傅里葉分析（分析學術(shù)語）

傅里葉分析（分析學術(shù)語）

傅里葉分析 （分析學術(shù)語） 次瀏覽 | 2022.08.11 14:21:23 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 傅里葉分析分析學術(shù)語

傅利葉分析Fourier analysis 是分析學中18世紀逐漸形成的一個重要分支，主要研究函數(shù)的傅利葉變換及其性質(zhì)。又稱調(diào)和分析。在經(jīng)歷了近2個世紀的發(fā)展之后，研究領(lǐng)域已從直線群、圓周群擴展到一般的抽象群。關(guān)于后者的研究又成為群上的傅里葉分析。傅里葉分析作為數(shù)學的一個分支，無論在概念或方法上都廣泛地影響著數(shù)學其它分支的發(fā)展。數(shù)學中很多重要思想的形成，都與傅里葉分析的發(fā)展過程密切相關(guān)。

中文名

傅里葉分析

外文名

Fourier analysis

形成時間

18世紀

研究方向

函數(shù)的傅里葉變換及其性質(zhì)

說明

擴展到一般的抽象群

別名

調(diào)和分析

學科

數(shù)理科學

基本簡介

法國科學家J.-B.-J.傅里葉由于當時工業(yè)上處理金屬的需要，從事熱流動的研究。他在題為《熱的解析理論》一文中，發(fā)展了熱流動方程，并指出了任意周期函數(shù)都可以用三角基來表示的想法。他的這種思想，雖然缺乏嚴格的論證，但對近代數(shù)學以及物理、工程技術(shù)卻都產(chǎn)生了深遠的影響，成為傅里葉分析的起源。

由三角函數(shù)系{cosnx,sinnx}(n=0,1,2，…）組成的無窮級數(shù)稱為三角級數(shù)，其中αn,bn為系數(shù)，與x無關(guān)。若級數(shù)⑴對于一切x收斂，它的和記為(x）：則(x）是一個具有周期2π的周期函數(shù)。上式兩邊分別乘以cosnx或sinnx，并且在（0,2π）上同時積分，就得到公式上面的運算是形式的，因為符號Σ與積分的交換缺乏根據(jù)。

為了保證上述運算的正確性，應(yīng)當對級數(shù)⑴的收斂性加以必要的限制，例如一致收斂性等。但是，上面提供的純形式運算，卻提出了一個很有意義的問題：如果(x）是一個給定的以2π為周期的周期函數(shù)，通過⑶可以得到一列系數(shù)αn,bn，從而可構(gòu)造出相應(yīng)的三角級數(shù)⑴。這樣得到的三角級數(shù)⑴是否表示(x）？正是傅里葉，他首先認為這樣得到的級數(shù)⑴可以表示(x）。

給定(x），利用⑶得到的三角級數(shù)⑴，稱為的傅里葉級數(shù)，而稱⑶為的傅里葉系數(shù)。這種思想可以推廣到任意區(qū)間上的正交函數(shù)系。特別，（n=0，±1，±2，…）是[0,2π]上的規(guī)范正交函數(shù)系，函數(shù)關(guān)于它的傅里葉級數(shù)為稱為的傅里葉級數(shù)的復(fù)形式。

發(fā)展概況

傅里葉分析從誕生之日起，就圍繞著“傅里葉級數(shù)究竟是否收斂于自身”這樣一個中心問題進行研究。當傅里葉提出函數(shù)可用級數(shù)表示時，他的想法還沒有得到嚴格的數(shù)學論證，實際的情形人們并不清楚。P.G.L.狄利克雷是歷史上第一個給出函數(shù)(x）的傅里葉級數(shù)收斂于它自身的充分條件的數(shù)學家。

他的收斂判別法，后稱為狄利克雷-若爾當判別法。他證明了在一個周期上分段單調(diào)的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)，在它的連續(xù)點上必收斂于(x）；如果在x點不連續(xù)，則級數(shù)的和是（(x+0)+(x-0))/2。順便指出，狄利克雷正是在研究傅里葉級數(shù)收斂問題的過程中，才提出了函數(shù)的正確概念。因為在他的判別法中，函數(shù)在一個周期內(nèi)的分段單調(diào)性，可能導(dǎo)致該函數(shù)在不同區(qū)間上的不同解析表示，這自然應(yīng)當把它們看做同一個函數(shù)的不同組成部分，而不是像當時人們所理解的那樣，認為一個解析表達式就是一個函數(shù)。

