光學設計 第14章 光學系統初始結構設計方法概要

2023年12月30日發(作者：永無止境的意思)

第三篇 光學系統設計

光學儀器的基本功能是借助于光學原理，通過光學系統來實現的。光學系統的優劣直接影響儀器的性能和質量，因此，光學系統設計是光學儀器設計和制造過程中的重要一環。

本部分的目的是使讀者獲得光學設計所需要的基本理論和知識，并通過必要的設計實踐以掌握光學設計的初步能力。

光學設計工作大體上可分四個階段：

一、根據儀器的技術參數和要求，考慮和擬定光學系統的整體方案，并計算其中各個具有獨立功能的組成部分的高斯光學參數；

二、選擇各組成部分的結構型式，并查取或計算其初始結構參數；

三、逐次修改結構參數，使像差得到最佳的校正和平衡；

四、對設計結果進行評價。

上述各個階段性工作之間有著密切的聯系，前期工作的合理與否會影響到后期工作能否順利進行，甚至會決定設計工作能否成功。

光學系統的整體方案可以有很大的靈活性和多樣性，應該力求在滿足儀器的性能要求的前提下，尋求一個簡單易行、便于裝調和經濟合理的最佳方案。相應地，系統各組成部分的光學性能參數也應根據整體要求定得恰如其分。

選擇結構型式是光學設計中的重要一步，可能導致設計的成敗?，F在，各種用途的光學鏡頭已積累起種類甚多的結構型式，它們有各自的像差特征和在保證像質時可能達到的相對孔徑和視場，有些型式還能在工作距離或鏡筒長度等參數方面達到其特殊要求。因此，基于對已有結構型式基本特征的全面了解，有可能挑選到符合要求的型式。但應注意到，隨著對鏡頭要求的不斷提高，設計者還應不斷探求和研究新的更佳結構。

鏡頭初始參數的獲得一般采用二種方法，一是根據初級像差理論求解滿足初級像差要求的解，另一種方法是在已有的設計成果中選取性能參數相當的結果作為初始參數。

像差的平衡是一項通過反復修改結構參數以逐步逼近最佳結果的工作，這在過去以人工計算光路時，工作量是很大的。計算機應用于光學設計后，先是取代了繁重的光路計算，隨后又用于像差自動平衡，才根本上改變了光學設計的面貌。應用像差自動平衡方法，能充分挖掘出系統各個結構參數對像差校正的潛力，不僅極大地加快了設計進程，而且顯著提高了設計質量。

在認為像差已全面校正和平衡到良好程度后，需對像質作全面評價，以決定設計結果是否已達到要求。如果沒有達到要求，仍需繼續做像差平衡工作；如果屬于結構型式的局限或初始參數不合理，應另選結構型式或另定初始參數，并重復前面的工作。

任何光學系統都是由許多光組組成，每個光組有自己的性能要求，如顯微系統、望遠系統至少要分為物鏡和目鏡兩部分，照相系統多為一個照相物鏡。根據各光組的光學特性要求選定其結構型式，進行初始結構參數的求解

上述光學設計的第一步工作主要以幾何光學部分的內容為基礎。第二步和第三步則需有較全面和堅實的像差知識。作為它們的應用，本部分還將以若干個典型光學系統與鏡頭為例進行設計計算。無論是用初級象差理論為基礎求解得的初始結構參數，或根據已有資料選得的初始結構參數。它們的象差都不一定能滿足要求。因此，要進行象差校正。、

最后值得指出，在光學設計過程中，必須使所設計系統在滿足儀器的技術要求和達到良好像質的前提下，充分注意其經濟性，包括做到結構簡單合理、材料選用恰當、公差恰如其分、工藝性能良好、裝配調整方便等，所有這些，都與降低成本有密切的聯系。

165

第十四章 光學系統初始結構設計方法

利用共軸球面系統的初級像差公式，由第一、第二近軸光線的計算數據可以算出系統的初級像差，并可以分析系統的像差性質，研究像差與光學系統結構的關系，對光學系統設計有重要的指導意義。但是，光學設計要求正好相反，根據對光學系統的像差要求求出光學系統的結構，即設計出符合預定像差要求的光學系統。解決這個問題的理論基礎是薄透鏡系統的初級像差理論。

光學系統的初級像差可以表示為“像差特性參量”P、W。當光學系統的外形尺寸和像差要求確定后，可以求出“像差特性參量”，而“像差特性參量”是與光學系統的結構有關的，這樣就可以求出光學系統的結構。首先，對整個光學系統作外形尺寸計算，求出各個光組上的光線入射高度h、hp，光焦度?，拉赫不變量J；再根據對各個薄透鏡組的像差要求，求出各個薄透鏡組的“像差特性參量”P、W；最后，由“像差特性參量”P、W確定各個薄透鏡組的結構參數。

實際上，任何光學系統或薄透鏡組的結構參數可以分為兩部分。一部分是內部參數，是指光組各個折射面的曲率半徑r、折射面間的間隔d、折射面間介質的折射率n。另一部分稱為外部參數，是指物距l、焦距f、半視場角?、相對孔徑Df等。

