所有自然數之和是負十二分之一

2023年12月12日發(作者：符號中國)

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文

劉大可

最近有一個很有趣的視頻，講述了這樣一件數學趣事：全體自然數的和是-1/12。

雖然果殼和知乎上都已經有了問答，但是數學語言過于晦澀，不利于理解，所以我自己寫了一份更簡潔的日志作為闡述，不過盡量保證了嚴謹。

首先說視頻，他是這么證明的：

設

這個東西等于多少呢？很顯然，這要看你在什么地方停下來了，如果你停在第奇數個1上，結果就是1；如果停在偶數個1上，那結果就是0。既然這樣的話，那就平均一下好了，它等于1/2。看到這里，你顯然會覺得這實在荒唐愚蠢，但是更“荒唐”的東西還在后面，但新奇的東西也在后面，你最好還是繼續看下去。

好，有了S1=1/2，他又令

那么取兩個S2錯開一位相加，即

則有2S2=S1=1/2，，也就是S2=1/4

！雖然這讓人很不服氣，但是他接著計算

既然S2=1/4，那么我們大功告成了，S=-1/12

——全體自然數的和是

-1/12 ！

看到這里的時候，我想幾乎所有人都和我一樣覺得這實在是牽強附會荒唐可笑，但視頻中一再聲稱這種算法的意義，所以我翻墻出去做了個簡單的研究，得到了這樣的結論：我們確實可以對全體自然數求和得到 -1/12 ，但這個和并非我們做加法得到的代數和，而是發散級數和—— 這個 -1/12 根本就不“ 加 ” 出來的。于是，下面就是我對這個問題的解釋，雖然有一些公式，但是都極其簡單，你可以輕松閱讀不費腦子。

要弄明白這個問題，我們首先要知道什么是“ 級數”以及 “ 發散級數” ，而這是一個非常簡單的問題。

隨便找一個數列，比如等差數列 an=n ，也就是1 、2、3 、4 、5、6 ……

把數列中的每個元素都用加號連接起來，就是一個級數， 其實就是求總和。對于上面的an，它的級數就是

其中，級數的前n項的和被稱作部分和，記作Sn（其實就是“數列的前n項和”，高考復習翻來覆去做過的那個東西）。

那么只要上過高中就能意識到，隨著n趨于無窮，級數的部分和Sn有可能趨近于某一個值，即有極限，比如級數1+1/2+1/4+1/8……，它的部分和就會不斷趨近于2。這樣的級數稱為收斂級數，這個部分和的極限就是收斂級數的和；

級數的部分和Sn也可能不趨近于某一值，即無極限。比如1+2+3+4+……，越加越大趨于無窮；又比如1-1+1-1+……，部分和一會兒是1一會兒是0，永遠不會固定。只要級數的部分和不是越來越接近某一個定值，就都是發散級數。

事情到這里，都是高中數學就學過的內容。很明顯的，在這樣的背景下，一個發散級數的和沒有意義，但是在應用數學中，尤其是物理學的數學應用中，常常被迫需要計算發散級數的和。于是，數學家們發明了很多種算法，在保證收斂級數的和不變的前提下，又讓發散級數確實能算出一個東西來，這就是發散級數和，也就是視頻里計算出來的那個東西。

但是要注意，視頻里加來加去的計算只是發現了發散級數的和，但并不能給出良性的定義，也就不是嚴格意義上的發散級數求和，所以千萬不要覺得數學家和物理學家是在胡鬧，更不要對科學的嚴謹產生懷疑。

那么，如何計算發散級數和呢？

事實上，發散級數和有許多種算法，這些方法強度不同，但結果一致，這里先撿一個最簡單也最弱的“切薩羅求和”。 恩納斯托·切薩羅（Ernesto Cesàro，1859-1906）