（G.F.）B.黎曼對傅里葉級數(shù)的研究也作出了貢獻。上面說過，確定的傅里葉系數(shù)，要用到積分式⑶。但是人們當時對積分的理解還不深入。黎曼在題為《用三角級數(shù)來表示函數(shù)》（1854)的論文中，為了使得更廣一類函數(shù)可以用傅里葉級數(shù)來表示，第一次明確地引進并研究了現(xiàn)在稱之為黎曼積分的概念及其性質(zhì)，使得積分這個分析學中的重要概念，有了堅實的理論基礎(chǔ)。他證明了如果周期函數(shù)(x）在[0,2π]上有界且可積，則當n趨于無窮時的傅里葉系數(shù)趨于0。此外，黎曼還指出，有界可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)在一點處的收斂性，僅僅依賴于(x）在該點近旁的性質(zhì)。這個非常基本而重要的結(jié)果稱之為局部性原理。

G.G.斯托克斯和P.L.von賽德爾引進了函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的概念以后，傅里葉級數(shù)的收斂問題進一步受到了人們的注意。H.E.海涅在1870年的一篇論文中指出，有界函數(shù)(x）可以唯一地表示為三角級數(shù)這一結(jié)論，通常采用的論證方法是不完備的，因為傅里葉級數(shù)未必一致收斂，從而無法確保逐項積分的合理性。這樣，就可能存在不一致收斂的三角級數(shù)，而它確實表示一個函數(shù)。這就促使G.（F.P.）康托爾研究函數(shù)用三角級數(shù)表示是否唯一的問題。這種唯一性問題的研究，又促進了對各種點集結(jié)構(gòu)的探討。G.康托爾第一次引進了點集的極限點以及導(dǎo)集等概念，為近代點集論的誕生奠定了基礎(chǔ)。

K.（T.W.）外爾斯特拉斯在1861年首次利用三角級數(shù)構(gòu)造了處處不可求導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)。他的這一發(fā)現(xiàn)震動了當時的數(shù)學界，因為長期的直觀感覺使人們誤認為，連續(xù)函數(shù)只有在少數(shù)一些點上才不可求導(dǎo)。

發(fā)展現(xiàn)狀勒貝格積分理論

20世紀初，H.L.勒貝格引入了新的積分與點集測度的概念，對傅里葉分析的研究產(chǎn)生了深遠的影響。這種積分與測度，現(xiàn)在稱為勒貝格積分與勒貝格測度，已成為數(shù)學各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒貝格用他的積分理論，把上面提到的黎曼的工作又推進了一步。例如，根據(jù)勒貝格積分的性質(zhì)，任何勒貝格可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)，不論收斂與否，都可以逐項積分。又例如，對于[0,2π]上勒貝格平方可積的函數(shù)，帕舍伐爾等式成立

傅里葉級數(shù)，特別是連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)，是否必處處收斂？1876年P(guān).D.G.杜布瓦－雷蒙首先發(fā)現(xiàn)，存在連續(xù)函數(shù)，它的傅里葉級數(shù)在某些點上發(fā)散；后又證明，連續(xù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以在一個無窮點集上處處發(fā)散。這反面結(jié)果的發(fā)現(xiàn)提醒人們對傅里葉級數(shù)的收斂性應(yīng)持審慎態(tài)度。

費耶爾求和法

正是基于上述原因，1904年，匈牙利數(shù)學家L.費耶爾首次考慮用部分和的算術(shù)平均代替級數(shù)的部分和，證明了傅里葉級數(shù)部分和序列的算術(shù)平均，在函數(shù)的連續(xù)點上，必收斂于函數(shù)自身。這樣，通過新的求和法，又能成功地用傅里葉級數(shù)表達連續(xù)函數(shù)。這無疑是傅里葉級數(shù)理論的一個重要進展。費耶爾之后，各種求和法相繼產(chǎn)生。一門新的學科分支，發(fā)散級數(shù)的求和理論，就此應(yīng)運而生。

盧津猜想

與此同時，傅里葉級數(shù)幾乎處處收斂的問題，特別是所謂的盧津猜想，受到人們的重視（見盧津問題）。瑞典數(shù)學家L.卡爾森用十分精巧的方法，才證實了這一猜想的正確性。