“像差特性參量”P、W不僅與內部參數有關，還與外部參數有關，即P、W值還隨外部參數的變化而變化。為使P、W值只決定于內部參數，以便由其決定光學系統的結構，對光學系統的P、W值的計算給以特定條件，稱為“規化條件”，即令u1?0、h1?1、/f/?1、uk?1。即把任何焦距的光學系統縮放到f/?1后，按規化條件作光線光路計算，//所求得的像差特性參量以P、W表示，稱為光學系統的基本像差參量，它們只與系統的內部參數有關，而不再受外部參數的影響。

??§1 賽得和數的表示形式

一 阿貝零不變量Q表示的賽得和數

賽得和數表征了光學系統的初級單色像差在各個折射面上的分布。因此，賽得和數除了與光學系統的物距（l）、視場（u）有關外，還與光學系統的結構（r，d，n）有密切的關系。

圖14－1 單球面折射的第一、第二近軸光線

166

如圖14－1所示，在第一賽得和數中：

l?rl?u?r?u?u?n??n?rr11n?i式中，Q?n?(?)?是阿貝零不變量。還有：

rlhn?i?n?2h?r?hl?h?n?(1?1)?h?Q

rrl(i?i/)?(i/?u)?i?i/?i?u?i/?i/?u?i/?(u?i?i/)?i?uu/u11?i?u?i?u?n?i?(/?)?h?n?i?(//?)

nn?lnn?l11?h?n?i???h2?Q??n?ln?l另外，l?u?h，則第一賽得和數可寫為：

kkk1//42S?l?u?n?i?(i?i)?(i?u)?(h?Q??)

???Ⅰn?li?1i?1i?111由于n?ip?hp?n?(?)?hp?Qp，同樣得到第二賽得和數：

rlpkkkkipn?ip1hp?Qp42S?S??(S?)?(h?Q???)????ⅡⅠⅠin?in?lh?Qi?1i?1i?1i?1//??(h3?hp?Q?Qp??i?1k1)n?l

式中，hp是第二近軸光線在折射面上的入射高度，Qp是第二近軸光線的阿貝零不變量。Qp和Q之間可用拉赫不變量J聯系起來：

J?n?y?u?n?u?up?(lp?l)?n?h?hp11?(lp?l)?h?hp?n?(?)l?lpllp?1111??h?hp??n?(?)?n?(?)??h?hp?(Qp?Q)rl???rlp?因此得到第二賽得和數的另外一種表示：

kk32

k112S?(h?h?Q??)?J?(h?Q??)

???Ⅱpn?ln?li?1i?1i?1ipn?ip???SⅡ?對于第三賽得和數，由于?SⅢ???SⅡ?，同樣可以得到：

in?ikk1222

?SⅢ??(h?hp?Qp??)

n?li?1i?1對于第四賽得和數，得到：

kn/?n1111122

?SⅣ?J????J?[?(?)]??J?(??)

??//nrnni?1i?1n?n?ri?1ripn?ip???(SⅢ?SⅣ)?對于第五賽得和數，由于?SⅤ???(SⅢ?SⅣ)?，同樣可in?ik2k以得到：

khp?Qp112S?(h?h???)?J?(??)

???ⅤQn?lh?Qn?li?1i?1i?1kk3p2Qp

167

阿貝零不變量表示的賽得和數，便于分析初級像差與光學系統結構參數（r，d，n）的關系?；蛘哒f，給這種形式的賽得和數以要求的值，列出方程，求解光學系統的初始結構，以便進行光路計算，修改結構參數，以使像差滿足要求。

二

PW形式的賽得和數

在光學設計中更為常用的是PW形式的賽得和數。引入符號P和W如下：

P?n?i?(i?i/)?(i/?u)，W?(i?i/)?(i/?u)

n11//由于u?u?i?i?i?/?i?n?i?(?/)，所以

nnnu/?u?u??

n?i?h?Q??

111??nn/n因此：

????11?u2/??(i/?u)?(1?1)

P?(n?i)?(i?u)?(?/)??nnnn/?1?????n?而

211i/?ui/?ui/?ui?u/(i?u)?(?/)??/??/nnnnnn

///iiuuuuu??/?/??/???nnnnnnn由此可以得到但折射球面的P和W的表示式：

/??????u??u?P?uu???

??? ，

W????P??n?in?1?n?1????????n??n?P和W的表示式還可以寫成另外的形式。由于n?i?h?Q，以及

2uu/uh/hhh111??/??//??//??h?(//?)?h??

nnnn?ln?ln?ln?ln?ln?ln?l則得到

u11?(h?Q)2?h???h3?Q2??

nn?ln?lPP1W???h2?Q??

n?ih?Qn?l為導出PW形式的賽得和數，還要求得i和ip的關系。由阿貝零不變量Qp和Q與拉赫P?(n?i)2??不變量J之間的關系，得到：

?1111?J?h?hp?(Qp?Q)?h?hp??n?(?)?n?(?)??n?h?hprlprl????

?1111???(?)?(?)?rl??rlp???hphphp??hh?h?n??h?(?)?hp?(?)??n??h?(?up)?hp?(?u)?rlprl?rr???