切薩羅求和（Cesàro summation）是意大利數學家恩納斯托·切薩羅（Ernesto

Cesàro）發明的發散級數求和法。對于一個發散級數n項的平均值，即令

，對它的部分和數列Sn求前

如果tn有極限，那么這個極限就是發散級數的和，稱為切薩羅和。不難體會到，切薩羅和本質上是在求數學期望，視頻里輔助用的級數1-1+1-1+……=1/2那個“平均一下”就是這么來的。

當n無窮增大的時候，分子上的1只有n的一半那么多，所以它顯然是1/2。

這個乍看怪異的級數和首先由意大利數學家路易吉·格蘭迪（Luigi Guido Grandi）于1703年發現，因此被稱為格蘭迪級數，當時被當作一個佯謬。后來那個著名流體力學奠基者，荷蘭數學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli），以及瑞士的大數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）都對它做過研究，一直都是爭議的焦點。直到19世紀才由切薩羅等人提出了這樣的良好定義。

路易吉·格蘭迪（Luigi Guido Grandi，1761-1742）

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler，1718–1781） 丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli，1700-1782）

而到了量子物理時代，格蘭迪級數及其衍生級數意外的變得有用——這或許讓你聯想起薛定諤的貓，要么是死（0）要么是活（1），那它就是半死不活（1/2）。但它們的關系顯然不是這么幼稚簡單，它被用來研究量子化的費米子場（費米子包括組成實體萬物的基本粒子，比如電子、質子、中子，以及中微子這樣極其重要的基本粒子），它們同時具有正的和負的本征值。另外在玻色子（比如光子）的研究中，格蘭迪級數也有戲份，比如揭示宇宙中“真空不空”的“卡西米爾效應”

而格蘭迪級數最重要的衍生級數，就是視頻里的另一個輔助用的級數：

它最早于18世紀中期由歐拉發現（又是他，而且當時他已經瞎了）。視頻里發現這個級數和的時候錯開了一位，但實際上錯開多少位結果都一樣，例如錯開兩位：

當然，歐拉這樣的數學大師是用了更復雜的方法才發現了它，并被當作另一個佯謬提出。這個佯謬直到19世紀80年代初才由剛才的恩那斯托·切薩羅等人研究出了定義良好的計算方法，但是，這個級數不能直接用上面的切薩羅求和計算，因為tn仍然沒有極限，需要做一些復雜的擴展，這里就不加說明了，或者采用下面灰字部分的 阿貝爾求和也能輕易算出——如果你不想看，不看也可以。

阿貝爾求和（Abel summation）來自挪威數學家尼爾斯·阿貝爾（Niels Henrik Abel）在冪級數研究上的總要結果阿貝爾定理（不要介意這個定理是干什么用的）。

如果|x|<1，且冪級數（也就是級數中的每一項都有一個指數）

收斂，那么

就是級數

的阿貝爾和。

雖然看上去比較玄，但明白了其中的意思就是“比1小但無限接近于1”，就能明白就是一個無限接近1的數，整個算法也就不難明白了。

下面再給出一種更簡單，同時也更巧妙的算法：

看明白了嗎？把兩個格蘭迪級數“相乘”（實際上是一種被稱為柯西乘積的數列卷積，但是這兩個數列的數字實在簡單，恰好與直接乘法結果一致），可以用一個棋盤格子表示其結果中的每一項，黑色表示1，紅色表示-1，那么斜著數一數黑紅格子數，就可以數出1個黑的、2個紅的、3個黑的、4個紅的……，也就是1-2+3-4+……，所以

有沒有覺得很有趣？

現在回到最初的問題上來，“全體自然數的和是-1/12？”

是一個發散得非常厲害的級數，不論切薩羅求和還是阿貝爾求和都強度不夠，對它無能為力。真正給出這個發散級數的良性定義的計算方法的，是印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努詹（Srinivasa Ramanujan）給出的拉馬努詹求和。但這個求和非常復雜：

