棱錐（三維多面體）

棱錐（三維多面體）

棱錐 （三維多面體） 次瀏覽 | 2022.06.14 14:06:43 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 棱錐三維多面體

在幾何學上，棱錐又稱角錐，是三維多面體的一種，由多邊形各個頂點向它所在的平面外一點依次連直線段而構成。多邊形稱為棱錐的底面。隨著底面形狀不同，棱錐的稱呼也不相同，依底面多邊形而定，例如底面是正方形的棱錐稱為方錐，底面為三角形的棱錐稱為三棱錐，底面為五邊形的棱錐稱為五棱錐等等。

中文名

棱錐

英文名

pyramid

概念

底面，側面，側棱，頂點等

特征

有一個面是多邊形

概念棱錐

1、如下圖中的面ABCD就是棱錐的底面。

棱錐的側面：棱錐中除底面以外的各個面都叫做棱錐的側面。如圖中的面PAB、面PCD等都是棱錐的側面。

棱錐的側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱。如圖中PA、PB等都是棱錐的側棱。

棱錐的頂點：棱錐中各個側面的公共頂點叫做棱錐的頂點。如圖中P是各個側面的公共頂點，P是棱錐的頂點。

棱錐的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高。如圖中，若PO⊥底面ABCD，垂足是O，那么PO就是棱錐的高。

棱錐的對角面：棱錐中過不相鄰的兩條側棱的截面叫做對角面。

2．棱錐的兩個特征棱錐是多面體中重要的一種，它有兩個本質特征：①有一個面是多邊形；②其余的各面是有一個公共頂點的三角形，二者缺一不可。因此棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是三角形。但是也要注意“有一個面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體未必是棱錐。

3．棱錐的分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐。

4．正棱錐如果一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。如圖，若棱錐P－AC的底面是正多邊形，且PO底面AC，O為垂足，O是正多邊形的中心，則棱錐P－AC是正棱錐。（如圖）正棱錐的斜高：正棱錐側面等腰三角形底邊上的高，叫做正棱錐的斜高。

性質

1．棱錐截面性質定理及推論

定理：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比。

推論1：如果棱錐被平行與底面的平面所截，則棱錐的側棱和高被截面分成的線段比相等。

推論2：如果棱錐被平行于底面的平面所截，則截得的小棱錐與已知原棱錐的側面積之比也等于它們對應高的平方比；截得的棱錐與已知棱錐的側面積之比也等于它們的底面積之比。

2．一些特殊棱錐的性質側棱長都相等的棱錐，它的頂點在底面內的射影是底面多邊形的外接圓的圓心（外心），同時側棱與底面所成的角都相等。側面與底面的交角都相等的棱錐，它的二面角都是銳二面角，所以頂點在底面內的射影在底多邊形的內部，并且它到各邊的距離相等即為底多邊形的內切圓的圓心（內心），且各側面上的斜高相等。如果側面與底面所成角為α，則有S底＝S側cosα。

3．棱錐的側面積及全面積、體積公式棱錐的側面積及全面積棱錐的側面展開圖是由各個側面組成的，展開圖的面積，就是棱錐的側面積，則S棱錐側＝S1＋S2＋…＋Sn（其中Si，i＝1，2…n為第i個側面的面積）

S全＝S棱錐側＋S底棱錐的體積

棱錐和圓錐統稱錐體，錐體的體積公式是：（s為錐體的底面積，h為錐體的高）。

4．正棱錐有下面一些性質正棱錐各側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）；正棱錐的高、斜高和斜高在底面內的射影組成一個直角三角形，正棱錐的高、側棱、側棱在底面內的射影也組成一個直角三角形。正棱錐的側棱與底面所成的角都相等；正棱錐的側面與底面所成的二面角都相等。

正棱錐的側面積：如果正棱錐的底面周長為c，斜高為h’，那么它的側面積是s=1/2ch。

(1)各側棱交于一點且相等，各側面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。 (2)多個特殊的直角三角形 a、相鄰兩側棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。 b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。[1]

直觀圖畫法

正棱錐的直觀圖由底面和頂點所決定。正棱錐底面的畫法與直棱柱底面的畫法相同。頂點和底面中心的距離等于它的高。下面以正五棱錐為例，說明正棱錐的直觀圖的畫法。畫一個底面邊長為5cm，高為11.5cm的正五棱錐的直觀圖，比例尺是。

畫法：

（1）畫軸。畫x′軸、y′軸、z′軸，記坐標原點為O′，使∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°。如圖（１）

棱錐

（2）畫底面。按x′軸、y′軸畫正五邊形的直觀圖ABCDE，按比例尺取邊長等于5÷5＝1（cm），并使正五邊形的中心對應于點O′。

（3）畫高線。在z′軸取O′S＝11.5÷5＝2.3（cm）。

（4）成圖。連結SA、SB、SC、SD、SE，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到所畫的正五棱錐的直觀圖。

棱臺定義

棱錐的底面和平行于底面的一個截面間的部分，叫做棱臺。由三棱錐，四棱錐，五棱錐……截得的棱臺，分別叫做三棱臺，四棱臺，五棱臺。

由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺。

性質

正棱臺的性質：

（1）正棱臺的側棱相等，側面是全等的等腰梯形。各等腰梯形的高相等，它叫做正棱臺的斜高；例如：四棱臺；

（2）正棱臺的兩底面以及平行于底面的截面是相似正多邊形；

（3）正棱臺的兩底面中心連線、相應的邊心距和斜高組成一個直角梯形；兩底面中心連線、側棱和兩底面相應的半徑也組成一個直角梯形。

相關名稱

兩個平行的面分別叫做上底面和下底面，其余的面叫做側面，側面相交的線段叫做側棱，3條側棱相交的點叫做頂點。

正棱臺各側面的高叫做棱臺的斜高。

體積公式

棱臺的體積公式:V=[S+S'+(SS')^(1/2)]h/3

參考資料