???n?h?ip?n?hp?i

168

或

J

ihn?h?i第一賽得和數的PW表示形式為：

??iphp?S??l?u?n?i?(i?i)?(i/Ⅰi?1i?1kk/?u)??l?u?P??h?P

i?1i?1kk第二賽得和數的PW表示形式為：

kkJPS?h?P??h?P?(?)?h?P?J?????p?Ⅱihn?h?ii?1i?1i?1i?1i?1n?ikkipkhp??hp?P?J??Wi?1i?1kk

第三賽得和數的PW表示形式為：

?Si?1kⅢ??SⅡ?i?1kkipi??SⅠ?i?1k2ipi2kkhpJJ??SⅡ?(?)??SⅡ???SⅡ?hn?h?ihi?1n?h?ii?1i?1kkkkhphpJJ??hp?P??J??W???hp?P??J??W?

hhi?1n?h?in?h?ii?1i?1i?1hp??i?1k2hph?P?J??i?1kkhph?W?J??i?12kkhpkP1W2??J???hn?ii?1hn?ihi?1第四賽得和數的PW表示形式為：

kkn/?n2

SⅣ?J???/n?n?ri?1i?1第五賽得和數的PW表示形式為：

kkipS?(S?S)???ⅤⅢⅣii?1i?1kkkkhphpJJ??SⅢ???SⅢ???SⅣ???SⅣ?hi?1n?h?ii?1hi?1n?h?ii?1i?12khkhhphpuphpp12????P?2J????W?J??????hhhni?1hi?1hi?1hk2kkhphpJJJ1u2????P?2J????W?J?????hhni?1n?h?ii?1n?h?ii?1n?h?ihkhkn/?nJn/?np22?J????J????//n?n?ri?1hi?1n?h?in?n?rk??k2hp?P?2J??hp1u?W?J????hni?1h

其中：

2kh3hphpp第一項為???P??2?P

hi?1hi?1hk

169

kh2hphpp第二項為2J????W?2J??2?W

hi?1hi?1hkhkhuup1p22第三項為J??????J??2??

hnni?1hi?1hk2kh2kh2hpJPpp第四項為

???P?J??2??J??2?W，可與第二項合并。

hn?ii?1n?h?ii?1hi?1hk第五項為

khkhhpJWupp222J????W?2J??2??2J??2??，可與第三項合并。

hn?ini?1n?h?ii?1hi?1h//第六、八項合并（應用折射定律、以及i?u?i?u和hr?i?u化簡）：

kkJ1uJn/?n22J??????J????/ni?1n?h?ihi?1n?h?in?n?rkk11?uhn/?n?11?u/u11?3?J???2?????J????(i?u)?(?/)??/?2?/n?inrn?innhn?nhnn?i?1i?1???3kk11?u/ui?ui/?u/?11?ii/?33?J???2?/????2??/???J??/nnn?n?i?1n?ih?ni?1n?ih?nk3k

k1?1i/?113??J??2??2???J?????2n?i?n/?n2i?1h?ni?1h第七項不變。由此得到第五賽得和數的PW表示形式為：

kkh3kh2khk3un/?n11ppp23

S??P?3J??W?J??(???)?J????????Ⅴ22/22hnn?n?rni?1i?1hi?1hi?1hi?1h

三 薄透鏡系統初級像差的PW表示式

薄透鏡系統是由若干個“薄透鏡光組”組成，透鏡光組之間有一定的間隔，每個“薄透鏡光組”由幾個相接觸的薄透鏡組成，每個“薄透鏡光組”中各個折射面上的h和hp相等，如雙膠合透鏡（組）有3個折射面?？梢詫⑼粋€“薄透鏡光組”中各個折射面的P和W之和作為該“薄透鏡光組”的P和W。

1 薄透鏡光組的P和W表示式

設第j個“薄透鏡光組”有k個折射面，其P和W可表示為：

?????u?kk?kk??u?uu???

??? ，

Wj??W????Pj??P???1?n1?ni?1i?1?i?1i?1????????n??n?2 薄透鏡系統的賽得和數

對于第j個“薄透鏡光組”來說

21u1ku1????????nhji?1nhji?1h1u1????hnhji?1

kk/?u1/u1uk/uk?u2u2??(/?)?(/?)???(/?)?

n2n2nknk??n1n1由于ui/?ui?1、ni/?ni?1，則得到

?uk/u1???/??

?nkn1?170

/若第j個“薄透鏡光組”置于空氣中，nk?n1?1，則可以進一步得到：

1u1/????(uk?u1)??j

?nhji?1hj對于單個透鏡（兩個折射面）組成的第j個“薄透鏡光組”來說：

/2n1/?nn1/?n1n2?n2n/?n

?????////n1?n1?r1n2?n2?r2i?1n?n?ri?1n?n?rkk/若薄透鏡置于空氣中，n2，則可以進一步得到：

?n1?1、n1/?n2?n（透鏡的折射率）n1/?nn?11?nn?111?

????(?)??/n?r1n?r2nr1r2ni?1n?n?r式中，?為單個薄透鏡在空氣中的光焦度。

對于由M個薄透鏡所組成的第j個“薄透鏡光組”，在空氣中，有：

2Mn/?n?