復(fù)變函數(shù)論方法

傅里葉級數(shù)與單位圓內(nèi)解析函數(shù)的理論有著非常密切的聯(lián)系。假設(shè)⑴是可積函數(shù)的傅里葉級數(shù)，簡單的計算表明，它是復(fù)變量z的冪級數(shù)⑸的實部。另一方面，級數(shù)⑸是單位圓內(nèi)的解析函數(shù)，記為F(z）。這樣，傅里葉級數(shù)⑴可以通過單位圓內(nèi)解析函數(shù)的理論來研究。這就是傅里葉分析中的復(fù)變函數(shù)論方法，它是20世紀前半葉研究傅里葉級數(shù)的一個重要工具。

經(jīng)典的H空間概念

進一步的研究導(dǎo)致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立單位圓上H空間的理論。他們研究了單位圓內(nèi)使有界的解析函數(shù)F(z），這里00。這類函數(shù)的全體，稱為H空間，它是近代H空間理論的先驅(qū)。

通過傅里葉級數(shù)刻畫函數(shù)類是傅里葉分析中的重要課題，著名的帕舍伐爾公式以及里斯-費希爾定理反映了函數(shù)類l(0,2π）的特征。如果P≠2，則有以下的豪斯多夫-楊定理。

李特爾伍德-佩利理論

上述豪斯多夫-楊定理的實質(zhì)，是用傅里葉系數(shù)的大小來反映函數(shù)所屬的空間，但它并沒有給出空間L(0，2π）的傅里葉級數(shù)特征。因此，不可能象帕舍伐爾公式那樣，用傅里葉系數(shù)的大小來刻畫l(0，2π）中函數(shù)的特征。

極大函數(shù)

20世紀50年代以前的重要工作中，還應(yīng)當提到哈代與李特爾伍德的其他許多貢獻。特別是30年代，他們用極大函數(shù)研究傅里葉級數(shù)，取得了很深刻的結(jié)果。極大函數(shù)是一種算子，它的定義是極大函數(shù)M(x）比函數(shù)自身要大，用它來控制傅里葉分析中某些算子，可以達到估計其他算子的目的。

50年代以前，傅里葉分析的研究領(lǐng)域基本上限于一維的具體空間，50年代以后的研究，逐漸向多維和抽象空間推廣。

積分理論

積分理論名稱：考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論。

由于偏微分方程等許多數(shù)學分支發(fā)展的需要，50年代出現(xiàn)的考爾德倫－贊格蒙奇異積分理論，標志了調(diào)和分析進入了一個新的歷史時期。例如，當∈l(Rn），泊松方程Δu=的基本解u(x）的二階導(dǎo)函數(shù)，在一定條件下（例如具有Lipα連續(xù)性），可以表成如下的奇異積分сn為某常數(shù)，僅與維數(shù)n有關(guān)。積分⑻作為勒貝格積分一般是發(fā)散的；注意到Ωj(y）在R的單位球面S上的積分為0，可以證明，積分⑻在柯西主值意義下存在，并且作為x的函數(shù)是連續(xù)的，從而u(x）是泊松方程的解。

考爾德倫、贊格蒙研究了一類相當廣泛的奇異積分算子⑼的性質(zhì)，這里Ω(y)是具有一定光滑性的零階齊次函數(shù)，且滿足條件。他們證明了這種積分算子具有l(wèi)有界性（p>1）；利用這些性質(zhì)，可以得到某類微分方程中解的“先驗估計”。

h空間理論的近代發(fā)展E.M.施坦、G.韋斯于20世紀60年代，引進了上半空間上的h空間，它們是n=1的推廣。當n=1時，h(p>0）空間中的函數(shù)在R=(-∞，∞）上的邊值函數(shù)幾乎處處以及在l范數(shù)下都存在，施坦、韋斯定義的多維空間，顯然是一維h(R崹）空間的推廣。

人們自然要問，經(jīng)典的h(R崹）空間中最基本的性質(zhì)，例如邊值函數(shù)的存在性等，在多維空間中是否還被保留？施坦、韋斯首先發(fā)現(xiàn)，p>(n-1)/n時，答案是肯定的；例如他們證明，若F∈，p>(n-1)/n，那么幾乎處處以及在L范數(shù)意義下都存在。1964年，考爾德倫、贊格蒙利用高階梯度概念，原則上把h空間的上述限制p>(n-1)/n放寬為p>0，但他們的方法比較復(fù)雜，隨著指標p的不同，h空間定義的一致性，當時并不清楚。

70年代初，h空間的近代理論經(jīng)歷了引人注目的發(fā)展。D.L.伯克霍爾德、R.F.岡迪、M.L.西爾費斯坦于1971年，首先就一維的情形，證明的充分且必要的條件是，F(xiàn)(x+iy）的實部u(x,y）的角形極大函數(shù)。

參考資料