正弦定理（數學定理）

正弦定理（數學定理）

正弦定理 （數學定理） 次瀏覽 | 2022.09.06 15:38:13 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 正弦定理數學定理

正弦定理（The Law of Sines）是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”，即（為外接圓半徑，為直徑）。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素。一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。

中文名

正弦定理

外文名

The?Law?of?Sines?

提出者

納綏爾丁?

應用學科

數學

適用領域范圍

三角函數

提出時間

公元10世紀?

突出貢獻者

韋達、海倫、秦九韶?

發展簡史

歷史上，正弦定理的幾何推導方法豐富多彩。根據其思路特征，主要可以分為兩種。

第一種方法可以稱為?“同徑法?”，最早為13世紀阿拉伯數學家、天文學家納綏爾丁和15世紀德國數學家雷格蒙塔努斯所采用。“同徑法?”是將三角形兩個內角的正弦看作半徑相同的圓中的正弦線（16世紀以前，三角函數被視為線段而非比值），利用相似三角形性質得出兩者之比等于角的對邊之比。納綏爾丁同時延長兩個內角的對邊，構造半徑同時大于兩邊的圓。雷格蒙塔努斯將納綏爾丁的方法進行簡化，只延長兩邊中的較短邊，構造半徑等于較長邊的圓。17~18世紀，中國數學家、天文學家梅文鼎和英國數學家辛普森各自獨立地簡化了“同徑法”。

18世紀初，“同徑法”又演化為“直角三角形法”，這種方法不需要選擇并作出圓的半徑，只需要作出三角形的高線，利用直角三角形的邊角關系，即可得出正弦定理。19世紀，英國數學家伍德豪斯開始統一取R=1，相當于用比值來表示三角函數，得到今天普遍采用的?“作高法”。

第二種方法為“外接圓法”，最早為16世紀法國數學家韋達所采用。韋達沒有討論鈍角三角形的情形，后世數學家對此作了補充。

定理定義

在任意中，角 所對的邊長分別為，三角形外接圓的半徑為 ，直徑為則有

一個三角形中，各邊和所對角的正弦之比相等，且該比值等于該三角形外接圓的直徑（半徑的2倍）長度。

驗證推導

圖示1

證明一

做一個邊長為 的三角形，對應角分別是 從角向邊做垂線，得至 一個長度為的垂線和兩個直角三角形。

很明顯：

和

因此:

和

同理:

證明二：外接圓

(1)銳角三角形中

如圖2，作 的外接圓， 為圓心。連結 并延長交圓于 ， 設 。根據直徑所對圓周角是直角及同弧所對圓周角相等，可得: 。

同理可證 。

。

(2)直角三角形中

因為 ，可以得到

所以可以證明

(3)正角三角形中

線段是圓的直徑 根據圓內接四邊形對角互補的性質 所以

因為為外接圓的直徑 根據正弦定義

變形可得

根據以上的證明方法可以證明得到得到三角形的一條邊與其對角的正弦值的比等于外接圓的直徑，即

圖示3

證明三: 向量

若 為銳角三角形,過點作單位向量 , 則與 的夾角為與 的夾角為 . 由向量的加法原則可 得

為了與圖中有關角的三角函數建立聯系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量的數量積運算,得到

即

同理,過點作與垂直的單位向量, 則與 的夾角為 與的夾 角為 ,

可得

若為正角三角形,不妨設 過點作與 垂直的單位向量 , 則的夾角為, 與 的夾角為同理

,

即

過點作與垂直的單位向量, 則 與 的夾角為 , 與 的夾角為 , 可得

綜上，。 [2]

定理意義

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。

一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

定理推廣

1、在解三角形中，有以下的應用領域：

已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。

運用解決角之間的轉換關系。

注意：

解三角形時，已知兩角與一邊，三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩定性，所以其解不確定，可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題。

一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。若已知的對邊與的夾邊，則：

對于鈍角三角形，

若，則無解；

若，則有一解；

對于銳角三角形，

若

若，則有一解；

若

若，則有一解。

鈍角三角形

2、三角形面積的計算。

參考資料