???/i?1n?n?rm?1nk設??k?nm?1M??j，若忽略各個薄透鏡的折射率差別，則??1n，則得到：

Mn/?n??????j

??/i?1n?n?rm?1n對于一般的光學玻璃n?1.5~1.7，則??0.6~0.7。

對于“薄透鏡光組”來說，所有折射面上的入射高度h相同，可以提到求和號外面，并/且ni/?ni?1，再設“薄透鏡光組”置于空氣中，nk?n1?1，則：

111k1??????0

??2222nhi?1ni?1h經過以上化簡，對于置于空氣中的、由N個“薄透鏡光組”組成的光學系統，其賽得和數公式可以寫為以下形式：

k?S??hⅠi?1j?1kNj?Pj

N?Si?1kkⅡ??hpj?Pj?J??Wj

j?1NNj?1?Si?1Ⅲ??j?12hpjhjNj?1?Pj?2J??j?1Nhpjhj?Wj?J???j

2j?1N?Si?1kkⅣ?J?????j

2?Si?1Ⅴ??j?1Nh3pjh2j?Pj?3J??j?1N2hpjh2j?Wj?J??2j?1Nhpjhj??j?(3??)

3 相接觸薄透鏡系統的賽得和數

對于由相接觸薄透鏡組成的光學系統，每個折射面上的h和hp相等，其賽得和數的表示式還可以進一步簡化為：

?S??hⅠi?1j?1kNj?Pj?h??Pj?h?P

j?1N

171

?Si?1ki?1kⅡ??hpj?Pj?J??Wj?hp?P?J?W

j?1NNNj?1?SⅢ??j?12hpjhjNj?1?Pj?2J??j?1Nhpjhj?Wj?J???j?2j?1N2hph?P?2J?hph?W?J2??

?SⅣ?J?????j?J?????J??222i?1kk?m

nm?1mMN?Si?1Ⅴ??j?13p2Nh3pjh2j?Pj?3J??j?1N2hpjh2j?Wj?J??2j?1hpjhj??j?(3??)

?hh?P?3J?hh2p2?W?J2?hph???(3??)若光闌與相接觸薄透鏡系統相重合時，則hp?0，則上式又可以寫為：

?S?Si?1i?1kkⅠ?h?P

?hp?P?J?W?J?W

2hpⅡ?SⅢ?i?1ki?1kh2?P?2J?hph2?W?J2???J2??

?m

nm?1mM?SⅣ?J?????J???SⅤ?i?1kh3ph2?P?3J?2hph2?W?J2?hph???(3??)?0

4 討論

（1）當光學系統的物距（l）、光闌位置（lp）、第一和第二近軸光線的孔徑角（u）和（up）

確定后，對于由彼此相間一定距離的兩個或兩個以上薄透鏡光組組成的光學系統，五種初

級像差決定于各個薄透鏡光組的光焦度分配和各個光組的Pj和Wj的組合。

（2）當l、lp、u、up和總的光焦度確定后，由單組薄透鏡組成的光學系統，五種初級像

差由系統的P和W決定。且當初級球差為零時，初級慧差或初級正弦差決定于W。

（3）當l、lp、u、up和總的光焦度（?）確定后，且lp?0（hp?0），初級球差決定

于系統的P，初級慧差或初級正弦差決定于系統的W。

（4）對于單組的薄透鏡光組構成的光學系統，由于其第四賽得和數似于常數，所以該種系統除??0外，不能使?SⅣ?J2????近

?SⅣ?0。而對于分離的兩個或兩個以上薄

透鏡光組構成的光學系統，則有可能滿足一定光焦度的情況下，使?SⅣ?0。比如，兩個

薄透鏡光組：?2???1，間隔為d的光學系統，設n1?n2，則有

?SⅣ?J2?(合成光焦度

?1n1??2n2)?0

???1??2?d??1??2??d??1??2

（5）當單組薄透鏡組成的光學系統的P和W均為零時，光闌位置將對?SⅡ不發生影響。這時，

?SⅢ、?SⅣ、?SⅤ均取決于總光焦度?。

172

（6）當光闌與薄透鏡光組重合時，

?SⅢ、?SⅣ取決于總光焦度，而?SⅤ?0。

§2 薄透鏡系統的基本像差參量

為應用初級像差理論求解光學系統的初始結構參數，需把實際計算初級像差系數的基本公式組作必要的變換，以便使它們能與透鏡或透鏡組的結構參數聯系起來。使用PW表示的初級像差系數表示式是解決這一問題的比較好的方法。

一

P、W值隨物體位置的變化

像差參量P、W不僅與透鏡組的內部結構參數有關，還要隨外部參數（即物體位置）而異。為便于求解透鏡組結構參數，須將P、W中與內部參數有關的量和與物體位置有關的量分離開來。具體做法是以某特定位置，即物在無限遠時的P、W值來作為薄透鏡組的????基本像差參量，極值以符號P、W表示，再建立起任意位置時的P、W值與P、W值之間的關系。

圖14－2 物點在軸上不同點時PW的關系

如圖14－2所示，當物體位于A處時，物方孔徑角為u1；當物體移到B處時物方孔徑*角為u1。此時滿足

**

h?l1?u1?l1

?u1由單折射球面近軸折射公式，得到

n1/n1n1/?n1n1/n1n1/?n1，*?*?