若函數f(x)在x=1處不發散，那么令

C(0)就是級數的拉馬努詹和了……好吧，恐怕沒有足夠數學基礎的人是無法看懂了，所以我并不打算在這里講述——能看懂的人不需要我這樣的水平來講；看不懂的人我這樣的水平也講不了。不過可以簡單介紹一下拉馬努詹這個人，因為他是一個傳奇的數學神才——天才只是一個更加優秀的常人，但神才是一個超出常人理解的存在，一個開了外掛的存在。他從沒有接受過高等數學教育，卻僅憑直覺就能直接發現驚人的數學公式，證明他正確工作就甩給天才們了——于是留下了一連串的拉馬努詹猜想，而絕大多數都被證明正確。

斯里尼瓦瑟·拉馬努詹（Srinivasa

Ramanujan，1887-1920）

他總能用直覺和洞察力給出不可思議的數學公式，比如他發現：

又如他重病時，他在劍橋大學的導師哈代前去探望，哈代說：“我乘計程車來，車牌號碼是1729，這數真沒趣，希望不是不祥之兆。” 拉馬努詹答道：“不，那是個有趣得很的數。可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，1729是最小的。”（即1729是1和12的立方和，也是9和10的立方和，后來這類數稱為的士數。）說完不久，拉馬努詹就病死了……

后來哈代這樣評價他：

“他的知識的缺陷和他的深刻一樣令人吃驚。這是一個能夠發現模方程和定理的人……直到前所未聞的地步，他對連分數的掌握……超出了世界上任何一個數學家，他自己發現了ζ 函數的泛函方程和解析數論中的很多著名問題的主導項；但他卻沒有聽說過雙周期函數或者柯西定理，對復變函數只有最模糊的概念……” 拉馬努金的傳奇故事還有很多，這里點到為止，有興趣的同學可以自行查閱。

除了拉馬努詹求和，全體自然數組成的發散級數還可以用黎曼ζ 函數計算，這里給出維基百科的頁面，如果上過大學數學，應該能獲得感性認識。

另外，這里額外補充一個發散級數：

也就是無窮多個1相加，在通常的認識里，它也就是無窮大的化身——但是作為一個發散級數，同樣可以用拉馬努詹求和或者采用黎曼ζ 函數計算，結果是-1/2。這實在讓人難以置信，但同樣在物理學上有切實的意義——所以在21世紀初一次巴塞羅那的報告會上，兩位杰出的物理學家A. Slavnov和F. Yndurain 不約而同地說道：“各位都知道，1 + 1 + 1 + 1 + … = ?1?2——含義是：如果您不知道這個，那么繼續聽下去是沒有意義的。”（Elizalde, Emilio (2004). "Cosmology: Techniques

and Applications".）

好，這就是日志的結尾了，重申開頭部分提過的那句話：全體自然數之和等于-1/12并不是加法游戲搞出來的代數和，而是將其作為發散級數，經過嚴謹的定義計算獲得的發散級數和，只有聲明它是切薩羅和、阿貝爾和、拉馬努詹和或者任何級數和才有意義。而這個級數和同樣在物理學中有重要應用，特別是在當代物理的量子論和弦論當中。

另外，還需謹記：數學和科學永遠嚴謹，一絲不茍，如果你發現其中有看似荒唐或者怪異的結論——請先跳出自己常識認知的藩籬，了解其中的深意再做評價。舉個最常見的例子，陳景潤證明哥德巴赫猜想時得出了“任何充分大的偶數都是兩個自然數的和，一個質因數不超過1個（即質數），另一個的質因數不超2個”，簡稱“1+2”，如果一聽到這個簡稱就跑出去說“陳景潤證明了1+2=3”，并且藉此說“到現在數學都沒證明1+1=2”，那就真是太可笑了——我初三的數學老師就是這么一個家伙，我很討厭他，因為他欺負我。

另外，本人非數學專業，歡迎指正。

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