與△ＡＢＣ位似，且位似中心為△ＡＢＣ的重心．推論１　三角形邊的六條三等分線中，靠近三角形同一頂點的（不在這個頂點上）的兩條三等分線的交點構成的三角形與原三角形相似，且邊的相似比為１∶４．在性質１的條件下，當ｎ＝５時，有如下結論：推論２　如圖３，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分別為ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的５等分線（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１ＡＢ，５證明　如圖５，連接Ｅ１Ｆ２．∵ＡＥ１，ＢＦ２分別為ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分線，∴ＢＥ１ＡＦ２１ＣＥ１ＣＦ２ｎ－１＝＝．∴＝＝．ＢＣＡＣｎＢＣＡＣｎ又∵∠Ｅ１ＣＦ２＝∠ＢＣＡ，∴△Ｅ１ＣＦ２∽△ＢＣＡ．∴∠ＣＥ１Ｆ２＝∠ＣＢＡ．∴Ｅ１Ｆ２∥ＡＢ．∴Ｅ１Ａ２Ｅ１Ｆ２ＣＦ２ｎ－１ＡＡ２ＡＡ２ｎ＝＝＝＝＝．∴．Ａ２ＡＡＢＣＡｎＡＥ１ＡＡ２＋Ａ２Ｅ１２ｎ－１ＡＣ２ＡＥ２＝ＡＡ２ＡＣ２ｎｎ＝＝．∴．２ｎ－１ＡＥ１ＡＥ２２ｎ－１Ａ２Ｃ２ＡＡ２ｎ＝＝．Ｅ１Ｅ２ＡＥ１２ｎ－１與ＢＦ２，ＡＥ１與ＣＤ２，ＢＦ１與ＡＥ２的交點．則△Ａ１Ｂ１Ｃ１與△ＡＢＣ位似，位似比為１，且位似中心為△ＡＢＣ的重心．２１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１分別為ＣＤ１５５同理，有∴Ａ２Ｃ２∥Ｅ１Ｅ２，且圖３圖５筆者通過考慮三角形的其他ｎ等分線的交點，得到了下面的性質：性質２　如圖４，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分別為ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分線（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１ＡＢ，ｎ又∵∴Ｅ１Ｅ２ＢＣ－ＢＥ１－ＣＥ２ｎ－２＝＝，ＢＣＢＣｎＡ２Ｃ２Ａ２Ｃ２Ｅ１Ｅ２ｎｎ－２ｎ－２＝＝＝··．ＢＣＥ１Ｅ２ＢＣ２ｎ－１ｎ２ｎ－１Ｂ２Ｃ２ＡＢ＝ｎ－２Ａ２Ｂ２ｎ－２＝，．２ｎ－１ＡＣ２ｎ－１１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ２，Ｂ２，Ｃ２分別為ＡＥ１ｎｎ同理可得∴與ＢＦ２，ＢＦ１與ＣＤ２，ＣＤ１與ＡＥ２的交點．則△Ａ２Ｂ２Ｃ２與△ＡＢＣ位似，位似比為ｎ－２，且位似中心為△ＡＢＣ的重心．２ｎ－１Ａ２Ｃ２Ｂ２Ｃ２Ａ２Ｂ２ｎ－２＝＝＝．ＢＣＡＢＡＣ２ｎ－１ｎ－２．２ｎ－１數學學習與研究　２０２２??３６∴△Ａ２Ｂ２Ｃ２∽△ＡＢＣ，且相似比為Copyright?博看網. All Rights Rerved. 　　　下面證明△Ａ２Ｂ２Ｃ２與△ＡＢＣ的位似中心為△ＡＢＣ的重心．如圖６，連接ＡＢ２，Ｄ２Ｆ１相交于點Ｎ，延長ＡＢ２交ＢＣ于Ｍ點．　　　　　　　　　　　ＪＩＥＴＩＪＩＱＩＡＯＹＵＦＡＮＧＦＡ解題技巧與方法　１３９

圖７在同時滿足性質１和性質２的條件下，有：△Ａ１Ｂ１Ｃ１與△ＡＢＣ位似，位似比為圖６ｎ－２；△Ａ２Ｂ２Ｃ２與△ＡＢＣ位似，位似ｎ＋１比為∵ＢＦ１，ＣＤ２分別為ＡＣ，ＡＢ的ｎ等分線，∴ＣＦ１ＢＤ２１ＡＦ１ＡＤ２ｎ－１＝＝．∴＝＝．ＡＣＡＢｎＡＣＡＢｎｎ－２ｎ－２２ｎ－１÷＝．ｎ＋１２ｎ－１ｎ＋１ｎ－２．因此，△Ａ１Ｂ１Ｃ１與△Ａ２Ｂ２Ｃ２位似，且位似比為２ｎ－１推論５　如圖８，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，１ＡＢ，ｎ又∵∠Ｆ１ＡＤ２＝∠ＢＡＣ，∴△Ｆ１ＡＤ２∽△ＣＡＢ．∴∠ＡＦ１Ｄ２＝∠ＡＣＢ．∴Ｄ２Ｆ１∥ＢＣ．∴ＮＤ２Ｄ２Ｂ２Ｄ２Ｆ１ＡＤ２ＮＤ２＝＝＝＝．ＭＣＢ２ＣＢＣＡＢＭＢＢＦ２分別為ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的ｎ等分線（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝ＢＥ１＝ＣＥ２＝１１ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ１，Ｂ１，Ｃ１，Ａ２，Ｂ２，Ｃ２分ｎｎ∴ＭＣ＝ＭＢ．∴直線ＡＢ２經過△ＡＢＣ的重心．同理，直線ＢＣ２，ＣＡ２也經過△ＡＢＣ的重心．∴直線ＡＢ２，ＢＣ２，ＣＡ２相交于△ＡＢＣ的重心，即△Ａ２Ｂ２Ｃ２與△ＡＢＣ位似，且位似中心為△ＡＢＣ的重心．推論３　三角形邊的六條三等分線中，相鄰的（不在同一個角上）兩條三等分線的交點構成的三角形與原三角形相似，且邊的相似比為１∶５．在性質２的條件下，當ｎ＝５時，有：推論４　如圖７，在△ＡＢＣ中，ＣＤ１，ＣＤ２；ＡＥ１，ＡＥ２；ＢＦ１，ＢＦ２分別為ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的５等分線（即ＡＤ１＝ＢＤ２＝１ＡＢ，５別為ＣＤ１與ＢＦ２，ＡＥ１與ＣＤ２，ＢＦ１與ＡＥ２，ＡＥ１與ＢＦ２，ＢＦ１２ｎ－１．ｎ＋１與ＣＤ２，ＣＤ１與ＡＥ２的交點．則△Ａ１Ｂ１Ｃ１與△Ａ２Ｂ２Ｃ２位似，且位似比為圖８１１ＢＥ１＝ＣＥ２＝ＢＣ，ＣＦ１＝ＡＦ２＝ＡＣ）．Ａ２，Ｂ２，Ｃ２分別為ＡＥ１５５與ＢＦ２，ＢＦ１與ＣＤ２，ＣＤ１與ＡＥ２的交點．則△Ａ２Ｂ２Ｃ２與１△ＡＢＣ位似，位似比為．３數學學習與研究　２０２２??３６【參考文獻】［１］劉昱汐．三角形邊的ｎ等分線的性質及推廣［Ｊ］．中學生數學：高中版，２００８（１２）．［２］王平．三角形邊的三等分線的探究［Ｊ］．數學學習與研究，２０１１（２３）．Copyright?博看網. All Rights Rerved.

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