??//rllrl1l11111兩邊同乘以h，得到

h?(n1/?n1)h?(n1/?n1)////**

n1?u1?n1?u1?，

n1?u1?n1?u1?

r1r1*故有

n1/?(u1/?u1/)?n1?(u1?u1)

同理，對于其它折射面，亦有

*///*?uk)

n2?(u2?u2)?n2?(u2?u2) …

nk/?(uk/?uk/)?nk?(uk***

173

又有轉面公式：n/j?n(j?1)，u/j?u(j?1)，因此，對整個薄透鏡組求和，得到

*nk/?(uk/?uk/)?n1?(u1?u1)

*式中，帶星號的量為物面移動后的量。

設

??n?(u*?u)?n/?(u/?u/)，則

??*/*/u?u?n，u*?u?n/

??*??u?u***將此式代入單折射球面的W??????中，得到“薄透鏡光組”的W

n??1??n???/u/?u?nn

W????(/?2??2)

/11nnni?1n?n/n1k?u????n?(?u????1)

???1nn2i?1?n??k??uuu?u11????????????????2??2??2?

11nnnn?i?k?????n?n?上式中，第一項就是移動前“薄透鏡光組”的W

??k??u?uW???????

1ni?1?????n??*ku/???u??第二項

u?????????

n?i?1?//ukuu1/u1u2u2

????[(/?)?(/?)?????(/?k)]

n1n1n2n2nknkkuk/u1uk/u1/????(/?)????(uk?u1)????h?(?)hhnkn1????h?(111?)????h?????h??//llf/式中，假設

nk?n1?1，即“薄透鏡光組”放在空氣中。?為“薄透鏡光組”的光焦度。

第三項

??k??u1????????2?

1n?i?1?????n?

174

ku/?u1111??????(2?2)?????(u/?u)?(/?)

1n/nnni?11i?1?n/nkuu/?n/?u?nu/uu/u

?????[(/?)?(?/)]??????????/nn?nnnnni?1ku/?n/?i/?n/?u?n?i?n

????h??????/n?ni?1kn/?(u/?i/)?n?(u?i)????h??????n?n/i?1k(n?n)?(u?i)n?n/i?1kk(n/?n)?h?

????h?????h?????h???????/n?n?ri?1ni?1????h?????h????????h???(1??)

????h??????n/?n1k?式中，??

??；對于單折射面，光焦度為??/?i?1nn?r第四項

k/

1

2ni?111111111???2?[(2?2)?(2?2)?????(2?2)]???2?(2?2)?0

///n1n2nkn1n1/n2nknk?????2k/式中，nk?n1?1，即假設“薄透鏡光組”放在空氣中。

由此得到“薄透鏡光組”的W的表達式：

*W*?W???h?????h???(1??)?W???h???(2??)

*用同樣的方式推導，可以得到“薄透鏡光組”P的表達式

/P*?P???[4W?h???(uk?u1)]??2?h???(3?2?)

當目標處在無限遠時，

***//，??n1?(u1

u1?0，h???uk?u1)?n1?u1?u1?u1?uk則得到：

W?W???h???(2??)?W?u1?h???(2??)

*/*P*?P?u1?[4W??h???(uk?u1)]?u1?h???(3?2?)2*21**?P?u?[4W?(h??)]?u?h???(3?2?)用P、W表示物面移動前的P、W值，用不帶星號的P、W表示物面移動后的P、W值，則有

?*1?2

?W?W??u1?h???(2??)

P?P??u1?[4W??(h??)2]?u12?(3?2?)?h??

式中，u1是物面移動到有限遠處時，軸上物點的孔徑角。

二

P、W值的規化

??實際應用上，常以規化條件下的P、W、P、W值作為基本像差參量。設有一個//焦距為f的透鏡組，對于一般情況，物體并不在無窮遠，設物距為l，像距為l，第一近

175

W，軸光線入射高度為h，如圖14－3（a）所示。這樣一個薄透鏡組，其像差特性參量為P、我們可以找出一個與它相對應的規化系統，亦即假定上述薄透鏡組的各個球面的半徑值都除以薄透鏡組的焦距f/值，得到一個新的薄透鏡組，其焦距也縮小f/倍，也就是得到一個焦距等于1的薄透鏡組。再假設物距、像距也縮小f/倍，即保持薄透鏡組物像相對位置不變，并且取入射高度h?1。對于這樣的規化系統的相應量用字母上加橫線表示，如圖14－3（b）所示，其像差特性參量用P、W表示，稱為P、W的規化值。

圖14－3 光線在單折射球面上折射及其規化

由圖14－3得到：

u?hh/，u?/

llh1l1uh1l/1u//，u?/?/?/

u??????/?//l??h??h??lllflllfl??/u111并且，由高斯公式/???u?1/??，由此，可以得到

/，得到lhhlffu/u??1

u?u?h??h??u/、u分別稱為規化的像方孔徑角和物方孔徑角。

//由于P與u、u的三次方成比例，W與u、u的二次方成比例。用P、W表示規化的P、W值，則

uPWu?，P?，

W?32h??(h??)(h??)/32因此，u?u?(h??)，P?P?(h??)，W?W?(h??)，則：

P?(h??)3?P??(h??)3?u1?(h??)?[4W??(h??)2??(h??)2]?u?(h??)?(3?2?)??(h??)W?(h??)2?W??(h??)2?u1?(h??)?h???(2??)

所以，對于規化系統，得到

212

P?P??u1?(4W??1)?u12?(3?2?)

W?W??u1?(2??)

??式中，P、W稱為透鏡組的基本像差參量，它們是在規化條件下，并且目標在無限遠處時的情況下的P、W值。

176

三 基本像差參量表示的“薄透鏡光組”組成的光學系統的初級像差

對于由N個“薄透鏡光組”組成的光學系統，其初級像差表示為：

?S??hⅠi?1kkNjj?1N3?(hj??j)?Pj??h4j??j?Pj

3j?13NN?Si?1Ⅱ??hpj?(hj??j)?Pj?J??(hj??j)2?Wjj?1j?1322??hpj?h3j??j?Pj?J??hj??j?Wjj?1j?1NN

?Si?1kⅢ??j?1N2hpjhjNj?1?(hj??j)?Pj?2J??3j?1Nhpjhj?(hj??j)?Wj?J???j

22j?1N?Si?1ki?1kⅣ?J?????j

2N?SⅤ??j?1N3pj2jj?1h3pjh2j?(hj??j)?Pj?3J??3j?13jN2pj2jN2hpjh2j?(hj??j)?Wj?J??22j?12NNhpjhj??j?(3??)??h?h???Pj?3J??h???Wj?J??j?1j?1hpjhj??j?(3??)四 薄透鏡系統的初級色差

同樣需要將初級色差公式對薄透鏡系統的情形進行簡化。薄透鏡光組初級色差公式為：

??k??u?dndn???J???

???nni?1??1???n??對于同一個“薄透鏡光組”中的各個折射面來說，h和hp相等，可以提到求和號外面。

k??k??u?dnCI???h?? ，

C????hp???1ni?1i?1?????n??首先看單個透鏡的情況。設透鏡玻璃的折射率為n，色散為dn?nF?nC，透鏡置于空氣中，則有：

//n1?1，dn1?0；n1/?n2?n，dn1/?dn2?dn；n2?0

?1，dn2/將和式展開，并考慮到u1?u2

??//2?u2?u2dn2dn2?u?dnu1/?u1dn1/dn1????(?)??(?)???//11111nn1n2n1n2i?1?????/?n2n1/n1n2?n??

//u1/?u1dnu2?u2u2?u1dndndn??(?0)??(0?)?????h???111nnnn?11?1?nnn/2dn2dn2dndn1/dn1dndn??(?)?(?)?(?0)?(0?)?0

?//nnnnnnni?11212dn式中，?是單透鏡的光焦度，在光學設計中經常用到，其倒數用?表示，稱為色散倒n?1數，或阿貝數：

177

??因此

nD?1

nF?nC????u?dnh??????

???1n?i?1?????n??對于由M個薄透鏡組成的“薄透鏡光組”來說，有：

??k?M?u?dn?????h?

????1n?i?1?j?1???n???2令C??，則由若干個薄透鏡組成的“薄透鏡光組”的色差系數為：

?j?1?CI??h2?C ，

C???h?hp?C

M可見，對于一個由若干個薄透鏡組成的“薄透鏡光組”來說，消色差的條件是：

C???0

?j?1?M當滿足這一條件時，“薄透鏡光組”可以同時消除位置色差和倍率色差，與物體的位置沒有關系，因此“薄透鏡光組”對任一物平面位置校正了色差，則所有物平面的色差也就沒有了。由于“薄透鏡光組”具有這一性質，因此一般由若干個“薄透鏡光組”組成的薄透鏡光學系統中，大多數采取每一個“薄透鏡光組”分別消色差，這時，整個系統也就同時消除位置色差和倍率色差。

另外，由消色差條件可以看到，欲使“薄透鏡光組”消色差，必須采用兩種或兩種以上不同色散的玻璃。因為如果“薄透鏡光組”采用同一種玻璃，則其阿貝數相同，于是：

M?1MC??????，或???0

?j?1j?1?j?1M可見，在“薄透鏡光組”消色差時，“薄透鏡光組”的總光焦度為0，這是沒有實際用途的。

，由于C?1進行規化。至于物體位置（l）和入射高度（h）與它們無關，無須規化。對應f/?1的C值用CI表示。

如果將這個“薄透鏡光組”按比例縮小f/倍，“薄透鏡光組”的焦距就等于1，“薄透鏡光組”每一個透鏡的焦距也要縮小f/倍，CI比原來的C值增加f/倍，由此得到：

CCⅠ?C?f/?，或

C?CⅠ??

?式中，?是“薄透鏡光組”的光焦度。這樣，“薄透鏡光組”的色差表示為：

CI??h2???CⅠ ，

C???h?hp???CⅠ

對于由N個“薄透鏡光組”組成的光學系統，其色差表示為：

同樣，可以把C值對f/?Ci?1kkI???h2???CⅠ

j?1NN

?Ci?1????h?hp???CⅠ

j?1這里，CⅠ也是基本像差參量。

178

§3 雙膠合透鏡組的基本像差參量

在“薄透鏡光組”中，雙膠合透鏡是最具有代表性、且應用廣泛的透鏡組。它是能夠滿足一定的P、W、CⅠ要求的最簡單的結構形式。如果能把雙膠合透鏡的結構參數與P、?W?、CⅠ聯系起來，就可以由所要求的P、W、CⅠ來解出雙膠合透鏡的結構參數來，再經過像差校正和平衡，就可以設計出滿足要求的雙膠合透鏡。

一 雙膠合透鏡的結構參數

首先，必須選定表示雙膠合透鏡的結構參數。如圖14－3所示，雙膠合透鏡由兩種玻璃材料構成，其三個折射球面的曲率半徑分別為r1、r2、r3，兩種玻璃的折射率和色散系數分別為N1、?1、N2、?2。規化條件要求：

//u1?0、h1?1、uk?u3?1、雙膠合透鏡的焦距f/?1、總光焦度??1

圖14－4 雙膠合透鏡

由光焦度的規化條件，得到

???1??2?1，或?2?1??1。

式中，?1、?2分別是兩個透鏡的光焦度?？梢姡?1和?2中只有一個獨立變數，現取?1作為獨立變數，作為表示雙膠合透鏡結構的一個參數。

當玻璃材料（N1、?1、N2、?2）確定、光焦度（?）確定的情況下，只要確定三個折射球面曲率半徑之一，其余兩個折射球面曲率半徑也就確定了。因為：

111)、?2?(N2?1)?(?)

r2r2r3當N1、N2、?1、?2確定時，如果給定r2，則可以確定r1、r3。所以，在雙膠合透鏡的玻?1?(N1?1)?(?1r1璃材料和光焦度確定以后，就只剩下了一個結構參數。我們選擇如下與r2有關的變量

Q??2??1?1??1

r2作為雙膠合透鏡結構參數的一個獨立變數。Q是與雙膠合透鏡的彎曲形狀有關的變量，稱為形狀系數。

因此，用以表示雙膠合透鏡的全部獨立結構參數為：N1、?1、N2、?2、?1、Q。

二 雙膠合透鏡的PWC

由于我們最后的目的是求出雙膠合透鏡的各個半徑值，為此我們首先將r1、r2、r3表示為雙膠合透鏡結構參數的函數：

179

C2?1??1?Q

r2C1??1?1N??1??C2???1?Q?11?Q

r1N1?1N1?1N1?1?21??11??1N??1

C3?C2??C2???1?Q??21?Q?N2?1N2?1N2?1N2?1N2?1CⅠ??規化的色差系數為

??1?2

????1?21?1)?1

將?2?1??1代入上式，有

CⅠ??1?(在P和W??1?2??2的表達式中，除了與玻璃的折射率N1、N2有關外，還與第一近軸光線//與光軸的夾角（孔徑角）u、u有關，為此，要先將u、u表示為結構參數的函數。

/根據規化條件，對于第一折射球面，有u1?0，n1?1，n1?N1，h1?1；而由近軸光線計算n1?u1?n1?u1?h1N?1?(n1/?n1)，則

N1?u1/?0?1?1，得

r1r1N?1N1?1N?1N1??11u1/?1??C1?1?(?Q)??1?Q?(1?)

N1?r1N1N1N1?1N1///////對于第二折射球面，根據規化條件，有u2?u1，n2?n1?N1，n2?n3?N2，h2?1；而由近軸光線計算n2?u2?n2?u2?/N2?u2?N1?[?1?(1?h2N?N1/?(n2?n2)?2?1，則

r2r21)?Q]?(N2?N1)?(?1?Q)，得

N1/u2??1?Q?(1?1)

N2?/對于第三折射球面，根據歸化條件，有

u3?1。

/另有u3?u2，這樣，就可以將P和W?表示為雙膠合透鏡結構參數的函數：

P???/?u?u?u/u?????(/?)

11n1??n???n/n??3???????u/?u?u/u?u/?u?u/u?u/?u?u/u3311112222??(3??(/?)????(/?)??3

???)

/111111nnn???n3???n1???n2123///???n????1n1??n2n2??n3n3?2

?a?Q?b?Q?c

1??1?b??ba?1a?1??Q????Q?2

W??

2323式中

180

2?12?2

?N1N22N2?123b???12?2?1??2???2

N1?1N2?1332???12???2?2?2

N1?1N2?1a?1?2N1N2N2323c???????????1122

22N2?1(N1?1)(N2?1)N1N2N2332

?????????21222(N2?1)(N1?1)(N2?1)b令

Q0??

2ab2

P0?c?

4a??b?2a?3a?1?Q0?2???Q0

W0?2336則

b2?a?(Q?Q0)2?P0

P?a?(Q?Q0)?c?4aa?1??(Q?Q0)?W0

W??2??至此，我們已經用變量Q把P、W與透鏡的結構聯系起來。即在透鏡玻璃材料和光焦度??分配確定后，已知P、W，可以求得透鏡的形狀系數Q。解得

?22(W??W0)P??P0

Q?Q0?，和Q?Q0?

a?1a這里，P0、Q0、W0、a、b、c等系數是雙膠合透鏡的結構參數N1、N2、?1、?2的函數。而?1、?2是由消色差要求CⅠ決定的，它們取決于所選玻璃的阿貝數?1、?2，可見，?1、?2也由所選玻璃決定。因此，上述各個系數歸根結底是由透鏡的玻璃組合決定。玻璃組合不同，各個系數也不同，當玻璃選定后，對應消色差要求的C

Ⅰ的各個系數也就確定了。上面兩式中所求得的Q值并不會完全相同，通常是取其平均值。由Q值就得到透鏡的曲率半徑等結構參數。

對于雙膠合透鏡，要消色差，通常是冕牌玻璃和火石玻璃的組合。如果對現有的冕牌玻璃和火石玻璃進行組合，并對不同的CⅠ值來計算a值，發現a值變化很小，在2.3～2.45之間，一般取2.35來近似。同時，(a?1)2?1.67，4a(a?1)?0.85。因此，近似取

2W??W0P??P0，和Q?Q0?

Q?Q0?1.672.35????為討論像差特性參量P和W與玻璃材料的關系，從P和W的表示式中消去與透鏡結構形狀有關的因子(Q?Q0)，得到

4aP??P0??(W??W0)2?P0?0.85?(W??W0)2

2(a?1)當冕牌玻璃在前面時，W0?0.1；當火石玻璃在前面時，W0?0.2。因此

181

當冕牌玻璃在前面時P??P0?0.85?(W??0.1)2

當火石玻璃在前面時P??P0?0.85?(W??0.2)2

為簡化起見，不管哪種玻璃在前面，用統一的公式來表示，誤差也不大，可取W0?0.14，則P??P0?0.85?(W??0.14)2。

由此可見，當選定透鏡玻璃組合而確定P0值后，這時其P和W合透鏡的P和W???就不再是獨立變量，二者之間是拋物線關系。我們可以根據對球差（SⅠ）和慧差（SⅡ）的要求，分別求出雙膠?。這樣，算出的P和W??能否滿足上述拋物線關系，關鍵在于P0值，就是說，必須找出一個具有合適PⅠ值有不同0值的玻璃組合。但不同的玻璃組合和不同的C的P0值，按照P0值求出對應的玻璃組合是很不方便的，在應用中是采用相反的求解方法，即選定大量的玻璃組合，對不同的CⅠ值分別求出其P0值，列成表格，編制出P0表。在設計時，根據P0值和CⅠ值的大小，按照冕牌玻璃在前和火石玻璃在前的不同情況，查出合適的玻璃組合。

一般情況下，要求的CⅠ值不是P0表中給出的CⅠ值，這時，各個玻璃組合所對應于要求的CⅠ值的P0需要用插值法求出。另外，玻璃組合的P0與要求的P0難以完全相同，一般允許?0.1的誤差。還有，滿足P0的玻璃組合可能有幾組，挑選的原則是要求對應的光焦度?1和Q0盡量小，這樣求出的透鏡的半徑較大，有利于減少高級像差。最后，還要注意玻璃的化學、物理性能、工藝性能和成本等。

三 雙膠合透鏡的設計

現在，我們把設計雙膠合透鏡的簡要步驟列下：

1 根據對雙膠合透鏡的像差要求，求出初級像差系數SⅠ、SⅡ、CⅠ。

2 由SⅠ、SⅡ、CⅠ，求出P、W，然后求出P、W3由P、W???、CⅠ。

?求出P0

P0?P??0.85?(W??W0)2

式中W0，當冕牌玻璃在前時取0.1，當火石玻璃在前時取0.2。

4 由P0、C0表，找出合適的玻璃組合，查出相對應的?1、Q0。

Ⅰ值，查P5 由P、W??、Q0求出Q值，或者根據對球差和慧差的要求取合適的Q值

W??W0P??P0

Q?Q0?，和Q?Q0?

1.672.35 由前一個公式可以求出兩個Q值，選取與第二式求出的Q值相近的一個，然后它們取平均，作為Q值。

6 由Q、?1值求出曲率半徑r1、r2、r3的規化值

n??1n??111

??1?Q，

?11?Q，

?C3?21?Q?r2r1n1?1r3n2?1n2?17 恢復雙膠合透鏡曲率半徑的實際值。

將得到的雙膠合透鏡的曲率半徑乘上透鏡的實際焦距f，得到曲率半徑的實際值。

8 對雙膠合透鏡加厚度。

9 光線的光路計算，計算像差，進行像差平衡和校正，直到取得滿意的結果。

182

/

§4 單透鏡的基本像差參數

單透鏡是構成光學系統的最簡單的單元，也是最常用的光學元件。

可以把單透鏡看作是雙膠合透鏡的特例，即???1?1、?2?0、N1?n，則

Q?C2??1?C2?1，CⅠ?1?

據此，可以求出a、b、c。

23332a?1?，b?，

??12???2?2?2?nN1?1N2?1n?1N1N2N2n332

c??????????122222(N2?1)(N1?1)(N2?1)(n?1)因此求得P0、Q0、W0

9b2nn9(n?1)2P0?c?????[1?]

2224a(n?1)4(n?2)(n?1)4(1?)nb3nQ0????

2a2(n?1)?(n?2)??b?2a?3a?1a?3W0??Q0?2???Q0??Q023366

n?23??3n1n]?[??[]?62(n?1)?(n?2)2(n?2)??進而求出P、W

?2

P?a?Q?b?Q?c

23n23n22?P?(1?)?[Q?]

?(1?)?Q?

?Q?02n2(n?1)?(n?2)nn?1(n?1)1??1?b??ba?1a?1W????Q????Q?2

2323n?23?10?n?1??n?1?Q?1??n?1?(Q?Q)?W

?n?Q?00n23nn?1??將Q值和W代入P的計算式，得

111??2

P?P0?[1?]?[W?]?P?[1?]?[W??W0]2

0222?(n?2)(n?1)(n?1)11W??0.14，則 上式中，由于1?，?0.8502(n?2)(n?1)2

P

W????P0?0.85?(W??0.14)2?P0?2.35?(Q?Q0)2

??1.67?(Q?Q0)?0.14

?由P、W，可求出Q值

P??P0W??0.15

Q?Q0?，Q?Q0?

1.672.35

183